2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义- 空间向量基本定理

1.2空间向量基本定理

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课程标准课标解读

1.理解并记住共线向量基本定理、平面向

1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用

量基本定理、共面向量定理及空间向量

空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐

基本定理的内容及含义..

标形式表示空间向量.

2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的

2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立

基向量表示空间任意向量.

体几何的相关问题.

3.会用相关的定理解决简单的空间几何

问题.

善高频考点

考点一空间向星基本定理的理解

空间向量基本定理

（―）用衽震表示空间向坦

考点三用向量法证明平行、共面问题考照空间向量基本定理的应用（二）用JL注法求仝间向量的数量职

（三）利用空间向曲本定理学秀数

二知识梳理

知识点1空间向量基本定理

1.定理

如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得

p=xa+yb+zc.其中｛a,b,c｝叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.如果p=xa+y/>+zc,则称xa+yb+zc

为P在基底｛a,b,c｝下的分解式.

注：（1）对于基底｛a",c｝应明确以下三点：①空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.基

底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.

②基底中的三个向量。，儿c都不是。.这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面.由于零向量与

任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是

零向量.

③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的，是一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二

者是相关联的不同概念.

(2)空间向量基本定理的推论

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间内任意一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得

~0P=xOA+y~OB+z为

推论表明：可以根据空间向量基本定理确定空间任一点的位置.

2.空间向量的正交分解

(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,常用｛i,j,后表示.

(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量”，均可以分解为三个向量xi,yj,zk,

使。=*»+0+2«.像这样，把一个空间向量分解为三个西国垂直的向量，叫做把空间向量正交分解.

易错辨析：

(1)构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？不可以.

(2)在四棱锥中，市可表示为万丁二刀为耳+7万丁+冬万方且唯一，这种说法对吗？对.

【即学即练11下列说法正确的是()

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.直线的方向向量有且仅有一个

【解析】对于A,任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；

对于C,两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；

对于D,直线的方向向量有无数个，所以D错误.

故选：C

【即学即练2】设p：a,儿c是三个非零向量；g：｛a,b,c｝为空间的一个基底，则p是g的()A.充

分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】当非零向量a,b,c不共面时，｛a,b,c｝可以当基底，否则不能当基底，当｛a,b,c｝为基底时，

一定有明c为非零向量.因此4中.故选B

【即学即练3】已知a,b,c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()

A.3a,a—b,a+2bB.2b,b—2a,b+2a

C.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c

【解析】C

【即学即练4】【多选】设*=。+乩y=h+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量组中,

可以作为空间一个基底的向量组有（）

A.{a,b,x}B.{x,y,z）

C.[b,c,z}D.{x,y,a+b+c]

【解析】如图所示，令。=B，b=AAt,c=Ab,

a+h+c=Ait,由于A,Bi,C,四点不共面，可知向量x,_y,z也不共面，同理％,c,z和x,y,a+b

+c也不共面.

【即学即练5】在平行六面体A3CQ-AiSCiOi中，设初=a,Ab=b,Alt=c,E,F分别是AOI,BD

的中点.用向量a,b,c表示。iN,EP；

【解析】如图，连接AC,EF,DxF,BDi,

EP=EA+AP=2万劝）+爹（诵+劝）5/C?i=5（a—c）=，a一菱以

知识点2证明平行、共面问题

1.对于空间任意两个向量a,b（厚（）），a〃5的充要条件是存在实数九使。=乃.

2.如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,J）,

使p=xa+yb.

3.直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题.

1

【即学即练6】如图所示，在平行六面体中，E,尸分别在3山和小。上，且5£=乳出1,

【证明】因为才方为+劝+友友

=病+曲+3就

=^^+3筋)+i)

=油+旗+通+汾=港+办,

所以公1,戏,舒共面，所以4,E,Ci,F四点共面.

知识点3夹角、垂直问题

a・b

(1)0为。，。的夹角，则cos6=|a||外

(2)若a,6是非零向量，贝!|a-Lbu»协=0.

注：区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围.

【即学即练7】在棱长为2的正方体ABC。-A181GO1中，E,尸分别是£>□,8。的中点，点G在棱。

1

上，且CG=3CZ).

