数学建模一等奖论文

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)：A我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：沈阳航空工业学院参赛队员(打印并签名)：1.田山林2.张德龙3.刘赛华指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组日期：09年9月13日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号)：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用)：全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号)：全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号)：评阅人评分备注1制动器试验台的控制方法分析摘要本文通过对制动器试验台工作原理的分析，分别建立了汽车路况载荷等效替代模型；驱动电流与可观测量的微分方程及差分方程模型；能量损失误差评价模型。运用等效替代模型计算得问题1的等效惯量为52kg•m2，同时问题2运用转动惯量定义式得到答案，再根据所建立的驱动电流与可观测量的微分方程模型解得第3题的结果为174.8A或-262.2A。通过建立的总能量损失相对误差评价模型，借助MATLAB软件对第4题所提出的控制方法进行合理化的评价；在问题3的基础之上，依据驱动电流与可观测量的差分方程，运用C语言进行编程，建立了一个包含闭环控制反馈控制理论的与实际相切合的电动机补偿惯量模拟系统。并根据能量误差对该计算机控制方法进行合理的评价，根据能量误差修正的方法得到合理的优化方案。通过以上几个模型的分析与建立，这几个模型看似相互独立，其实相互之间紧密联系，三者联系才是整个制动器试验台的理论基础。关键词：载荷等效替代差分方程总能量误差电动机补偿惯量反馈环节(闭环)模拟系统设计2目录一、问题重述............................................................3二、模型分析与假设......................................................42.1模型分析........................................................42.2模型假设........................................................4三、符号说明............................................................5四、模型建立............................................................64.1模型(一)........................................................64.1.1等效替代模型...............................................64.1.2机械惯量求解模型...........................................74.2模型(二)驱动电流与转速(可观测量)的变量微分方程模型.............94.3模型(三)能量误差评价模型.......................................124.4模型(四)电动机补偿惯量模拟系统分析.............................15五、模型求解...........................................................195.1模型(一)的解...................................................195.1.1等效替代模型..............................................195.1.2机械惯量求解模型..........................................205.2模型(二)的解...................................................215.3模型(三)的解...................................................225.4模型(四)的解...................................................25六、模型的检验.........................................................276.1误差及灵敏度分析...............................................27七、模型优缺点分析.....