新教材人教b版选择性必修第二册第三章3.3第2课时二项式系数的性质杨辉三角及二项式定理的应用学案

第2课时二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用必备知识·自主学习导思什么是杨辉三角？杨辉三角与二项式系数有何关系？1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n＋1))＝Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n)).杨辉三角的作用是什么？提示：①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))，Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n))，…，Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(n－r),\s\do1(n)).(2)增减性与最大值：当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Ceq\f(n－1,2)n，Ceq\f(n＋1,2)n相等，且同时取到最大值．3．各二项式系数的和(1)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝2n．(2)Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(n))＋…＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(n))＋…＝2n－1．(1)杨辉三角中的数是二项式系数还是项的系数？提示：杨辉三角中的数是二项式系数．(2)如何求二项式中的最大项？提示：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项系数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项．(3)怎样求二项式系数和？提示：利用赋值法，在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，可得Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝2n.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．()(3)二项展开式项的系数是先增后减的．()(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.()提示：(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．(2)×.在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．(3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关．(4)√.根据杨辉三角的特点可知．2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A．第8项 B．第9项C．第8项和第9项 D．第11项和第12项【解析】选D.二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)))n－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))r＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))·xeq\f(1,2)n－eq\f(3,2)r，令r＝7，则eq\f(1,2)n－eq\f(21,2)＝0，解得n＝21，通项公式可化简为Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(21))·xeq\f(21－3r,2)．由于n＝21，Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(21))一共有22项，其中最大的项为r＝10，11两项，即展开式的第11项和第12项．3．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．【解析】令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64.答案：1644．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．13356571111791822189【解析】由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.答案：2n－1关键能力·合作学习类型一与杨辉三角有关的问题(数学抽象)1．如图所示，满足①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________．1223434774511141156162525166【解析】由题图中数字规律可知，第n行的第2个数是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2＋3＋…＋（n－1）))＋1＝eq\f(n（n－1）,2)＋1.答案：eq\f(n2－n＋2,2)2．在杨辉三角中，除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如表所示：第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………利用杨辉三角展开(1－x)6.【解析】由杨辉三角知，第6行的二项式系数为：1，6，15，20，15，6，1.所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.令其中a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6.3．如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．【思路导引】由图知，数列中的首项是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，第2项是Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))，第3项是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))，第4项是Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))，…，第17项是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))，第18项是Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10))，第19项是Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11)).【解析】S19＝(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)))＋…＋(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))＝(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)))＋(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11)))＝(2＋3＋4＋…＋10)＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12))＝eq\f(（2＋10）×9,2)＋220＝274.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路类型二展开式的应用(逻辑推理、数学运算)【角度1】求展开式的系数和【典例】1.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2x))eq\s\up12(8)＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为()A．29B．29－1C．39D．39－12．设(eq\r(2)＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＝________，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．3．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【思路导引】1.先令x＝0求出a0，再令x＝2求出a0＋2a1＋22a2＋…＋292．结合二项式系数公式计算a2，令x＝1或－1，代入，计算结果即可．3．(1)根据所给的等式求得常数项a0＝1，在所给的等式中，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，从而求得a1＋a2＋…＋a7的值．(2)在所给的等式中，分别令x＝1，x＝－1，可得两个等式，化简这两个等式即可求得a1＋a3＋a5＋a7的值．(3)用①＋②再除以2可得a0＋a2＋a4＋a6的值．(4)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2x))7中，令x＝－1，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a0))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2))＋…＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a7))的值．【解析】1.选D.令x＝0，则a0＝1，令x＝2，则a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39,所以2a1＋22a2＋…＋22．利用二项式系数公式，T3＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))8x2＝720x2，故a2＝720，利用赋值法，令x＝±1有a0＋a1＋…＋a10＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋1))10，a0－a1＋a2－…＋a10＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋…＋a10))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a0－a1＋a2－…＋a10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋1))10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1))10＝1.答案：72013．(1)根据所给的等式求得常数项a0＝1，令x＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，则a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)在所给的等式中，令x＝1，可得：a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37②用①－②再除以2可得a1＋a3＋a5＋a7＝－1094.(3)用①＋②再除以2可得a0＋a2＋a4＋a6＝1093.(4)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2x))7中，令x＝－1，可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a0))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a2))＋…＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a7))＝37＝2187.【拓展延伸】1.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【拓展训练】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和．(2)各项系数之和．(3)所有奇数项系数之和．【解析】设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(9),\s\do1(9))＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq\f(59－1,2)，即所有奇数项系数之和为eq\f(59－1,2).【角度2】展开式的综合应用【典例】1.若(1－3x)2020＝a0＋a1x＋…＋a2020x2020，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020的值为()A．22020－1 B．82020－1C．22020 D．820202．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．【思路导引】结合二项式、数列知识求解即可．【解析】1.选B.由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020＝(1－9)2020＝82020，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020＝82020－a0＝82020－1.2．由二项式定理知，an＝Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(10))(n＝1，2，3，…，11).又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10))，则k的最大值为6.