事故树的定量分析二

4化相交集为不交集求顶上事件发生概率

某事故树有k个最小割集:El,E2,…,Er,…,EK,一般情况下它们是相交的,即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs

为相交集合,Er+Er′Es

为不相交集合,如图3-16所示。

1事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第1页!

亦即

ErUEs=Er+

Er′Es

(3-20)

式中U--集合并运算;

+--不交和运算。

所以有:

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er′,Es)

由式(3-20)可以推广到一般式:

2事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第2页!

当求出一个事故树的最小割集后,可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-21)将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时,利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。

而用以下不交积之和定理可以简化计算,特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优越性。

不交积之和定理:

命题1

集合Er

和Es

如不包含共同元素,则应Es

可用不交化规则直接展开。

命题2

若集合Er

和Es

包含共同元素,则3事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第3页!

例题解答

[例3-9]以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化运算,计算顶事件的发生概率。解：事故树的最小割集为:

根据式(3-21)和命题1、命题3,得:4事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第4页!5.顶事件发生概率的近似计算

如前所述,按式(3-48)和(3-19)计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题,即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和,计算量也是相当大的。但在许多工程问题中,这种精确计算是不必要的,这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此,用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以,实际计算中多采用近似算法。

5事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第5页!

式(3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，……等,依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限,可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(3-22)可得:

6事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第6页!

由表可知,当以F1作为顶事件发生概率时,误差只有0.059‰;以F1-F2作为顶事件发生概率时,误差仅有0.0006299‰。实际应用中,以F1(称作首项近似法)或F1-F2作为顶事件发生概率的近似值,就可达到基本精度要求。7事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第7页!

式(3-23)中的1-S1,1-S1+S2,1-S1+S2-S3,……等,依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲,式(3-22)和式(3-23)的上、下限数列都是单调无限收敛于P(T)的,但是在实际应用中,因基本事件的发生概率较小,而应当采用最小割集逼近法,以得到较精确的计算结果。8事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第8页!(4)独立事件近似法。

若最小割集Er(r=1,2,…,k)相互独立,可以证明其对立事件E′r也是独立事件,则有:

对于式(3-25),由于Xi=O(不发生)的概率接近于1,故不适用于最小径集的计算,否则误差较大。9事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第9页!一、基本事件的结构重要度

如不考虑各基本事件发生的难易程度,或假设各基本事件的发生概率相等,仅从事故树的结构上研究各基本事件对顶事件的影响程度,称为结构重要度分析,并用基本事件的结构重要度系数、基本事件割集重要度系数判定其影响大小。1.基本事件的结构重要度系数

事故树分析中,只考虑对顶事件有影响的情况,即当事故树中某个基本事件的状态由不发生变为发生,除基本事件以外的其余基本事件(j=1,2,…i-1,i+1,…,n)的状态保持不变时,顶事件状态也由不发生变为发生的情况。10事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第10页!

2n-1--基本事件Xi(i≠j))状态组合数;

p--基本事件的状态组合序号;

Xjp--2n-1状态组合中第p个状态;

0i--基本事件不发生的状态值;

li--基本事件发生的状态值。

显然,nф(i)的值愈大,说明基本事件Xi对顶事件发生的影响愈大,其重要度愈高。

基本事件Xi的结构重要度系数Iφ(i)

定义为基本事件的危险割集的总数nф(i)与2n-1个状态组合数的比值,即:11事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第11页!

利用基本事件的结构重要度系数可以较准确地判定基本事件的结构重要度顺序,但较烦琐。一般可以利用事故树的最小割集或最小径集,按以下准则定性判断基本事件的结构重要度。

(1)单事件最小割(径)集中的基本事件结构重要度最大。

(2)仅在同一最小割(径)集中出现的所有基本事件结构重要度相等。12事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第12页!

①若它们重复在各最小割(径)集中出现的次数相等,则少事件最小割(径)集中出现的基本事件结构重要度大;

②在少事件最小割(径)集中出现次数少的,与多事件最小割(径)集中出现次数多的基本事件比较,应用下式计算近似判别值:

式中I(i)--基本事件Xi

结构重要系数的近似判别值;

ni--基本事件Xi所属最小割(径)集包含的基本事件数。13事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第13页!(3-30)式中P(T)--顶事件发生概率;

qi--第i个基本事件的发生概率。

利用上式求出各基本事件的概率重要度系数,可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地降低顶事件的发生概率。

概率重要度有一个重要性质:若所有基本事件的发生概率都等于1/2,则基本事件的概率重要度系数等于其结构重要度系数,即:

Ig(i)|qi=1/2=Iφ(i)(3-31)

这样,在分析结构重要度时,可用概率重要度系数的计算公式求取结构重要度系数。14事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第14页!

