2012年全国数学建模竞赛优秀选

题 要 用最小二乘法估计参数，得到了空间飞行器的轨道估计，并使用LMF法进行了常微分方程组的初值问题，采用4阶库塔积分求解得到结果。对于问题二，利用逐点交汇的思路，将0号空间飞行器在06、09号观vvr与v(t相反；m(t设为一次线性函数，质量变化率为固定值。将所求的飞行器位算得残差：60.929510360.500110391.0696103

0.2776103一个旋转误差，分别设为d、d和d。将这些误差量叠加到观测量、得d60.0016d6=-4.75105d6=0.0395d9-0.0167d9=-0.0241，d90.04目问题重 符号说 问题背景及分 基本假 问题 问题 问题 问题 总结与展 参考文 有些国家会发射特殊目的的空间飞行器，如弹道式、侦察等。对他国发射具有敌意的空间飞行器实施并作出快速反应，对于国家安全具有重要的意义。居高临下，是探测空间飞行器发射与轨道参数观测按轨道特点，可分为高轨地球同步轨道和中低轨近圆轨道卫，激光）搜寻目标，同时具备定向和测距两种能力；无源探测器则接收目标辐射。采用无源探测器的观测常采用红外光学探测器，只接收目标过数学模型与计算方法作出的。当观测飞行一段时间，探测器测得目标相对于运动的观测数据，以观测和空间飞行器的运动模型和观测模型为问题一、观测在任意时刻的位置计算是估计的前提，请根据satinfo.txt200.0s、250.0s五个时刻的三维位置。结果保留6位有效数字。号空间飞行器 （1）框架下的轨道估计，注意选取适当的vr(t)和m(t)的50.0s170.0s10.0s0号空间0t-x、t-y、t-zt-vx、t-vy、t-vzddd同时有多颗观测观测多个空间飞行器的情况下能否联合进行系统误差估符 含

r(t对时间t vr

层空间的惯性飞行段和再入大气层后的段。主动段通常由多级火箭相继推段则根据任务需求，受控制后再入大气层，飞向目标。对于而言，在其结束前一直绕地飞行，故无段。 椭圆轨 空间飞行器主动段轨道的示意3-1是空间飞行器的主动段示意图（未按实际比例。主动段又可细分为A点为地面发射点，AB为垂直上升段，BC弧段为程序拐弯段，CD弧段为重力斜飞段，DE弧担“垂直段+程序拐弯段（加外力矩）+重力斜飞段的前段”的推进（视发动机标系为随地心平移的坐标系，取地球中心Oc为原点，地球自转轴取为z轴，指向坐标系OcXcYcZc。地心Oc在绕日椭圆轨道上运动，所以理论上OcXcYcZc系是 观测坐标系示意 运动的观测坐标系OsXsYsZs，见图3-2，原点取为中心Os，Xs轴沿OcOs连线，离开地球方向为正，Zs轴与Xs垂直指向正北，Ys轴按右手系确定。由于一般测量的轨道都不会严格经过南北极上空，所以这种坐标系的定义是明确的。如此定义的观测坐标系也叫做UEN坐标系，因为记飞行器在惯性系中的位置向量为rtxt),y(tz(t)，速度向量为： v(t)r(t)；相对于火箭尾部喷口的喷射速度的矢量用vr(t)表示，其方向始总质量，m(t)为瞬时质量，而m(t)是质量变化率。m(t)r(t)Fe(t)FT （3- kM Fe(t)

r(t)

（3-M为地球质量，k

kM，取

m3/s2 v2、喷射物在分离时对火箭尾部喷口的相对速度vr dm(t) （3- m(t)vr vr （3-r FT) vr(t)r m(tm(t一般而言应为严格单调递减的非负函数。vr(t的方向一对观测来讲，FT(t)0，则其简化运动方程为 Gm 3r （3-|r(t)观测对于空间飞行器的观测数据通过化简可以由观测坐标系下的两个ys

（3-xsyszs信息处理等多个方面。系统误差也包括多种来源，如定位误差、指向机构误星平台相关的系统误差，即不同观测的系统误差相互没有关联，同一观测卫数据平面上表现为两个平移误差和一个旋转误差，具体可以用三个常值小量d,d,d来表示，分别表示第一观测量的平移量、第二观测的平移量以及观测量在对于问题一，已知零时刻在基础坐标系下的位置和速度(x0,用四阶库塔法，可数值积分出的运动轨迹。对于问题二，首先根据第一问求出在各时刻的位置，也即观测坐标系的原点Os。进而求出观测坐标系和基础坐标系的在Os处的转化关系。逐点交汇的思路为：将06号和09号对0号空间飞行器的观测坐标分别转化到惯得观测时刻点的

0号空间飞行器的轨道个旋转误差，分别用d、d和d表示，分别代表第一观测量的平移量以及观测量在平面内的旋转量。将这些误差量叠加到观测量和后再根据 d。1、基础坐标系以地球中心Oc为原点，由于地球公转周期远大于空间飞行器3、只考虑与平台相关的系统误差，即不同观测的系统误差相互没4、假设被研究的空间飞行器处于重力斜飞段的后 Gm 3r|r(t) （5-其中，Gm（14 2 Gm m 表示r(t对时间t位置，结果如表5-1所示。 09号观测在规定时刻的三维坐xyz0据(t)(t，间隔为0.2s。已知t时刻空间飞行器的观测数据(t、(t观测坐标系下的位置为rstr0c(t(X,YZ)

