数模培训围棋模型

数模培训围棋模型第一页，共三十一页，2022年，8月28日一、问题及分析

众所周知，自围棋问世以来，围棋棋盘的设置经历了数次变化，这自然会令人提出一个问题：现在的棋盘是否还会变化？方形棋盘每边设计多少道才是最佳的？

另外，关于先手贴后手的目数规定也经历了一些变化，那么，到底先手帖后手多少目才最为合理呢？第二页，共三十一页，2022年，8月28日

我们先来研究一下方形棋盘。

围棋棋盘是由纵横交错的线组成的方形交叉点域，我们把四条边界线称为一线，与边界相邻的四条线称为二线，这样，依次根据与边界的距离而称为各线为三线、四线——各线上的点由于距离边界相同，因此，它们便具有比较一致的特性。第三页，共三十一页，2022年，8月28日

下围棋最先考虑的还是棋块的死活问题，所谓棋块，即是棋子相互接连没有被断而形成的整体，如果一块棋不活，占的交叉点再多也没用，因此，研究每一线围棋的作用时，应首先考虑那一线棋子的成活速度，即最快——更确切地说是用最少的点来得到活棋，我们先引入准活型的概念：第四页，共三十一页，2022年，8月28日定义一棋块虽不是成活型棋块，但当对方进攻此棋块时，总可以通过正确应对而最终成为活棋，则此块棋称为准活型棋块。

准活型的概念显然有其实际意义，事实上，对弈开局时棋手们只是把棋走成大致的活型，而并非耗费子力去真正把棋块做成成活型。第五页，共三十一页，2022年，8月28日例1

计算二线、三线、四线棋子形成准活型棋块所用的最少子数。我们摆出二线、三线、四线的最快准活型：图1第六页，共三十一页，2022年，8月28日用

由此可以看出，三线较二线、四线的成活速度要快。从此例还可以看出，五线、六线等其他线型成准活型的速度显然要慢于三线，即（i为自然数）表示第i线形成准活型所用的最少子数，从图1易得到第七页，共三十一页，2022年，8月28日因此，就控制边的能力上看，三线具有最快成活的特点，从而成为围棋杆上重要的一线。二、棋盘模型的建立

为了对围棋问题建立数学模型，需对围棋棋子价值有个数学描述，为此我们给出如下定义：第八页，共三十一页，2022年，8月28日

定义2对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商值称为此棋块的目效率，记为PE。从上边定义看出，目效率表示单位棋子所占的目数，即表示此棋块平均占有目数的能力。

下面利用此概念对围棋棋盘问题建立模型。第九页，共三十一页，2022年，8月28日

围棋的棋盘由古时的每边11道增至现在的每边19道，其间历经数千年。这种进化的过程也显示着人们的认识逐渐接近真理。现在的棋盘经受了二千年的考验，其边数设置必有其合理性，关键在于先手和后手的无差异上，古人在不贴子的情形下仍可公平对弈，说明先下的一方占的便宜不会太大。可以推测，围棋内部一定存在两种抗衡的力量，使先手即使先落子也无法取得多少优势。第十页，共三十一页，2022年，8月28日

一般的棋类（如象棋），往往有攻有守，攻守之间有一种平衡，而且随时可以转换，因此，先手一方即使先进行攻击也未必得胜。由此可以说，一般棋类之所以变化无穷，根本原因在于其包含了攻与守这既对立又统一的两个方面。它们在胜负的天平上地位相同，相互抑制，一切取胜的走法或定式不过是围绕着攻与守，或以守为攻——来进行罢了。第十一页，共三十一页，2022年，8月28日

围棋亦如此，但围棋的攻守（攻为欲杀死对方，守为不被对方杀死）却显然不同于其他棋类。由于弈棋双方轮换落子，因此，单纯为杀死对方而进行攻击要比防守来得困难。就是说，围棋里的攻与守无法取得相同的地位，因此，绝不能把围棋也认为是攻与守的对立一体。第十二页，共三十一页，2022年，8月28日

但围棋那样富于变化，从根本上讲，其内部一定存在着两种力量的抗衡。这两种力量既可以对抗，又可随时转换。关于这两种力量的确定自然要涉及围棋的特点，我们知道，任何事物的两个对立面之间的斗争都是围绕着事物的发展规律而展开的，象棋的两个对立面之所以是攻与守，无非是缘于其取胜规则为吃掉对方的将（帅），不进攻当然不行。第十三页，共三十一页，2022年，8月28日因此，在确定围棋中对抗的两种力量时必须意识到：这两种力量抗争的最终目的与围棋的目的应统一的，即多占地盘。