................................................287.1模型的优点.....................................................287.2模型的缺点.....................................................28八、模型的改进与推广...................................................298.1模型的改进.....................................................298.2模型的推广.....................................................29参考文献...............................................................30附录...................................................................313一、问题重述1.1关于制动器试验台制动器的设计是车辆设计中十分重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。同样，制动器的检测是体现制动器设计水平的一项重要指标，但是为了检测制动器的优劣又必须在实际中做大量的模拟——路测，为了定量地检测制动器的综合性能，特别是便于汽车设计端的综合性能检验，于是构造了控制器试验台，用其便很好地模拟了这项试验。制动器实验台(BrakeDynamometer)主要由飞轮、主轴、驱动电动机、制动器、测量和控制系统组成。本题所述制动器是采用有限级飞轮和驱动电动机的力矩来模拟实际的等效负载(惯性负载)即惯性负载模拟。保证飞盘(包括基础惯量)的等效转动惯量主要是通过调节电动机补偿电流进而产生对应力矩而实现的。1.2问题提出1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，求等效的转动惯量。2.飞轮组由3个外直径1m、内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392m、0.0784m、0.1568m，钢材密度为7810kg/m3，基础惯量为10kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48kg·m2，机械惯量为35kg·m2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。4二、模型分析与假设2.1模型分析本题要解决的是与实际汽车制动情况相结合的问题，试验台是把这种关系建立在力学与电学相结合的一种控制系统之上，这也给我们提出了一个解题的指导方向——研究这种力学与电学之间的关系，引用文中所述即电动机补偿惯量模拟系统分析。这层关系也涵盖了问题三、五、六的解决方法，其中第三题是解决第五题的线索，两题围绕驱动电流的求解和驱动电流的预测而展开，第六问是在第五问的基础上对模型的优化问题。针对问题一、二只是涉及到根据定量的方程定理求解，不过这两步总体而言是让我们了解工作台力学方面的原理，可以理解为是解决三、五、六题的基础。针对问题四，其解答比较独立，我们可以借助MATLAB软件数值分析的功能，建立一个关于总能量差值的评价模型。简而言之，我们接下来的解题思路是通过一、二问的求解和给出的参量分析工作台的力学原理。通过题目所给出的能量误差的定义，应用统计学知识，并利用MATLAB软件建立能量误差评价模型来解决。而对于相互关联比较大的第三、五、六问，我们就采用逐步深入的方法，通过第三问理解这种补偿关系——电动机补偿惯量，并在第五问中前值与后值关系运用迭代函数的原理明确这种递推关系（电动机补偿惯量模拟），在六问中，考虑误差的前提下对这种模型进行优化处理，并对第五问进行分析改进，以达到优化设计的目的。2.2模型假设2.2.1路试时轮胎与地面的摩擦力无穷大，轮胎与地面无滑动；2.2.2假设模拟试验中，主轴的角速度与汽车车轮的角速度始终一致；2.2.3忽略车轮自身转动具有的能量；2.2.4假设试验台电动机的驱动电流与预期产生的扭矩成正比(本题中比例系数取为1.5A/N·m)；2.2.5不考虑摩擦生热所产生的温度t对飞轮制动器性能的影响，同样排除气压p、温度δ、湿度ξ和空气阻力f对飞盘及飞盘制动器所产生的影响；52.2.6数据处理时，不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；2.2.7假定制动器的制动力矩是前一段适合下一段。(题目中说到以恒定的力踏下制动踏板)；2.2.8假定以恒定的力踏下制动踏板，即制动器制动转矩为定值，不受其它因素的影响。