⑴证明:EFlBtC；

⑵求EF与CiG所成角的余弦值.

【解析】⑴证明设公=i,Dt=j,Db\=k,

则｛i,j,A｝构成空间的一个正交基底.

11

所以后方=动+/'=-5〃+5(殖+不力)

111__

=2i+2i~2k,~B^=~B^+Bt=-i~k,

所以肆•瓦？=G+万一泉)

Ar)

=-2|i|2+2l*l2=0,

所以EFlBtC.

111__1

(2)解E^=2i+2i~2k,GG=GC+CG=-*-a/,

|W=G111A111

>+2/-2V2=4|f|2+4l7-l2+4l*l2=3,|肆尸小,

一k1440_k2历

|T^F=(一«—初2=|川2+WF=4+§=9,|C©=3，

cos屈cZ〉=|曲凝「

4

（^+为-家）（一★一五一

3返

国

「通=15

73x3

V30

即EF与CiG所成角的余弦值为15.

知识点4距离(长度)问题同=5^(141=4一・油).

【即学即练8】已知平行六面体ABC。-A4GA中，底面ABCQ是边长为1的正方形，M=2,

NAAB=NA|AO=60°.

A1B

(2)求函

【解析】⑴设通=4,AD=b,福=1,

由题意得：111=1,|5|=1,|即=2,a-h=0ra-c=1,b-c=\)

2

ADlAC=(h+c)(h+a)=b+h-c+hd+a-c=\+\+0+i=3i

(2)|ACi|=|a+^+c|=\Ja2+b2+c2+2a-c+2b-c+2a-b=Jl+1+4+2+2+0=A/10

逢考点精析

考点一空间向■基本定理的理解

解题方略：

判断基底的方法

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个

基底.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条

棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【例1-D已知｛工员寸能构成空间的一

个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是()

A.a+b,b,cB.a,a-b,cC.a-c,b-c,a-bD.a,b,a-\-b-\-c

【解析】由图形结合分析三个向量共面，不构成基底,

变式1：已知｛e“62>03｝是空间的一个基底，且次=ei+2ez—e3,协=-3ei+ez+2e3,沆1=ei+e2—03,

试判断｛成，ob,求｝能否作为空间的一个基底.

【解析】假设汉，Oh,求共面.

则存在实数九〃使得放=2成+〃流，

e\+2e2-«3=2(—3ei+02+2。)+〃(ei+e2—e3)

=(-37+〃)ei+(A+〃)C2+(22—〃)C3,

Ve\,C2,C3不共面，

-3淀+4=1,

...以+〃=2,此方程组无解，

：.OA,彷，比不共面,

,｛加，Ok,历｝可以作为空间的一个基底.

变式2：设乂=2+»y=b+c,z=c+a,且｛a,b,c｝是空间的一个基底.给出下列向量组:

①｛a,b,x｝；②｛x,y,z｝；③｛b,c,z｝；@｛x,y,a+b+c｝.

其中可以作为空间的基底的向量组有个.

【解析】如图所设。=4才，b=AAi,c=AJD,贝()x=4笆，y=A价，z=AC,

+0+c=Ad?.由A,B\,D\,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知0,c,z和x,y,a+b

+c也不共面，可以作为空间的基底.因x=a+8,故a,b,x共面，故不能作为基底.

答案：3

变式3：已知。，A,B,C为空间不共面的四点，且向量a=以+彷+无，向量6=羽+彷一虎，则

与a,b不能构成空间基底的是（）

A.或B.彷C.OtD.或或彷

1

【解析】•••。。=55一切，二说与“，。共面，b,求不能构成空间基底.故选C

变式4：已知｛与总多｝是空间的一个基底，向量a=3q+21+5，b=A,e2+eitc=-|e,+e2+e3,若｛a,瓦c｝

能作为基底，则实数4的取值范围是（）

A.(-oo,-l)U(-l,+℃)B.(一,80)U(0,+oo)

c.S，i)U(i,+°°)D.(T,O)5°，I)5I，+CO)

【解析】若入b,"共面，由共面向量定理知，存在实数x,y,使得£=荡+五，

++/+%).因为I，Z不共面，所以3=gy,2=xA+y,l=x+y,

即3q+2e2+e3=x(2e,+eJ

解得x=-1,y=2,A=o,即当;1=0时，a=-b+2c，此时收，反可不能作为基底，所以若收，及叶能作为基

底，则实数几满足的条件是2/0.

