苏教版选择性必修第二册6.3.1直线的方向向量与平面的法向量优选作业

【优质】6.3.1直线的方向向量与平面的法向量-1优选练习一．单项选择1．

如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是(）。A．B．2C．D．2．

下列几何体中，正视图．侧视图．俯视图相同的几何体是（）。A．球，圆柱B．圆柱，圆锥C．正方体，长方体D．球，正方体3．

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）。A．6B．7C．D．4．

已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为（）。A．B．C．D．5．

下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）。A．B．C．D．6．

已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，且SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，则球的表面积为（）。A．12πB．8πC．4πD．3π7．

某几何体的三视图如图所示，依次为正视图．侧视图和俯视图，则这个几何体表面积为（）。A．B．C．D．8．

某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）。A．B．C．8D．49．

我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）。A．B．C．D．10．

已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3．4．5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）。A．B．C．D．11．

在四面体中，已知，，是边长为2的等边三角形，那么点到底面的距离是（）。A．1B．C．2D．312．

如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为1的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则它的体积为（）。A．B．C．D．13．

已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,,则三棱锥的体积的最大值为（）。A．B．C．D．14．

（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）。A．B．C．D．15．

我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．现有一块底面两直角边长为3和4，侧棱长为12的“堑堵”形石材，将之切削．打磨，加工成若干个相同的石球，并让石球的体积最大，则所剩余的石料体积为（）。A．B．C．D．16．

在二面角的一个面内有一点到棱的距离为，则该点到另一个面的距离为（）。A．B．C．D．17．

二面角的平面角是锐角，为锐角，则（）。A．B．C．D．以上三种情况都有可能18．

已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）。A．B．C．D．

参考答案与试题解析1．【答案】C【解析】分析：连结AC．BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AOPM，从而A1P=C1M，由此能求出tan∠APA1的最大值．详解：连结AC．BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，∴AOPM，∴A1P=C1M=，∴tan∠APA1===2．∴tan∠APA1的最大值是2．故选：D．点睛：本题考查角的正切值的最大值的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查运算求解能力，是中档题．

2．【答案】D【解析】分析：根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图，然后可得结论.详解：球体的主视图．侧视图以及俯视图都是一个圆；圆柱的主视图以及侧视图都是一个矩形，俯视图则为一个圆；圆锥的主视图以及侧视图都是三角形，俯视图则为一个圆形；正方形的主视图．侧视图以及俯视图都为一个正方形，所以，主视图．侧视图以及俯视图都相同的几何体是球，正方体，故选D.点睛：本题考查圆柱．圆锥．正方体以及球的三视图，意在考查空间想象能力，属于简单题.

3．【答案】B【解析】分析：由三视图可知，该几何体为五棱柱，其底面为正视图，根据三视图中数据，利用柱体体积公式求解即可.详解：由三视图可知，该几何体为五棱柱底面为正视图，底面面积为，，高为，体积为，故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

4．【答案】D【解析】分析：说明S在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．详解：由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD=1，SD==，则（﹣R）2+12=R2，解得R=，则S球=4πR2=故选：A．点睛：设几何体底面外接圆半径为高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.

5．【答案】A【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的表面积即可.详解：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥，则其表面积为四个面面积之和：.本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱．圆锥．圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

6．【答案】D【解析】试题分析：由题意一个三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA．SB．SC两两互相垂直，可知，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，两者的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．详解：三棱锥S﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=，∴共顶点S的三条棱两两相互垂直，且其长均为1，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：，半径为，外接球的表面积为：4π×（）2=3π．故选：D．点睛：涉及球与棱柱．棱锥的切．接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接．切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切．外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

7．【答案】B【解析】分析：根据给定的三视图，得到原几何体的形状，分别求解各部分的面积，即可得到几何体的表面积．详解：根据给定的三视图可知，该几何体表示一个半径为的球和一个三棱锥的组合体，如图所示，其中球的表面积为，等边和的面积相等，且边长为，其面积为，又由弓形．．．的面积相等，其面积为，所以该几何体的表面积为，故选B．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．

8．【答案】A【解析】分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．详解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=，故选：A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1．首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2．观察正视图和侧视图找到几何体前．后．左．右的高度；3．画出整体，然后再根据三视图进行调整.

9．【答案】C【解析】分析：首先类比球的体积的求解方法构造出几何体，然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.详解：如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为3.现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，当截面距离下底面的高度为h时，设橄榄状的几何体对应的截面平径为R，圆柱对应截面的小圆半径为r，则由可得，则橄榄状的几何体对应的截面面积.由相似可得：，即，圆柱对应的截面的面积，则，由祖暅原理可得几何体的体积为：.本题选择C选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念．新公式．新定理．新法则．新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

10．【答案】C【解析】分析：长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可求出球的直径，然后求出球的表面积.详解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一个球面上，长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为，球的半径为，则这个球的表面积是，故选C.点睛：本题主要考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，意在考查计算能力与空间想象力，注意球的直径与长方体的对角线的转化是解答本题的关键.

11．【答案】B【解析】分析：先证明AC与平面ABD垂直，则只要在平面ABD内过D作AB的垂线DO与AB交于点O，则DO的长就是D到平面ABC的距离.详解：∵AB⊥AC，AC⊥BD，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，∴平面ABC⊥平面ABD，取AB中点O，连接DO，∵ΔABD是等边三角形，∴DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，又DO＝，∴D到平面ABC的距离是.故选B.点睛：求点平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作二证三算；第二种方法利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三咱方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值.

12．【答案】D【解析】分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．详解：由题意可知几何体是一个球，被2个经过球心的垂直平面所截，上面保留相对的2个，下部保留2个相对的的球体，剩余几何体的体积是原几何体的一半，=．故选：D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

13．【答案】A【解析】分析：由球的表面积明确半径，利用条件,明确△的外接圆半径，进而得到外接球半径与△的外接圆半径及ＰＡ的关系，表示三棱锥的体积，然后利用导数求最值即可．详解：设外接球的半径R，易得解得在△中，设，又,,∴，即△为等腰三角形，设△的外接圆半径为r，则2r，即r又平面,设则三棱锥的体积令，,则∴三棱锥的体积的最大值为故选：A点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.

14．【答案】B【解析】分析：从三视图看，原来的几何体是一个四棱锥，它按如图所示的形式放置．详解：几何体如图所示，其中为等腰直角三角形，平面平面，四边形为矩形且面积为，点到平面的距离为，故