三、符号说明D：飞轮的外直径；d：飞轮的内直径；g：重力加速度；：第j飞轮组的厚度j=1、2、3、4……；jhI：转动惯量；：电动机驱动电流；dI：等效转动惯量；dJ：电动机补偿惯量；DJ：基础惯量；gJ：机械惯量；jJ：第i种组合的机械惯量i=1、2、3、4……；miJ:第j种飞轮的转动惯量j=1、2、3、4……；fjJ：第j种飞轮的质量j=1、2、3、4……；jmn：转速；：第i段时间间隔内的转速；ino：共有的飞轮数目o=1、2、3、4、5……；：电动机的有用功率；iP：能量；iQ车：车轮滚动半径；rr：整个实验过程分成的段数；R：车轮实际滚动半径；：为第i段时间间隔内的扭矩；iT6：：电动机的转矩；dT：等效转矩；zT：理论能量值；理WΔt：给定单个时间段长度；α：角加速度；ϖ：角速度。四、模型建立4.1模型(一)4.1.1等效替代模型现实意义中，汽车在制动时会由于惯性使汽车的载荷分布不均，按照理论力学建立坐标，实际的受力分析如右图(图1)所示，显然轮子的实际受力问题是相当复杂的，并且，由于我们在这里主要研究汽车的等效载荷，即将这个载荷在车辆平动时具有的能量(忽略车轮自身转动具有的能量)等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量称为等效转动惯量。至于制动器试验台等效负载是如何模拟的，我们这里不做更深一步的讨论。关于得到等效载荷后如何得到等效转动惯量，我们建立以下等效替代模型，模型图如下(图2)。首先根据等效载荷的概念，我们可以把等效载荷等效加载于整个汽车轮胎上，而为了便于理解，利用理论力学知识我们建立一个坐标系，把轮子作为参考系，坐标系与轮子一起运动，把制动载荷集中作用在轮子的最低端不动，这样就得到点绕参2G考系坐标转动的模型。图1轮子等效受力图7“质点”转动惯量按下式计算：gIWr•2=式中I：转动惯量，N·m·s2R：车轮滚动半径，m；g：重力加速度，g＝9.8m/s2W：制动时承受的载荷=52.00(N·m·s2)9.826230*0.2862=•=gIWr即汽车的总的能量所等效的转动惯量为52(N·m·s2)当然，我们也可以把轮子看作为一个薄壁圆环，制动载荷全部集中在整个薄壁圆环上，并在薄壁上均匀分布，再由圆环的转动惯量公式也可已得到相同的等效gIWr2=转动惯量，结果是一样的。4.1.2机械惯量求解模型转动惯量分析我们定义由驱动电动机使整个系统达到等效转动惯量时所提供的惯量叫作“电动机补偿惯量”。由驱动电动机在制动环节提供的力矩称作“补偿力矩”。公式表示如下：djD等效转动惯量J=机械惯量J+电惯量JfgD=飞盘转动惯量J+基础惯量J+电动机补偿惯量J即：djDfgDJ=J+J=J+J+J转动惯量模型说明：：第i种组合的机械惯量i=1、2、3、4……miJ图28：第j种飞轮的转动惯量j=1、2、3、4……fjJ：电动机补偿惯量DJ：机械惯量jJD：飞轮的外直径d：飞轮的内直径：第j飞轮组的厚度j=1、2、3、4……jhρ：钢体密度：第j种飞轮的质量j=1、2、3、4……jmo：共有的飞轮数目o=1、2、3、4、5……根据质量公式得：第j种飞轮的质量：)](4.11)2)(2mh[(D2d2jj=πρ−由转动惯量定义得：)](4.12)2)(2[(2J1mD2d2f=+得到第j种飞轮的转动惯量：＝=fjJ)]2)(2[(21mD2d2j+)]}2)(2)]*[(2)(2{[(21hD2d2D2d2jπρ+−＝)](4.13)2)(2[(21hD4d4jπρ−由于共有的飞轮数构成一个组合组合数：P=(4.14)iosiCΣ=1即：共有s个组合数得Jmi=(4.15)Σ=qifjJ0Jmi是第i种组合模型的飞轮组合惯量，该种组合所包含的飞轮数为q由转动惯量分析可知Jf即是本题公式所求。miJ由机械惯量、电动机补偿惯量与等效惯量具有的定量函数关系，得：djDfgDJ=J+J=J+J+J9=+Jg+JD(4.16)Σ=qifjJ0很容易由上面的公式可以得到等效转动惯量关于试验台参数(飞轮直径等)的函数关系式，根据所选的飞轮的组合数的不同，得到不同的等效惯量，这个函数也就是本分析方式所得的模型函数方程。需要说明的是，此函数模型是建立在基础转动惯量为定值，电动机补偿惯量在一定可知区间内变化时建立的，模型具有一定的局限性，所以下面的模型我们会对其进行一定的更改，把这个函数模型建立在更一般的情况下，或者说是由微变量来研究因变量的改变更为现实和可靠。已知基础惯量为10kg⋅m2，并根据组合排列知识：机械惯量＝mJ33231303c+c+c+c＝8,分别是10，40，70，100，130，160，190，220.问题1中得到等效惯量＝52，且电动机能补偿的能量相应的惯量的范围dJkg⋅m2为[-30,30]kg·m2，则需要电动机补偿的转动惯量为Jb1＝52-40＝12kg·m2，Jb2＝52-70＝-18kg·m2(当解为负值时，飞轮的转动惯量大于飞轮的等效惯量,为负补偿状态)4.2模型(二)驱动电流与转速(可观测量)的变量微分方程模型根据已知的条件我们可以弄清驱动电流与电动机提供的扭矩之间的关系为定值(本题目中的比例系数为1.5AN•m)，这样我们可以对给定的制动器实验台进行简化如左图(图3)，由于电动机的电流和对飞轮组及轴产生的力矩(图中T所示)成正比，我们就可以进一步把电动机去除得到飞轮组的受力分析，此时在制动环节开始后，此机构只受到两个力矩的影响，即制动器的制动力矩和电动机的补偿力矩(已定义)，在两个力矩的作用下可观测量转数就会随电动机电流变化而变化，本模型就是考虑到这种变化关系建立了函数关系模型。