故选：B

变式5：若向量而，虎的起点M与终点A,B,C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O

是空间任一点），则能使向量诉，HB,碇成为空间一组基底的关系的是（）

__>1__>1__>1__>

A.OM=3OA+3OB+3OC

B.+

C.~OM=7）A+~OB-\-~OC

D.MA=2MB-AfC【解析】A中，因为3+：+：=l,所以M,A,B,C共面；B中，+A/C,

但可能诟才=/f而+M彳记，所以M,A,B,C四点可能共面；D中，因为加=2而N-不记，所以％

A,B,C四点共面.故选C.

考点二空间向■基本定理的应用

解题方略:

用基底表示向量的策略

⑴若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进

行.

⑵若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基

向量的模及其夹角已知或易求.

（一）用基底表示空间向量

【例2-1】如图，M,N分别是四面体0ABe的边04,BC的中点，P,。是MN的三等分点.用向量为了,

~OB,表示为尸和下了.

【解析】~OP=~OM+~MP=2^dX+3MW

1__„2__,__,

=2OA+3(ON-OM)

1-->2(-->1--

=2OA+式ON—2OA)

1___,2I___,___,

=6OA+3x2(OB+OC)

1__,1__,1__,

=6OA+3OB+3OC.

__>1__>I__41__,__,1__,1»

OQ=2OM+2OP=4OA+12OA+6OB+%OC

1__/1__,1__>

=3OA+6OB+6OC.

变式1：四面体。45c中，~dX=a,~dlt=b,~OC=c,点M在。4上，且方7=2而，N为BC中点,

则丽为()

121211

A.2a—3b+2cB.-3a+2b+2c

112221

C.2a+2b-3cD.3a+3b-2c

【解析】~MN=HA+^2V=^OA+l)B-~dA+2C0C-~OB)=~^OA+为万+^OC=

211

—3〃+2b+2c•故选B

变式2：如图所示，正方体。45C-O4B，。，且/=a,~OC=b,~da=c.

(1)用a,b,c表示向量宓，~AC；

(2)设G,“分别是侧面BQOC和。么的。的中心，用a,b,c表示

【解析】(1)万7=万万+询=^1+为1+^/na+B+c.

~AC=+~CC+~M)+~AA^=~OC+7)a-~OA=b+c-a.

(2)法一：连接。G,。”(图略)，

则Z)=7io+~oti=-*OG+ow

=-2(0^+~dc)+3而+加)

11

=—2(a+b+c+b)+2(a+h+c+c)

1

=2(c-b).

___>i___„i___„___„i

法二：连接O'C,则GH=2CO'=2(OO'-OC)=2(c~b).

变式3：如图，在四面体A3C。中，G为AA8C的重心，E是BD上一点,BE=3ED,以｛1万，~AC,~AD}

为基底，则=

【解析】如图，连接AG延长线交BC于点M,连接AE,

___>___>___„___>3___„2___„___>3___„___>21___>

GE=AE-AG=AB+4BD-3AM=AB+4(AD-AB)-3x2(AB+

_L__»1__>3__>

=-12AB-3AC+4AD.

1__,1__»3__>

答案：~12AB—3AC+4AD

(二)用基底法求空间向量的数量积

【例2-2】如图，已知四面体A3。的每条棱长都等于1,点E,尸分别是48,AO的中点，设工百=a,~AC

=b,~AD=c,a,b,c为空间向量的一组基底.计算Z

【解析】因为四面体ABC。的每条棱长都等于1,所以|0=|A|=|c|=l,<a,b)=〈瓦

n___>I___>2___>___>

=〈c,a)=3.因为点E,产分别是43,AD的中点，所以E尸=580=工(4。-A5)=

C

—1x1x2+1^=4.