首先，我们把围棋棋盘按区域特点笼统地分为边部和中腹。从做活和占地两个角度看，边部因空间受阻而易受攻击，但可利用边部成目快的特点迅速做活，有根据地后再图发展；第十四页，共三十一页，2022年，8月28日中腹则由于四方皆可发展，不容易受到攻击，做活便退居其次，而先去抢占空间，由此可见，边部和中腹将成为围棋中的两种对抗的努力，除此之外，还应保证两种势力所具有的价值相同，从而使二者能够真正地进行抗衡，这是必要的，否则，无论偏重哪一方，围棋都会成为单一争夺边部或中腹的乏味游戏，而且使先手棋获益颇大。第十五页，共三十一页，2022年，8月28日前面在讨论三线的作用时，曾经指出三线控制边部的优势，显然，控制中腹的重任无疑落到了紧邻的四线上，这样，问题最终可化为：怎样设计方形棋盘（即每边选取多少道）使三线围成的边部与四线围成的中腹具有相同的地位或最小的差异？三线点、四线点设置如图2（此时棋盘每边道数为19）、设三线点、四线点组成的棋块目效率分别为第十六页，共三十一页，2022年，8月28日根据三线与四线目效率相近的原则，我们提出本节的数学问题：方形围棋棋盘每边设置多少道数，将使的绝对值最小？第十七页，共三十一页，2022年，8月28日三、模型求解

假设棋盘每边为x道，x为自然数，为了实用的需要，围棋棋盘不宜太大，也不宜太小，设11≤x≤23。参照图2（此时x＝19），由于对x的限制，三线围成的边及四线围成的中腹已成为实空，对方无法在其中做活。这样，所有三线围成的目数为8x-16，其目效率为

PE3=第十八页，共三十一页，2022年，8月28日而由四线围成中腹的目数为（其目效率为两目效率之差为第十九页，共三十一页，2022年，8月28日图2方形棋盘每边19道时的情形第二十页，共三十一页，2022年，8月28日对于PE3，如果把x看作连续变量，易看出它是关于x的单调下降函数，这是因为PE3可改写为同理，对有第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日将关于x求导得由，从而即关于x单调上升，这将导致也关于x单调上升。因而，对于方程若有解，其解只能有一个。第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日又由于

故由连续函数介值定理，开区间（18，19）中，显然其解非整数。而我们寻求的是使最小的整数解，的单调性及即知将使最小。的解含在由第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日四、胜负贴目的估算围棋是一项竞技活动，从公平的意义上讲，弈棋双方如果水平棋力严格相同的话（尽管这在实际中不可能），无论谁先手下棋，其结果都是两方占地相同。因此围棋对弈应该有和棋。对围棋最终的结局必须有明确合理的规定——先手贴后手几目――以保证弈棋双方的平等地位。下面利用目效率对胜负贴目的可能目数做一估算。第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日围棋棋盘每边道数的确定19×19，使围棋中的三线与四线的地位几乎相同。确切地讲，是三线点占边部实空与四线点占中腹实空的目效率近似相等，当一方抢占边角（占三线点）时，另一方可用中腹（占四线点）相对抗。从数学的角度抽象地看，目效率的概念也可使我们摆脱棋盘的束缚，不必考虑三线点、四线点数目的不同及它们在特定棋盘上的位置差异，而把围棋直接想象为三线点与四线点的阵营对抗。第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日由于四线点目效率比三线点的目效率略高约0.09，故先手一方挑选四线而占之，后手因为有足够的贴目补充抵消三线与四线的差异而从容地在三线应之，效率对双方不偏不倚。现在的问题是：先手需贴后手多少目可平衡这微小差异？三线点、四线点设置仍如图２，再设四线需贴三线ｙ目，由双方目效率相等的原则，第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日有

即先手终局时需贴出5.2目（事实上目数不会出现这种小数），这与现在中国（贴子）及日本（贴5目半）的胜负规则比较接近。第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日五、总结与讨论以上推理演绎抛开了围棋的具体弈法，利用效率概念从宏观上对围棋进行数学模拟，提出了两个数学问题。令人鼓舞的是，这两个问题的数学结果恰巧与围棋的实际状况或经验相符或接近。当然，我们的模型应是客观地建立在围棋本身的规则或规律上，关于围棋本质性的东西还有待进一步认识。对以上的推理和计算我们还可做另外的假设。第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日我们考查图２中的四个三三点与四个四四点（即星位），发现它们对围空并未起什么作用，去掉它们三线点与四线点依然连成一体成空地，故这些点对成目不起效用，而只能算官子，或防止对方切断的一手。因此