数学物理方法第二章复变函数的积分

数学物理方法第二章复变函数的积分第一页，共四十一页，2022年，8月28日1存在且与k的选取无关,则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A到B的路积分，记为即若第二页，共四十一页，2022年，8月28日

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iyf(z)dz=(u+iv)d(x+iy)

参数形式：曲线l的参数方程{x=x(t),y=y(t)},起始点A

tA,结束点

BtB第三页，共四十一页，2022年，8月28日几个重要性质1.常数因子可以移到积分号之外2.函数和的积分等于各函数积分的和3.反转积分路径，积分值变号第四页，共四十一页，2022年，8月28日4.全路径上的积分等于各分段上的积分之和即：如果l=l1+l2+……+ln5.积分不等式1：6.积分不等式2：其中M是|f(z)|在l上的最大值，L是l的全长。第五页，共四十一页，2022年，8月28日例：计算积分解：一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有关,同时还与路径有关。oxyl1l1l2l211+iif(z)=Re(z)不是解析函数!(y=0)

(x=1)(x=0)(y=i)第六页，共四十一页，2022年，8月28日§2.2柯西（Cauchy）定理

——研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形单连通域：

在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点。

单连通区域的Cauchy定理：如果函数f(z)在闭单连通区域中单值且解析，则沿中任何一个分段光滑的闭合曲线l(也可以是的边界l0

),函数的积分为零。第七页，共四十一页，2022年，8月28日证明：由路径积分的定义：因f(z)在上解析，因而在上连续。xyolL沿l环线正向走环域在左侧第八页，共四十一页，2022年，8月28日对实部虚部分别应用格林公式将回路积分化成面积分又u、v满足C-R条件

平面内曲线积分和二重积分之间关系第九页，共四十一页，2022年，8月28日GeorgeGreen

(14July1793–31May1841)wasaBritishmathematicianandphysicist,

whowrote"AnEssayontheApplicationofMathematicalAnalysistotheTheoriesofElectricityandMagnetism".

Green'slifestoryisremarkableinthathewasalmostentirelyself-taught,havingonlyhadaboutoneyearofformalschoolingasachildbetweentheagesof8and9.

HeenteredCambridgeUniversityasanUndergraduatein1833aged40andgraduatedin1837.AftergraduationGreenstayedonatCambridge,writingonOptics,AcousticsandHydrodynamics.However,in1840hebecameillandreturnedtoNottinghamwherehediedthefollowingyear.第十页，共四十一页，2022年，8月28日10推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是的边界)，有

（二）复连通域情形如果区域内存在：(1)奇点；(2)不连续线段；(3)无定义区为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道l1、l2、l3把它们分隔开来，形成带孔的区域—复连通区域。第十一页，共四十一页，2022年，8月28日一般而言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复连通域区域边界线的正向

当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。

xyl0oBl1l2l3l0第十二页，共四十一页，2022年，8月28日复连通区域的Cauchy定理：如果f(z)是闭复连通区域中的单值解析函数，则l

为外边界线，li为内边界线，积分沿边界线正向证：作割线连接内外边界线第十三页，共四十一页，2022年，8月28日即第十四页，共四十一页，2022年，8月28日柯西定理总结：1.若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域上连续，则沿上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是的边界)的积分为零；2.闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零；3.闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。由Cauchy定理可推出：

在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f(z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。第十五页，共四十一页，2022年，8月28日证明：由图可知其中表示C2的反方向。由积分的基本性质可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。C1C2BAD第十六页，共四十一页，2022年，8月28日§2.3不定积分（原函数）

根据Cauchy定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑曲线l的积分只与起点和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点z0而变化终点z,这个不定积分便定义了一个单值函数F(z):第十七页，共四十一页，2022年，8月28日F(z)的性质：(1)F(z)在B上是解析的；(2)即F(z)是f(z)的一个原函数。原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅相差一常数，这一常数决定于起点z0。可以证明：第十八页，共四十一页，2022年，8月28日

例一：计算积分解：（1）当n-1时，zn的原函数是z(n+1)/(n+1)故（2）当n=-1时，z-1的原函数是ln(z),故此积分与路径有关系！因z=0是1/z的一个奇点。如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。第十九页，共四十一页，2022年，8月28日例二：计算积分其中l是正向圆周|z|=a>0。解：显然函数ezsinz在复平面上处处解析，由Cauchy定理知

故此题若用复积分的计算公式则非常复杂。第二十页，共四十一页，2022年，8月28日例三（重要）：计算

(n为整数）

解：（1）如果l不包含点，被积函数总解析,按柯西定理，I=0;(2)如果l包含点,又要分两种情况：(a)n0,因被积函数解析，

I=0;(b)n<0,被积函数在l内有奇点。

xyl0oBlCR第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日用半径为R的圆周C包围

点，则l+C构成复连通区域，因此原积分变成圆周C上的积分，在C上故:第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日这样,(a)n-1

(b)n=-1总结起来有第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日§2.4柯西（Cauchy）公式

解析函数是一类具特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而是密切相关，这种关联的表现之一就是Cauchy积分公式。一、单连通域情形若f(z)在闭单通区域上单值解析；l为的境界线，为内的任一点，则有Cauchy积分公式：第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日证明：由（2.3.4）式从而仅需证明因被积函数一般以为奇点，作如图所示回路，有••l第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日对右端值作一估计因于是（2.4.2）左端与无关，故必有第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日正向作变量代换对复连通区域，（2.4.3）式仍成立，只要将l理解成所有境界线，且均取正向Bl•

z将l2l1第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日二、无界区域的Cauchy积分公式

如果：f(z)在l’外部解析，且当|z|时，f(z)0(一致)，则：注意：l和l’的方向不同，但都是所考虑区域的正方向（正方向是指：当沿着该方向走动时，所考虑的区域始终在左方）•

zl’第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日三、Cauchy积分公式的重要推论（任意次可导！）：

第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日本章基本要求：1.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关键步骤。2．掌握(2．3．4)式及(2．3．5)式作业§2.4.2(本章作业免做免交）

第三十页，共四十一页，2022年，8月28日例一、计算积分I,其中C为不经过点0和1的正向曲线。解：(1)如果0和1都不在C中，则被积函数解析，因此,由Cauchy定理得I=0; (2)若仅0在C内,函数在C上及C包围的区域解析，由Cauchy积分公式，得到•

z=1•

z=0C(2)C(1)第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日（3）若仅1在C内,在C上及C包围的区域解析，由Cauchy积分公式，得到•

z=1•

z=0C(3)第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日33

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