(c—a),

变式1:在棱长为2的正四面体ABC。中，点M满足由Cf=xA^+yAt-（x+y-l）Zt）,点N满足前=7就

+（1—；I）就，当AM,8N最短时，嬴/•向V等于（）

4411

A.—3B.3C.—3D.3

【解析】由共面向量基本定理和空间向量基本定理可知，平面8C〃，NC直线4C,当AM,8N最短

-24y/3一

时，平面8cO,BNA.AC,.•.M为A8CO的中心，N为AC的中点，即2|MC|=sin60。=3，\MC

2小

|=3，；AMJ■平面BCD,MCu平面BCD,：.AM±MC,

:.i苏i=4次就F=yJ22-lcr｝=3.

1114

又G=5（就+历），，碱•斯=5（A府•就+国/次1）=一为而F=一工

（三）利用空间向量基本定理求参数

【例2・3】已知空间的一个基底｛a,b,c｝,m=a—b+c,n=xa+jb+2c,若m与n共线，则x=；

J=•

【解析】因为所与〃共线，所以存在实数乙使加=/.”，即〃一方+c=Av4+2y〃+2ic,

l=Zr,

_卜=2,

于是有1一1='必解得y=_2

.1=22,

答案：2-2

变式1：若｛a,b,c｝是空间的一个基底，且存在实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条

件是.

1z

【解析】若中0,则。=一小一x。，即。与心c共面,由｛a,b9。｝是空间的一个基底知。，b,c不共面，

故x=0,同理y=z=0.

答案:x=j=z=0

r

变式2：正方体A3CD・A，夕C”中，。1,。2,。3分别是AC,AB9AZT的中点，以｛存，Aft,正｝为

基底，AC^xAOi-^yAdi+zAdl,则x,y9z的值是()

1

A.x=y=z=lB.x=y=z=2

垂

C.x=y=z=2D.x=y=z=2

【解析】'AC'=~AA+~AB

=\CAB+^4D)+T(工了，+工万)+；(7T，+又7)

1__,1__>1__>

=2AC+2AI)'+2AB'

=A0\+AOi+AO2,

由空间向量基本定理，得x=y=z=l.故选A

变式3：点尸是矩形A8C。所在平面外一点，且RiL平面ABC。，M,N分别是PC,尸。上的点，且丽=

2____

iPt,两=而，则满足苏=xI^+yR)+H的实数x,y,z的值分别为.

【解析】取PC的中点E,连接NE,

=一5前一市一办+盛+砌=一池一讪+Z办,

变式4：已知四面体。一ABC,G是AABC的重心，G是OGi上一点，且OG=3GGi,若油=*殖+7防

+zot,则(x,y,2)为()

A.©」,JB.(l1I)

但！a仔22

C.13，3，3jD.(3，3，3；

11

【解析】如图所示，连接AG并延长，交BC于点E,则点£为6。的中点，Ak=2(Alf+Ab)=2(Oh-2OA

21

+Ot),启=证=§(彷-2次+的，

?沆;=3晶,

33

,=*况+g)

=K就+如一垢+|ot)=4OA+4Ob+4Ot-

111_

*»x=4fJ=4>z=4・

考点三用向■法证明平行、共面问题

解题方略:

证明平行、共面问题的思路

(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.要证两直线平行，可构造与两直线分别平行的向量,

只要证明这两个向量满足a=2b即可.

(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.

【例3-1］在正方体ABCD-Ai51Goi中，点E,F分别是底面4cl和侧面CDi的中心，若尾7+AAd)=

0QGR),则2=.

【解析】如图，连接4G,CiD,

则E在4G上，尸在上，

1__>1__>__,1__)1

易知EFliiAiD,：.EF=2AID,即E/一54。=。，：./=~2.

答案：玛

【例3-2】如图，在平行六面体45C。一中，E,F,G分别是ATT,DD',的中点，请选择恰

当的基底向量证明:

(DEG/ZACj

(2)平面EFG〃平面AB'C.

【证明】取基底{罚，Ab,Ab},

(1)因为反^丁二聂力+看方，At=Ali+Ab=2Eb,所以动〃让,

又EG,4c无公共点，所以EG〃4C.