答案：6二项式定理应用的常见类型及相关解题策略常见类型及解题策略：①求特殊项及系数，此类问题的求解关键在于求出指定项是第几项；②近似计算问题，解决此类问题要注意题目结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取值一般要四舍五入，求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式；③证明有关的不等式问题，有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明；④整除与求余问题，此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为烦琐，而用二项式定理明显更简洁；⑤利用赋值法求各项系数的和的问题．1．233－1除以9的余数为________．【解析】由于233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(11))·911·(－1)0＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(11))·910·(－1)1＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(11))·99·(－1)2＋…＋Ceq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(11))·90·(－1)11－1，由于前11项都有因数9，故所给的式子除以9的余数即为Ceq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(11))·90·(－1)11－1＝－2除以9的余数，故所给的式子除以9的余数为7.答案：72．设(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018·x2018(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2018的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2018|的值．【解析】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2018＝(－1)2018＝1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＋a2018＝32018，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝1－32018，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝eq\f(1－32018,2).(3)因为Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(2018))(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(2018))·(2x)r，所以a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*).所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2018|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＋a2018＝32018.类型三二项式系数性质的应用(数学抽象、逻辑推理)【典例】已知f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．四步内容理解题意条件：f(x)＝(eq\r(3,x2)＋3x2)n展开，各项的系数和比二项式系数和大992.结论：(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数最大的项．思路探求求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中的中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．书写表达令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.所以(2n)2－2n－992＝0，所以(2n＋31)(2n－32)＝0，所以2n＝－31(舍去)或2n＝32，所以n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))()3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))()2(3x2)3＝270．(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(5))3r·(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则，所以所以所以eq\f(7,2)≤r≤eq\f(9,2)，因为r∈N，所以r＝4.所以展开式中系数最大的项为T5＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))(3x2)4＝405．注意书写的规范性：①注意区分项的系数与二项式系数；②注意Tr＋1为第r＋1项．题后反思1.求二项式系数最大的项，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．(1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ar≥Ar－1，,Ar≥Ar＋1))解出r来，即得系数最大的项．1．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A．－126B．－70C．－56D．－【解析】选C.由题意可得：n＝8.所以二项展开式的通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))x8－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))(－1)k，要使该项系数Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))(－1)k最小，k为奇数，取1，3，5，7，经过检验，当k＝3或5时，系数Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(8))(－1)k最小，即第4项系数等于第6项系数，且最小，所以展开式中系数最小的项的系数为－56.2．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：(1)展开式中二项式系数最大的项．(2)展开式中系数最大的项．(结果可以以组合数形式表示)【解析】(1)由已知得Ceq\o\al(\s\up1(n－2),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(n－1),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))＝121，则eq\f(1,2)n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15，或n＝－16(舍去)，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(15))(3x)7和T9＝Ceq\o\al(\s\up1(8),\s\do1(15))(3x)8.(2)Tr＋1＝Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(15))(3x)r，设eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(r－1),\s\do1(15))3r－1,Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(15))3r)≤1，则eq\f(\f(15！,（r－1）！（15－r＋1）！),\f(3×15！,r！（15－r）！))≤1，即eq\f(r,3（15－r＋1）)≤1，解得r≤12，同理，由eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(15))3r,Ceq\o\al(\s\up1(r＋1),\s\do1(15))3r＋1)≥1，解得r≥11，所以展开式中系数最大的项对应的r＝11，12，即展开式中系数最大的项是T12＝Ceq\o\al(\s\up1(11),\s\do1(15))(3x)11和T13＝Ceq\o\al(\s\up1(12),\s\do1(15))(3x)12.【补偿训练】1.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)展开式中前三项的系数之和为15，(1)展开式中是否有常数项，说明理由．(2)求展开式中系数最大的项．【解析】(1)Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(n))，所以由已知得：1－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＝15，解得n＝7，所以Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(7))(r＝0，1，2…7)，因为7－eq\f(3r,2)＝0无整数解，所以展开式中无常数项．(2)由Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(7))x7－eq\f(3r,2)知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项，即T5＝35x.2．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．【解析】(x＋1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.答案：6典例备选运用二项式求近似值(数学运算)【典例】计算12的近似值(精确到0.001).【思路导引】将12化为二项式形式，再展开，舍去较小的部分，即不足的部分．【解析】12＝(1＋0.003)12＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(12))112＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12))111＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12))1102＋…≈1＋＝1．用二项式定理计算5的近似值(精确到0.001).【解析】5＝(1＋0.002)5＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))15＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))14＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))132＋…≈Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))15＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))14＝1＋＝1.010.2．用二项式定理计算5，精确到1的近似值为()A．99000B．99002C．99004D．【解析】选5＝(10－0.02)5＝105－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×104＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))×1032－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×1023＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))×1014－5≈105－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×104＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))×1032＝100000－1000＋4＝99004.课堂检测·素养达标1．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A．第6项B．第5项C．第5，6项D．第6，7项【解析】选A.由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，所以Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(n))＝Ceq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(n))，由组合数的性质，得n＝10.所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋x))eq\s\up12(2n)(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第eq\f(n,2)＋1项 B．第n项C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项【解析】选C.在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，第n＋1项的系数与第n＋1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n＋1项，可得第n＋1项的系数最大，故选C.3．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案：－2564．设(3x－2)6＝a0＋a