10变量说明：车：车轮滚动半径r：电动机的转矩dT：等效转矩zT：电动机驱动电流dI：等效转动惯量dJ：机械惯量jJα：角加速度w：角速度n：转速根据题目的已知条件可以等到：1.5(ANm)(4.21)TIdd=•下面我们可以运用两种物理模型推导出电机驱动电流关于可观测量转数之间的微分方程。方法一、动量矩定理我们设一个刚体绕定轴z转动，动量矩定理就是在某一时间间隔内,刚体对z轴动量矩(Izω)的改变,等于在同一时间间隔内作用于刚体上所有外矩力对z轴的冲量矩的代数和。模型建立前我们需要讨论电动机补偿惯量具有正负的情况，由于飞轮的选取不同会得到不同的机械惯量的数值(经过组合后的有限个数值)，而机械惯量与等效惯量之间的关系还不确定，所以电动机补偿惯量的选取有正负的选择问题，具体选择如下表(1)所示：代入本式就是：11()()(4.22)21±•Δ=ϖ−ϖZdjTTtJ其中：制动器的制动力矩zT选取轮与轴运动的方向为正方向。当制动器工作的时候，制动力矩所产生的加速度为负值。Δt就是角速度从减速到所用的时间段，等效变换后我们可以推导21ϖϖ一下不包含微分项的式子：()()(4.23)21•α±Δ=ϖ−ϖddjJTtJ由公式4.23我们就可以得到在Δt时间区间内角速度变化()与电动机驱21ϖ−ϖ动电流(驱动转矩)之间的关系：()tJJtTjddΔ−−•Δ=±(ϖϖ)α21dd=(4.24)I=1.5T()tJJtjdΔ−−•Δ±(ϖϖ)α1.521题目的要求是要建立电动机的驱动电流与可观测量之间的关系，可观测量我们为了便于比较也同样选用转数(n)。电动机转速与角速度之间的关系函数：•60=n(4.25)2πϖ由公式(4.24)、(4.25)建立了电动机驱动电流()与电动机转数(n)函数关系式：dI()(4.26)tJnnJtIjddΔ−−•Δ=±πα()1.53021可以用Δn表示定时间段长度Δt内转速的减少，理解为转速的加速度，公式(4.26)给出的即为驱动电流与可观测量转速n的函数关系。虽然可以很好地解决题目三中的具体问题，由于α为给定值，也必须知道角速度的初始值、结束值，所以说局限性还是有的，方法二我们主要是通过微分方程的形式比较完美地补充了这一个模型不足之处，改变了需要依赖Δn来确定电流的方程形式。方法二、达朗贝尔原理(虚加惯性力)以轴和飞轮作为研究对象，分析此刚体(自身含有转动惯量)的力矩合成。虚加惯12性力矩：(4.27)dtMJJdijjϖ=•α=•(4.28)dtMJJddtTJddjijdϖϖ=•±=(±)•()表示的是电动机补偿惯量的大小，当在一种特殊的情况下给定的加速度diJ−J为常量时电动机扭矩也是一个常量值。同时电动机绝大多数时间是运动在这个时间区间内的，除了电动机启动和停车时的变化无法为常量。电动机转速与角速度之间的关系函数：•60=n(4.29)2πϖ把公式(4.29)代入式(4.28)中经过化简可以得到以下微分关系式：(4.30)dtIJJdn(dj)20=±π这时候我们选取轮与轴运动的方向为正方向。当制动器工作的时候，制动力矩所产生的加速度为负值。可以理解是转速的变化率。由此可以看出方法二把方法一dtdn的理论更加推进了一步，这样就不受Δn的影响而变化了。4.3模型(三)能量误差评价模型能量误差大小是评价控制方法优劣的一个重要数量指标。对于我们的控制器试验台来说，能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。即能量误差=路试制动器消耗能量—实验制动器消耗能量，在本问中，我们主要通过分析总能量终值和过程中消耗总的能量，运用MATLAB软件进行拟合。最后测算出相对误差的最终值，作为评价整个控制器试验台模型的重要指标。根据题中所给的等效转动惯量，主轴初速度、末速度，我们可以计算出现实系统中的能量消耗。而根据附表中给的一系列转速与转矩，我们又可以得出实验台制动过程中能量的损耗，通过计算两者的相对误差和对拟合效果的检测，若相对误差和拟合效果均不错并小于一定的可接受范围，我们就可以说，该控制方法执行的结果的准确性是被认可的。下面就具体呈现这个模型。提前我们就此问现提出过一个假设：车轮的平动动能和转动动能构成了车的整体13能量，整体能量是完全通过车轮的等效转动惯量来体现的。这样我们就不用再考虑汽车的平动动能，只求等效转动动能。也即是我们这个模型中将要得到理论的数值。实验数值也就是电动机给实验台所做有用功的能量，也就是我们可以得到的测量值。4.3.1现实系统中消耗的能量(理论值)：根据角速度与转数n的关系：ϖ2π(4.31)60=n•根据转动动能定理得：(4.32)2w22w-121理始末＝DDWJJ(4.33)22222218001800理始末WnJnnJnDD=•−•ππ其中：:等效转动惯量(kg)DJ⋅m2:理论能量值(J)理W现实系统中已经把所有外界因素和内在自身限制条件(比如摩擦)考虑在内，所得的即是汽车的理论能量变化。