(2)因为砧=下方+聂力,4^=4^+=

所以死〃无严，

又FG,4夕无公共点，所以尸G〃4n.

又尸GU平面AB'C,平面AB'C,

所以尸G〃平面4&C.

又由(1)知EG//AC,

可得EG〃平面AB'C,

又FGCEG=G,FG,EGu平面EFG,

所以平面EFG〃平面

考点四用向■法解决立体几何的垂直、夹角问题

解题方略:

求夹角、证明线线垂直的方法

1、要证两直线垂直，由数量积的性质a，bCrb=O可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两

个向量的数量积为0即可.

a*b

2、利用数量积定义可得cos<a,b)=丽，求〈a,b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求

夹角的特殊情况.

【例4-1】如图所示，正方体ABCD-A131GD1的棱长为1,E,F,G,Gi分别是棱CG,BC,CD,AiZ?i

的中点.求证：

⑴AOi_LGiG；(2)AOi〃EF;(3)AiG_LOg(4)求DE与ADy所成角的余弦值.

【证明】设A万=a,AD=b,AAi=c,

则|a|=|b|=|c|=lJ0La-b=b-c=a-c=0.

(1)因为丽=>+c,不1丁=54+彳1/+^万+万1=一三1-0+/»+以1=万一%所以丽・瓦丁=(方+

cy(b—c)=b2—c2=0,

所以丽J_G才，所以AD」GiG.

⑵因为无诉=》+c,~EF'=~CF-~CE=2~C^-iCC\=~2b~\c,所以无记=一^而，所以

EF//ADi.

(3)证明：因为工丁=江/+瓦万+万］=-c+b+爹*DF>=~DC+~C1^=a-2h,所以石力•万万=

(-c+0+24)(0-2^)—!•

’=%2-仍2=0,

所以汨所以AiGJL。尸.

1___、___、~ADt~DE(b+c)(a+5c)

国

(4)因为4d=%+c,OE=a+]c,所以cos〈Ad,DE>=TZ^ZZT=正--=10,所

1y[2^2

Vio

以ADt与DE所成角的余弦值为10.

【例4-2】在正方体ABC。一AiBiGOi中，已知£,F,G,”分别是CG,BC,CQ和4G的中点.

证明：®ABi//GE,AB11,EH；

②4iG_L平面EFZ）.

证明①设正方体棱长为1,Ak=i,Ab=j,AAi=k,

则｛i,j,灯构成空间的一个单位正交基底.

Aii=Ali+Bii=i+k,

Gk=Gt+Ck=2i+2k=2Aii,

：.ABy//GE.

丽=由+下国为+（一；）

\i+j)

=-2i~2j+2k,Li•丽=(i+A)•(—

=—5阡+5|川2=0,

_i

②入了=AiA+Ab+DG=~k+j+2i.

11

彷=反+彷=—亍，DE=Dt+ck=i+lk.

~Ai^-Dp={—k+j+2i)(j—2j)

=-5l/F+5「F=o,

：.AtG±DF.

•防=(—/+j+5i)Q+5A)=—5火F+5|i|2=o,

：.AiGA.DE.

又DECDF=D,DE,。尸u平面EFI),

二4石_1_平面EFD.

【例4-3】已知在直三棱柱A8C-Ai51cl中，Z4BC=120°,AB=2,BC=CCi=l,则异面直线ABi与8G

所成角的余弦值为.

则(a9b)=120°,c_La,cJL瓦

|新屁|i|(-a+c)-(b+c)|

因为31=辐+^i=-a+c,配I=就+^i=0+c,|cos〈戏1,麻i〉|=^M觉]「后巾

|一“仍一＜rc+"c+/|

=VTo

|-2xlxcos120。+1|2V10

=VlO=®=5.