(tyst()sz,，基础坐标系下的位置为(t)ys

xs(t),(t)zs

和09 在t时刻的位置r6(t)转，其中旋转矩阵R6(t、R9(t)。R6(t)、R9(t)i6(t)

j(t)kr k(0, （6- k6(t)i6(t)j6

j(t)kr k(0, （6- k9(t)i9(t)j9

R(t)

R(t) [i6(t),j6(t),k6 6 R(t)

R(t)

R(t) [i9(t),j9(t),k9 9 R(t) , ，同理有 r6 r6 TR9(t (r rs(t

R1(t) 6 R1(t)

66 6 （6-TTR1(t) TT99 R1(t)(rT(t)rT 9 rr器从50s到170s，以0.2s为间隔的位置观测数据。

vr(tvr(t)m(t)m

（6- v 其中，B为单位矢量方向与飞行器速度v(t)方向相反，B ；y为vr(t)v

（6-

r

yB xm00

|r(t) 3

r(t)]

|r(t)0.2s,50~170sr(tv(tr(t差分的具体过程如下：已知任意时刻tttt2t的飞行器位置 rnrn1rn2rn3,

rn2

rn+22rn1rn1 t (6-这里需要说明的是，在差分过程中时，差分节点间距t的大小会对结果产生很大影响。经过多次仿真和分析，认为主要原因是，当t过大时，差分结果不能很好反映当前节点的速度及加速度；当t过小时，差分产生的结果抖动明显，含噪很大。因此应选择合适的t进行差分。方程（6-6）t 3

|r(t)

x y(AB)y

（6-

x rr(t) (6-

ts

其中ts206.925105s,vr5886.253179ms 0号空间飞行器在各采样时刻的位-------------6-20vx(m/vy(m/vz(m/ 0号空间飞行器的xt曲线示意 0号空间飞行器的yt曲线示意 0号空间飞行器的zt曲线示意图6- 0号空间飞行器的vyt曲线示意

图6- 0号空间飞行器的vxt曲线示意图6- 0号空间飞行器的vzt曲线示意6.16.3中得到的估计数据，计算估计残差。t50,t50,t0 (t)-(t)

06090609

观察分析可知，估计残差在103上，而且09号观测的估计残差要小于06号。已知的观测数据在103数量级，而且已知数据本身含有随机误差，因此该估中估与测的系统误差相互没有关联；同一观测对不同空间飞行器的系统误差相同，并且将系统误差简化为观测坐标系的三轴指向误差（忽略原点位置误差。测角位观测数据平面上用两个平移误差d、d和一个旋转误差d表示，其中d、d和d7-1y分别向负方向平移d、dd,

sindcosdcosdsindd （7-7-1所示，已知OBAB；则ONODd；OFFDd ADtand

(d)tand

（7-OMADd(ABBF)cosdd(tand)cosddcosdsindd

（7-作为无系统误差的参考点，将()修正为与第二问的估计值对应的观测坐标据方程（6-3），有：R1(t)

R

(7-

其中rs(t为观测rg(t入上式，则该方程组的未知数就为d、dd。由于含有cosdsind等非线性项,方程为超定非线性方程组，无法直接利用最小二乘法求解，本文采用7-169引入观测数据，得到的即为修正系统误差后的观测数据。t时刻的修正观测数据(t和(t，满足如下关系式(t)ys(t)xs(t),(t)zs(t)xs (7-r0cr0c

(X,YZ06号R1(t) 6 R1(t)

6 6 (7-R1(t) 9 R1(t)(rT(t)rT 9 vr(tvr(t)m(t)m

（7- rr其中ts182.3s,vr4915.6ms

ts 0号空间飞行器在各采样时刻的位------------- 0号空间飞行器在各采样时刻的速vx(m/vy(m/vz(m/ 0号空间飞行器的xt曲线示意 0号空间飞行器的yt曲线示意 0号空间飞行器的zt曲线示意 0号空间飞行器的vxt曲线示意图7-60号空间飞行器的vyt曲线示意 图7-70号空间飞行器的vzt曲线示意7.27.3中得到的估计数据，计算估计残差计算同（6-90609号0.95610-数据只有观测坐标系下的两个观测量、0101号空间飞行器进行粗略轨道估计，根据相关文献[3]中的说明，弹道式、等空间飞行器一般均可认为其弹道曲线首先，利用7.2中获得的09号观测的系统误差d、d、d对观测、进行修正，得到修正后的、（仍用相同的符号表示，假设观测坐标系中的点为(xsyszs，则利用、可表示出仅含未知量xs的点(xs,xs,xs，即： z]T x 基础坐标系中，得到点(X,Y,Z)。

XRxsr Y AiXiYiZi]T0，即(AiAjAk0（6.5飞行器和多个观测对同一空间飞行器的观测，联合得到系统误差的估计。mvr(t)