4.3.2实验台制动过程中消耗的能量（实验值）为：消耗功率计算：1000(i=1,2,3…………)(4.34)9549iiiPTn⋅=其中：:电动机的有用功率(w)iP:为第i段时间间隔内的扭矩(n·m)iT:为第i段时间间隔内的转速(r/m)in总消耗能量为：(4.35)WPtriiΔΣ=1＝实电动机此时做的功为有用功，即是r段所算出能量的总和，这个值就是现实意义中的实验的测量值其中：Δt:给定单个时间段长度14r:整个实验过程分成的段数4.3.3评估实验结果为了更直观地了解能量误差关系，我们先建立了理论损失能量值、试验测量损失能量值与时间之间的积分函数，利用MATLAB软件对数据点进行模拟，调用其中的“cumsum”命令(命令行见附录Ι)，相当与微段能量损失在时间轴上相对于时间的积分值。简单理解为：=0到某时刻之间消耗总能量与时间的关系。0tit把每一条曲线描绘出来(见附录Ι)，即：得到时间to之前所有时间小段能量损失之和，构成一系列损失能量值与时间的离散点，运用简单的描点连线得到两条曲线，观测这两条曲线的相似情况(见图4)。图4Ei/wi前i项的有函数图像从图中可以看出两条曲线基本拟合，虽然试验值稍微高了一点，但是不会影响我们试验结果的分析，关于误差的分析见下一分析环节。由图可以看出当到达预定停止速度时达到理论能量损失与试验台能量损失之间差值的最大值即Dmax=实理W−W此点即是整个试验的相对误差η。可以求出整个试验系统与实际理论的相对误差：*100%＝5.6%(4.36)-理实理｜｜WWWη=按照相应的参考标准，相对误差是在可以接受的范围以内。误差分析：文章的总体假设中我们假设可以得到完美的等效惯量，以便于可以把不实际的路试测验等效到试验台上来完成，但是还有一点就是本实验台模拟仿真制动的时候，还15需要考虑到制动器闸片受温度影响本身性能会有改变，还要考虑到空间飞轮的形状在空气中的阻力，大气温度，湿度等客观条件的影响，所以说电动机所发出的有用功并不能全部转化为工作台的等效惯量，这个阶段姑且称其为传动能量损失，所以说实验所消耗的能量(前面提到的)比实际汽车制动能量损失略高，这也充分证明了得到的能量图线有一定差值的正确与合理性，这些因素影响的最终体现形式即为能量损失误差η。4.4模型(四)电动机补偿惯量模拟系统分析分析了本题的整个制动器试验台工作原理后，我们认为其中的核心部分便是电动机补偿惯量模拟系统模型的建立，此模型的本质便是函数迭代模型的确定，其中环节运用上了函数离散化方法，运用上一个离散点的物理量通过所建立的函数迭代函数关系式求出下一个离散点物理量，然后把这个物理量再次作为观测值，依次进行下去，达到不断反馈不断调节电动机补偿惯量的这种数学模型，最后把这种控制系统交给计算机系统去处理，得到这种计算机控制方法完成整个电动机补偿惯量模拟系统。4.4.1迭代法求迭代函数式电动机补偿惯量模拟系统模型的建立，其本质便是函数迭代模型的确定，把这种离散化方法具体化，根据能量关系把上一个离散点的物理量带入所建立的函数迭代函数关系式中求出下一个离散点物理量，依此种方法进行下去，利用控制系统（包括计算机环节），实现这种较为理想化的控制方法，完成整个电动机补偿惯量模拟系统。第三题的解答以加速度为联系点，以整个系统的能量为主线，而电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型也是以加速度为联系点建立起来的。可观测量即是上时刻的瞬时转速与瞬时扭矩，先将整个区间进行离散化处理（包括能量损失离散化）：kQ假定时间t被分为了M份，每段Δt。也或是选取Δt秒为观测时间段。下面分析三段：第K点，第K+1点，第K+2点时刻间有两个时间间隔。从K到K+1段；从K+1到K+2段。首先，因为题中讲到以恒定的力踏下制动踏板，也即是说制动器的阻力矩是前一段适合下一段。设第K段末转速,那么第段末瞬时转速，其实题里所给kϖk+1k+1ϖ16可观测量为瞬时转速，由其可以对应求出相应瞬时角速度，于是下文中我把顺时角速度当作可观测量。根据动量矩定理得：(4.41)11++×Δ=−−kkjzktJTTϖϖ其中：：第K+1时刻的瞬时扭矩。k+1T得A时间段过程的制动扭矩。zT将应用于B过程，设第K+2段未知量末转速为,由于制动器的阻力矩是前zTk+2ϖ一段适合下一段，我们得到理想值是：(4.42)+1+2−×Δ=kdzktJϖTϖ其中：：即是上个过程的制动扭矩zT从而我们知道了下段时间即第K+2时刻要尽量达到的瞬时时速k+2ϖ我们在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作的目的即是，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。根据离散能量关系得：第K+1时刻段末21121++=×kjkQJϖ第K+2时刻段末22221++=×kjkQJϖ由以上能量关系得：QQTTTt(4.43)kkhkzkk−=×=−××Δ+1+2+2+2+2θ()ϖ其中：：电动机时段扭矩hTk刚求出来了，从而得，他就是第段的扭矩，由它得第三段的电流I,k+2ϖk+2TK+2可按电流I向下工作。