变式1：已知斜三棱柱ABC-A/iG中，底面A5C是等腰直角三角形，AB=AC=2,CCi=2,A4与A3,

AC都成60。角，则异面直线A8i与8G所成角的余弦值为()

1恒叵1

A.4B.5C.5D.6

【解析】设W&=a,At=b,4Xi=c,

则a协=0,a-c=2,b-c=2,

A^i=a+c,B^\=b-\-c—a,=a'b+b'c+c2—a1=2,

\A^11=y]a2+c2+2a-c=/4+4+4=2小，

\Bt\\=yJa2-{-b2-i-c2+2b-c-2a-b—2a'C

=、4+4+4=2y[3,

——小启1

所以cos〈两珞〉=的殖=6-

题组A基础过关练

1、①若｛a,b,c｝可以作为空间的一个基底，d与c共线，d#),贝!!｛a,b,d｝也可以作为空间的一个基底

②已知向量a〃b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③4,B,M,N是空间四点，若WT,~BM,方万不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N四点共面；

④已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，若01=2+5贝!!｛a,b,m｝也是空间的一个基底.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4【解析】根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量

都可作为空间的一个基底.显然②正确.③中由WT,~BM,月同不能构成空间的一个基底，知下T,

~BM,不R*共面.又UM,下少过相同点8,知A,B,M,N四点共面.下面证明①④正确：假设

d与a,6共面，则存在实数九〃，使得d=〃+W»,Yd与c共线，存0,.,.存在实数A,使得d=h.Y，#O,

.♦.A/）,从而c=^a+%>,:.c与a,力共面，与条件矛盾，与%b不共面.同理可证④也是正确的.于

是①②③④四个命题都正确，故选D.

2、已知0,A,B,C为空间四点，且向量风，0B,无不能构成空间的一个基底，则一定有（）

A.OA,0B>反共线B.0,A,B,C中至少有三点共线

C.砺+砺与反共线D.O,A,B,C四点共面

【解析】由于向量西，0B，反不能构成空间的一个基底知衣，0B，元共面，所以。，A,B,C四

点共面，故选：D

3、如图，在梯形A8CZ）中，AB//CD,AB=2CD,点。为空间内任意一点，设苏=a,olt=b,ot=c,

则向量而可用a,b,c表示为（）

【解析】而=浣+近=觉+5防=历+5（温一初）=5。一初+心故选D

4、在空间四点0,A,B,C中，若｛为/，~0B,万1｝是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）

A.0,A,B,C四点不共线

B.0,A,B,C四点共面，但不共线

C.0,A,B,C四点不共面

D.0,A,B,C四点中任意三点不共线

【解析】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量刁;T,7）B,万丁共面，构不成基底；选项B

对应的命题是错误的，若四点共面，则NT,~OB,万丁共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的,

若四点共面，则万丁，~0B,为不构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共

面，向量刁了，"OB,切不构不成基底.故选B

5、正四面体ABC。棱长为2,E,F,G分别是AB,AD,C£＞的中点，则直.无的值为（）

A-|B.1C.2D.4

【解析】如图，设丽=3，BC=h,BD=c，

GF=^CA=\（BA-BC）=\a-\b,

迹而=（„-另悖-切小2-2£石+片一7"+“）=1.

故选：氏

6、正方体ABCO-A4G。的棱长为“，前=g码，N为的中点，贝！||MN|=（

）

,历而

A.♦76ciBr♦V15ciC«-----ciDn♦a

6663

【解析】因为由7=3西，所以而I=g宿=g（而+亚+丽），而N为B/的中点,

所以丽=丽+丽=而+；瓯=丽+；丽.

故|MN|=|西=|而一函=：通」而+L'-a2+-a2+—a2

9936

故选：C.

7、己知空间向量“，b,1不共面，且2a+A-c=（z-l”+xB+2yc,则x,y,z的值分别是（）A.2,

1,2B.2,1,-2

1

C.1,——,D.I,1

2

x=1

z-1=2

y=-1••故选：c

【解析】由题设知：x=l,解得，

2y=-1

z=3

8、在正方体ABCD-AiSiCiDi中，设//=a,~AD=b,高=c,AtCi与BiDi的交点为E,则下F=

【解析】如图，2/=丽+瓦^=高+士瓦日+瓦第）=高+3（万万一区万）=一去+3+c.

