2022高考数学创新设计二轮复习 第1讲　函数的图象与性质

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专题六

函数与导数第1讲函数的图象与性质高考定位1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟

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对接高考内容索引真题感悟

考点整合1A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1B对于选项C，D，显然定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.D因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，3.(2020·新高考山东卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(

) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.4.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________.1解析函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞).综上，f(x)min＝1.1.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x). ②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.2热点聚焦

分类突破热点一函数及其表示A.(1，2] B.(2，4] C.[1，2) D.[2，4)BD综上，不等式f(x)≤5的解集为[－2，3].1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.探究提高A解析当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，热点二函数的图象及应用B当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋2＞0，所以f(x)＜0，排除D.故选B.(2)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(

)A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)D解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不符合要求的图象.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.探究提高A所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D.当0<x<1时，f(x)<0，排除B，只有A适合.(2)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.1解析由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上单调递减，所以0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，得t＝1.热点三函数的性质及应用D解析由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0

①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6

②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，(2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是(

)A.f(7)＝0 B.f(x)的一个周期为8C.f(x)图象的一个对称中心为(3，0) D.f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2019ABC解析依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1，0)是f(x)图象的一个对称中心，又因为f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x＋2)，f(x)＝－f(－x－2)，所以f(－x＋2)＝－f(－x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－8)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x＝2019＝8×252＋3，所以直线x＝2019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误，故选ABC.考向2函数的单调性与奇偶性ADA.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数C.f(x)在R上单调递增

D.f(x)在R上单调递减解析由题意知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称.对任意x∈R，C1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.探究提高【训练3】

(1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(

)B解析因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x).因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知，不能确定数值.(2)(2021·衡水模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)，对任意的实数x，都有f(x)－f(－x)＝2x，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>1恒成立，若不等式f(a)－f(1－a)≥2a－1恒成立，则实数a的取值范围是(

)A解析由f(x)－f(－x)＝2x，得f(x)－x＝f(－x)－(－x).设F(x)＝f(x)－x，则F(－x)＝F(x)，F(x)为偶函数.由f′(x)>1，知F′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增.由f(a)－f(1－a)≥2a－1，得f(a)－a≥f(1－a)－(1－a)，∴F(a)≥F(1－a)⇔F(|a|)≥F(|1－a|)，专题训练

对接高考3巩固提升一、选择题1.(2021·北京卷)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件A解析显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，排除A；D3.(2021·广州模拟)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，则g(2)＝(

) A.－4 B.4 C.－8 D.8解析

依题意f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋a，①所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋a，即f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋a，②②－①得2g(x)＝－2x3，g(x)＝－x3，所以g(2)＝－23＝－8.故选C.C4.设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(

)C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，5.(多选)(2021·辽宁五校期末)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则(

)A.f(1)＝0 B.f(x)是周期函数C.方程f(x)＝0有唯一实数解

D.函数f(x)在(－∞，0)上单调递减AC解析

∵x∈R，f(1＋x)＝－f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称.令x＝0，则f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0.又∵当x≥1时，函数f(x)单调递增，∴当x<1时，函数f(x)单调递增，∴f(x)不是周期函数，∴方程f(x)＝0有唯一实数解.∴A，C正确，B，D错误.故选AC.6.设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(

)D又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C；二、填空题7.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.1解析法一因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.法二因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.法三由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数.设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.－ln4解析

∵f(－1)＝f(1)，∴2－1＝log2(1－a)，易知x<0时，f(x)＝2x∈(0，1)；又x≥0时，f(x)＝log2(x－a)递增，故f(x)≥f(0)＝log2(－a).解得－1≤a<0.10.设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________.－1(－∞，0]解析奇函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1(经验证符合题意).∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；解f(x)在R上单调递增，证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上单调递增.(3)若f(x)为奇函数，解不等式f(ax)<f(2).解∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(ax)<f(2)，即f(x)<f(2).又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴不等式的解集为(－∞，2).能力突破12.(多选)(2021·济南统考)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，则下列说法正确的是(

) A.函数f(x)为偶函数

B.当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x) C.当x∈R时，f(f(x))≤f(x) D.当x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)ABC解析

在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝|x－2|，y＝x2，y＝|x＋2|的图象如图所示，显然f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，故A正确；当x≥1时，f(x)＝|x－2|，f(x－2)的图象可由f(x)的图象向右平移2个单位长度得到，显然当x≥1时，f(x)的图象不在f(x－2)图象的下方，即当x∈[1，＋∞)时，f(x－2)≤f(x)，故B正确；由图可知，当x∈R时，f(x)≥0，令t＝f(x)，t≥0，由y＝f(