从而循环运行，进行的K+3，K+4…………时的电流根据公式（4.41）得：t(4.44)JTTkkjzkΔ−=+++)11（ϖϖ其中：Tk+1------第K+1段的瞬时扭矩17根据公式（4.42）得：d(4.45)kkkjkkJTt()J1121++++Δ+−=−ϖϖϖϖ把公式（4.45）代入公式（4.43）得：(4.46)JTTtjkkzkk−=−×Δ+++2+22221)(21（ϖϖ）ϖ即可得。k+2T给出根据前一个时间段观测到的瞬时扭矩Tk+1得出包含下一时间段扭矩Tk+2公式即迭代函数关系式如下：12()*121*[*]2*1211tJJJTdtkJjkjkkkjΔ+−−Δ+−++ϖϖ+ϖϖ=ttJTTTdtkJtkkkJkkjkkjΔΔ++−−Δ+−Δ+++−+[+]*[1*]*()*121()*11ϖϖϖϖϖ根据已知正比关系式dd即得到电动机驱动电流依赖于可观测量的数学I=1.5T模型如下：=k+2T11()*+++Δ−kkkTtϖϖJjttJTtJJTdtkJkdtkJjkkkjkkjΔ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Δ+−Δ+−−Δ+−+Δ+−+++***[*]211()*112()*111ϖϖϖϖϖϖ4.4.2计算机控制模型的建立根据在迭代函数建立模型环节得到的的关系式，此关系式依次运用于k+2k+1TT预测下一个电动机扭矩的环节，我们把这个过程简化理解成为一个类似的反馈调节闭环控制系统，初始给定信号即为前一个时间段观测到的瞬时扭矩，通过反馈控制系统不断调整下一个扭矩的值，当然，在这里这个扭矩值我们要用到下一次循环的可观测量。方框图如下图(图5)所示。18中间控制器环节我们可以运用计算机编程来自动地控制下一个输出量，以达到使用模型建立中得到的函数递推式连续控制的效果。根据这个函数可以建立的程序流程图如下，输入即是通过传感器得到的力矩，输出就是根据此环节而得到的控制量。此流程图的核心环节即是这个根据函数模型而建立的整个循环。画出程序流程图：图6程序流程图19根据流程图二建立的C语言程序见附录Ⅱ对这个模型输入几个常量控制台运行时间、时间间隔(如题中给的0.01s)、机械惯量、初始转数1和初始转数2等给定值，就可以模拟出连续的等时间间隔点的电流值，以达到计算机控制系统按迭代函数关系式预测电流的效果。程序的输入界面如下：图7程序的输入界面五、模型求解5.1模型(一)的解5.1.1等效替代模型关于问题一：模型给出两种方法，但是那只是在载荷理想化分布上有所不同，并不影响此模型的求解结果，如下：运用质点或圆环定轴转动转动惯量定义可知：(5.11)gIWr2=式中I：转动惯于量，N·m·s2r：车轮滚动半径m20g：重力加速度，g＝9.8m/s2W：制动时承受的载荷代入模型函数得：I==(N·m·s2)=52.00(N·m·s2)gWr29.86230*0.2862即：当单个前轮的滚动半径为0.286m，制动时承受的载荷为6230N，等效的转动惯量为52.00(N·m·s2)。5.1.2机械惯量求解模型关于问题二：根据公式djD等效转动惯量J=机械惯量J+电惯量JfgD=飞盘转动惯量J+基础惯量J+电动机补偿惯量J不难看出后两项为定量，在算飞盘转动惯量时我们设计两种函数模型(动量矩定理法和达朗贝尔原理法)这里的求解结果相同，下面我们只用动量矩定理的方法求解：J＝)]=＝2)(2[(21MD2+d2)]}2)(2)]*[(2)(2{[(21πρhD2+d2D2−d2)]2)(2[(21πρhD4−d4＝)]＝765.5h(kg·m2)2)(0.22*7810**[(121πh4−4则Jf1＝)765.5*0.0392＝30(kg·m2)Jf2＝765.5*0.0784＝60(kg·m2)Jf3＝765.5*0.1568＝120(kg·m2)已知基础惯量为10kg·m2，并根据组合排列知识：组合数P=i(5.12)ooiCΣ=1其中o：选择的飞轮的数目机械惯量的组合数P＝3＝8,3231303c+c+c+c已知基础惯量为10kg·m2，并根据组合排列知识，计算出对应机械惯量分别对应的机械惯量为：10(kg·m2)，40(kg·m2)，70(kg·m2)，80(kg·m2)，130(kg·m2)，160(kg·m2)，190(kg·m2)，220(kg·m2).21由于电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30,30]kg·m2，这就填补了这些离散机械惯量点之间的空缺并得到一个等效转动惯量的范围：0~250(kg•m2)对于问题1中得到的等效的转动惯量，而电动机可以提供的电动机补偿惯量有正负之分，这样我们在得到一个等效转动惯量的时候就会有两个不同的飞轮组合，比如：要得到一个15(kg·m2)的等效转动惯量，我们可以有10(kg·m2)和40(kg·m2)两种飞盘组合的选取。由第一题的求解可以知道车轮的等效载荷为52.00(kg·m2)，由上面不同飞轮的机械转动惯量的值可以观察得到：选取40(kg·m2)和70(kg·m2)两种机械转动惯量。它们所对应电动机补偿的电动机补偿惯量可以为：12(kg·m2)与−18(kg·m2)。