11

答案：一5a+5b+c

9、已知三棱柱ABC-4瓦£,点P在线段B©上，且BF=；BC，则而=（

A.—AB+4CH—AA.B.AB+/AC+5AAi

22”

2i

C.-AB+-AC+AAD.-AB+-AC+/4A

3333

【解析】由题意得：=BC,=AA^,B[P=；B\C\,

故丽=砺+函+肝=而+丽+g函=而+丽+；而

=福+福+国-砌南+羽部

g=g+；故选：D

UUUULU

10、如图，在三棱柱ABC-ABC中，E,尸分别是8C,CG的中点，AG=2GE,则d=（

A.g而_|就+g羽

B

1—.2—1__

B.-AB+-AC+-AA

332”

C.--AB+-AC--A4

332

D.--AB+-AC+-M

3321

____9—

【解析】GF=AF-AG=AC+CF--AE

=AC4—AA—x—(AR+AC)=—ABH—AC4—AA.,

2'32、>3321

故选：D.

题组B能力提升练

11、在棱长为1的正四面体ABCQ中，直线AB与C〃（）

A.相交B.平行

C.垂直D.无法判断位置关系【解析】cb=Bb-Bt,所以函•2=扇•（成

-Bt）=BA-BZ）-BABt=lxlx2-lxlx1=0,故函_L近，即直线A5与C。垂直.

12、如图，在长方体中，44=45=2,40=1,E,F,G分别是OC,AB,CG的中点,

则异面直线A.E与GF所成角的余弦值是（)

V15

D.5

【解析】取空间中一组基底：Ali=a,Ab=h,A^i=c,

根据题意可得，

彳山•班'=（-c+/>+5a）（一n-5。）

1111_

=2c2—b2—4a2=2x4—l—5x4=0,从而得到彳源和历"垂直，故其所成角的余弦值为0.

13、在平行六面体A8C£）-4SGA中，若AC〕=aAB+2Z?AO+3cAA，贝！I而c的值等于（）

157

A.-B.—C.一D.

6666

【解析】在平行六面体ABC。-ABCQ中，前=而,忑=丽，如图,

贝IJ有殖=通+丈+不=阳+通+丽，-^ACi=aAB+2bAb+,icAxA=

aAB+2bAD-3cAA],且A反A/5,M不共面，于是得，26=1,即a=l,b=」,c=-1，贝!|"bc=-1,

236

-3c=l

“蛇的值等于-J

6

故选：D

14、已知A、5、C、O.E是空间中的五个点，其中点A、£C不共线，贝！|“£>E〃平面A3C”是"存在实数x、y,

使得海=》而+〉而的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】若OE〃平面4BC，则诙，福抚共面，故存在实数x、y,使得灰=》通+»抚.

若存在实数x、y,使得诙=x；ffi+y/，则诙，AB，衣共面

则DE//平面ABC或£)Eu平面ABC

所以"DE//平面A5C”是“存在实数x、y,使得DE^xAB+yAC的充分而不必要条件.

故选：A.

15、若°=61+02,b=ei+e3>c=ei+e3,d=ei+2e2+3e3,若ei,ei,e3不共面，当《?=&。+俄+«时，a

+A+尸•

【解析】由已知得，d=(a+y)ei+(a+fi)ei+(y+/?)«.

又d=ei+2^2+3es>

a+y=l,

所以4+%2,

j+夕=3,

故有a+/?+y=3.

16、如图所示，在正方体。46C-OiA/iG中，点G为AACOi的重心，若成=a,ot=b9而i=c,ot

=xa+yb+zc,则x+y+z=・

【解析】易知AACOi为正三角形，连接08,设AC,5。相交于点M,连接Oi/W,如

图所示，显然点G在线段OiM上，且满足矶=2磁，有而一附|=2（况/一次;），得反;=3况7+3初

211111111

即而=方5（次+00+3仍1=304+3历+§仍1=*+补+§c,可得x+y+z=l.

17、在棱长为1的正方体ABCZ）—AiBiCQ中，E,F,G分别在棱88i,BC,8A上，且满足旗=号脑1

酢=5就，前=3或,0是平面BiGF、平面ACE与平面BiB