5.2模型(二)的解关于问题三：由模型二(驱动电流与转速关系模型)可以知道：()(5.21)tJnnJtIjddΔ−−•Δ=±πα()1.53021rtvvra•Δ−α==终始其中：Δt------为时间的改变量α------转轮的角加速度其实当给定模型二的函数关系式之后，问题三就只是其中的一个步骤而已，已知制动减速度为常数，初始速度为50km/h，制动5.0秒后车速为零，得到如下条件v=50kmh=13.889ms始=0终vΔt=5s把以上三个已知量代入导出的函数关系式(4.29)即可以求解出此情况下的电动机驱动电流值。dI22同样考虑两种情况：①当选用机械惯量Jj＝40时，IAd=174.8②当选用机械惯量Jj＝70时，IAd=−262.25.3模型(三)的解关于问题四：5.3.1现实系统中消耗的能量(理论值)：根据转动动能定理(4.32)2w22w-121理始末＝DDWJJ其中：：等效转动惯量(kg)DJ⋅m2：理论能量值理W现实系统中已经把所有外界因素和内在自身限制条件(比如摩擦)考虑在内，所得的即是汽车的理论消耗能量变化。同样选取时间段(0.01s)把数据导入MATLAB软件利用转动动能定理：()(2)i＝2,3,4,……4671227522212121−−=−−=−−iiiiiWJwJwπnn其中：：第i个时间段的理论能量值iW利用MATLAB软件的“cumsum”命令(命令行见附录Ι)画出Wi前i项和的函数图像。(程序见附录1)。23图7Wi前i项和的函数图像下面计算车在实际中在这段时间内消耗的能量：把现实中始末转数转化为本实验的函数可用的角速度，由附表可知初始、结束时的转速：n=514rmin始n=257rmin终代入模型函数可得：]52150J60-2*25760*48*[2*5142＝1（）2（）2=理ππW5.3.2实验台制动过程中消耗的能量根据能量守恒定理，试验台消耗的总能量就等于电动机所作的有用功，实实Q=W*1000(i=1,2,3……467)9549iiiPTn⋅=其中：：第i段时间间隔内的扭矩(n·m)iT：第i段时间间隔内的转速(r/m)in把附表中的近500组测量值导入MATLAB，运用上述关系式，计算每一个时间段(0.01s)的能量，调用其中的“cumsum”命令(命令行见附录Ι)用matlab软件画出即前i项时间段作的有用功和关于时间的函数图像(图8)。实QiWt得到时间与试验台能量消耗：24图8Ei前i项和的函数图像最后计算出的总消耗能量为49215J4671=Δ=Σ=QWPtii＝实实其中：Δt＝10ms＝0.01s计算相对误差情况：*100%＝5.6%结果在可以接受的范围之内。-理实理｜｜WWWη=5.3.3评估实验结果我们先建立了理论损失能量值、试验测量损失能量值与时间之间的积分函数，利用MATLAB软件对数据点进行模拟，调用其中的“cumsum”命令(命令行见附录1)，相当与微段能量损失在时间轴上相当与时间的积分值。简单理解为：=0到某时刻0t之间消耗总能量与时间的关系。it把每一条曲线描绘出来(见附录1)，即：得到时间to之前所有时间小段能量损失之和，构成一系列损失能量值与时间的离散点，运用简单的描点连线得到两条曲线，观测这两条曲线的相似情况(见图9)。25图9Ei/wi前i项和函数图像从图中可以看出两条曲线基本拟合，虽然试验值稍微高了一点，但是不会影响我们试验结果的分析，关于误差的分析见下一分析环节。由图可以看出当到达预定停止速度时达到理论能量损失与试验台能量损失之间差值的最大值即Dmax=实理W−W此点即是整个试验的相对误差η。可以求出整个试验系统与实际理论的相对误差：*100%＝5.6%-理实理｜｜WWWη=误差分析：文章的总体假设中我们假设可以得到完美的等效惯量，以便于可以把不实际的路试测验等效到试验台上来完成，但是还有一点就是本实验台模拟仿真制动的时候，还需要考虑到制动器闸片受温度影响本身性能会有改变，还要考虑到空间飞轮的形状在空气中的阻力f，大气温度δ，湿度ξ等客观条件的影响，所以说电动机所发出的有用功并不能全部转化为工作台的等效惯量，这个阶段姑且称其为传动能量损失，所以说实验所消耗的能量(前面提到的)比实际汽车制动能量损失略高，这也充分证明了得到的能量图线有一定差值的正确与合理性，这些因素影响的最终体现形式即是总体误差η'。5.4模型(四)的解关于问题五：根据建立的整体电动机补偿惯量模拟系统可得到具有一般性的迭代函数关系：26k+2=T11()*+++Δ−kkkTtϖϖJjttJTtJJTdtkJkdtkJjkkkjkkjΔ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Δ+−Δ+−−Δ+−+Δ+−+++***[*]211()*112()*111ϖϖϖϖϖϖ此迭代函数就是我们所要建立模型重点。简单来说，以上通过迭代函数推理而得到的函数即是这种计算机控制方法的原理和核心环节，而基于这种控制函数而建立的计算机控制过程就是我们所要设计的计算机控制方法。具体的实现方法已在模型建立中明确给出，对应的计算机控制环节也由计算机编程的方法得以实现，具体细节我们已在模型建立中作了详细介绍。关于问题六：方案不足需要改进之处，主要可以分为以下两个方面：1)第一方面。：于在于的随意选取，使能量误差较大。2T得，再以其当代入得直至，从而快速使趋于正常。2ϖ2ϖ121×Δ=ϖ−ϖ−tJTTjz2TkT2)第二方面：上段时间的是一个预测量，如果再让其作为求下一个的kTk+1T自变量，势必会造成误差的累次叠加，使误差的值不断地增加。改进方案：根据初始的值，根据随意给定后反向计算，然后利用关系式：2T1TzT12（5.41）ϖ−×Δt=ϖJTdz计算出：--------制动转矩zT可将方案进一步开始改为：2712（5.42）2×Δ=ϖ−ϖ−tJTTjz得再以其当代入关系式：2ϖ1ϖ12（5.43）2×Δ=ϖ−ϖ−tJTTjz得，再把得到的当做新的一个初始值，直至两次输入的相同，因为题目给2T2T2T出误差较大的观测量后就能算出一个相对误差较小的，此时能量误差也相对得到了2T补偿，以求出的误差较小的当做值初始值，从而快速使趋于正常。这个方法2T2TkT同样适用于解决第二个方面的不足之处。由于此函数属于迭代函数，初始误差的减小也会是函数的整体误差减小。六、模型的检验6.1误差及灵敏度分析模型(一)的建设当中，把质量集中在车轮与地的接触点上，实质上是简化到与地接触的某个范围内更合理，这种模型的建设一定会产生误差，轮胎受重时车轮存在一个微小变形，故惯性半径减小，此时用J=m2会使计算的值与实际值相比偏大。模型(二)的建立是假设Tz不变，这只是一种理想情况，实际是不可能实现的。会受到温度、湿度、气压等工作环境和本身系统制约因素的影响。模型(三)中，由图可知，理论与现实损耗的能量在约小于1秒时近似重合，大于1秒时，两条曲线分开，并保持近似相等的间距沿同一个方向变化，这个差值在一个合理的范围内，但从一秒处分开，一定是系统在这个时候发生了突变，引起了能量消耗差的增大，使系统没有调整好，导致系统误差。模型(四)中，把时间离散成若干段，这样就导致在计算时只能采取边界点的值，它和理论值有一定的差别，故可产生误差，关于此点，改进中我们作了阐述。由于闭环反馈中稳定性和振荡是一对矛盾，顾为保证稳定性，机构会振荡，降低28了灵敏度。通过减小Δt,可以在一定程度上提高灵敏度。七、模型优缺点分析7.1模型的优点本题所列的所以模型都是以事实数据为依据的，主观性相对较小，能够令人信服，采用连续函数离散点化的方法，将难以确定关系的变量建立起联系。电动机补偿惯量模拟体系分析中充分运用了物理、电工技术、控制工程原理、计算机控制技术等方面的知识，并把它们关系通过电动机补偿惯量紧密的联系在了一起，充分保证了实验的准确性与稳定性，真正体现了“电动机补偿惯量模拟体系”中“模拟”两个字的深刻含义。更是整个函数体系的亮点之所在。模型一中大胆建立了函数等效模型，并对其合理性作了充分的论证，恰到好处的运用了坐标系的转换，也是本文创新型的一个体现。模型二中运用了两种不同理论解决了同一个问题，为后面五问中模型的建立提供了清晰地理论基础。模型三中不单单只是比较相对误差的合理性，也对它们模型具象的反映在了图表中，把这种关系即理论又形象的予以表达。模型四中我们所提出的控制理论能够对输出信号（电动机扭矩）进行时时监控，并以此反馈给输入端，对输入信号进行控制，并合理提出应用计算机自动化控制。每一个模型的建立我们都做了相应的具体评价和充分的分析，确保了所建模型的合理性。，7.2模型的缺点电动机补偿惯量模型的建立中由于时间仓促，C语言编程环节没有进一步深入探讨，导致计算机控制环节较为粗糙，但是考虑到减小单个时间段的取值大小，可以通过减小时间段长度使迭变函数计算值围绕实际值之间的波动减小，从而减少试验误差。29由于现实中的制动器加载不一定是恒力加载，当出现加载力变化时，得到的曲线会和实际曲线存在误差。能量误差评价阶段在求各小段能量消耗和电动机所作的有用功时都是选取的该段端点的函数值，这显然也会增加一定的误差，但又由于选取时间段相对较小，这种误差也会随之而减小。八、模型的改进与推广8.1模型的改进最终建立的电流与可观测量的递推公式，已经很精确的反映其关系了，满足了题目的要求，美中不足的是，由于时间关系，没有进一步递推，细化时间间隔，，因此可以对这一点进行改进，以增加视觉可观性，可以把C语言部分所得到每一个预测值I当做输出信号，用软件实时地画出电流随时间的变化图像，达到实验所预想的图像，而且根据这个图像再运用MATLAB等软件来分析误差更加具有实际意义。该模型中，转速，转矩都是用的小区间段的段的端点处值，严格来说，一定会有偏差，为此，某一量（例如转速）在迭代过程中可交替取区间的端点，例如下面举例的顺序：224466……这样可减少一部分公式,,,,,kk+k+k+k+k+k+TTTTTTT推导的误差。8.2模型的推广我们这个电流与可观测量的递推关系式，具有普遍性，试用范围可由本题的汽车制动行业推广到塔吊制动控制，机械机构制动控制等，使用范围很广，而且这是一个闭环控制系统，稳定性好，精度高，更重要的是可以把电动机补偿惯量模拟系统制作成一种测试制动器性能的软件，做出人性化的操作界面来，且方法容易实现大规模计算机自动控制。30参考文献[1]杨启帆,方道元.数学建模,杭州:浙江大学出版社,2001；[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:2003年8月第三版；[3]刘卫国,陈昭平,张颖.MATLAB程序设计与应