式中Igc(i)--第i个基本事件的关键重要度系数;

Ig(i)--第i个基本事件的概率重要度系数;

P(T)--顶事件发生概率;

qi--第i个基本事件的发生概率。

15事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第15页!

当然,也可从表3-5中查得nф(1)=7,则基本事件X1的结构重要度系数为:

同理,可求得其余各基本事件的结构重要度系数为:

IФ(2)=1/16,IФ(3)=7/16,IФ(4)=5/16,IФ(5)=5/16,

②已知该事故树有三个最小割集(见图3-13等效事故树):

E1={X1,X4};E2={X3,X5};E3={X1,X2,X3}16事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第16页!③基本事件的概率重要度:

由前面的计算可得:

P(T)=q1q2q3+q1q4

+q3q5

-q1q2q3q4

-q1q3q4q5

-qlq2q3q5

+qlq2q3q4q5

所以,由式(3-30)得:

17事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第17页!④基本事件的关键重要度:

由式(3-32)得:

18事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第18页!分析:

a.从结构重要度分析可知:基本事件X1、X3

对顶事件发生的影响最大,基本事件X4、X5的影响次之,而基本事件X2的影响最小。

b.从概率重要度分析知:降低基本事件X3的发生概率,能迅速有效地降低顶事件的发生概率,其次是基本事件X1、X5、X4,而最不重要、最不敏感的是基本事件X2.

c.从关键重要度分析知:基本事件X3不仅敏感性强,而且本身发生概率较大,所以它的重要度仍然最高;但由于基本事件X1发生概率较低,对它作进一步改善有一定困难;而基本事件X5敏感性较强,本身发生概率又大,所以它的重要度提高了。19事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第19页!

式中,Er←s

表示Er

中有的而Es

中没有的元素的布尔积。

命题3

若集合Er

和Et包含共同元素,Es

和Et

也包含共同元素,则:

命题4

若集合Er

和Et

包含共同元素,Es

和Et

也包含共同元素,而且Er←t

Es←t,则：20事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第20页!

设各基本事件的发生概率同前,则顶事件的发生概率为:

P(T)=q1q4+(1-q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

与前面介绍的三种精确算法相比,该法要简单得多。21事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第21页!

⑴最小割集逼近法:

在式(3-18)中,设:

则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式,即：

22事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第22页!则有:P(T)≤1.906×10-3

P(T)≥1.90486×10-3

P(T)≤1.904872×10-3

从中可取任意近似区间。

近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于表3-15中。

23事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第23页!⑵最小径集逼近法。

与最小割集法相似,利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式(3-19)中,设：则P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+S2

……

即:1-S1≤P(T)≤1-S1+S2

(3-23)

S1+S2≥P(T)≥1-S1+S2-S3

……24事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第24页!(3)平均近似法。

为了使近似算法接近精确值,计算时保留式(3-18)中、二项,并取第二项的1/2值,即:

这种算法,称为平均近似法。

25事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第25页!

第五节基本事件的重要度分析

一个基本事件对顶事件发生的影响大小称为该基本事件的重要度。

重要度分析在系统的事故预防、事故评价和安全性设计等方面有着重要的作用。

事故树中各基本事件的发生对顶事件的发生有着程度不同的影响,这种影响主要取决于两个因素,即各基本事件发生概率的大小以及各基本事件在事故树模型结构中处于何种位置。26事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第26页!用结构函数表示为:

φ(0i,Xj)=0;φ(1i,Xj)=1;

φ(1i,Xj)-φ(0i,Xj)=1;

此时,基本事件Xi发生直接引起顶事件发生,基本事件Xi

这一状态所对应的割集叫“危险割集”。若改变除基本事件Xi以外的所有基本事件的状态,并取不同的组合时,基本事件Xi的危险割集的总数为：

式中n--事故树中基本事件的个数;27事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第27页!2.基本事件的割集重要度系数

用事故树的最小割集可以表示其等效事故树。在最小割集所表示的等效事故树中,每一个最小割集对顶事件发生的影响同样重要,而且同一个最小割集中的每一个基本事件对该最小割集发生的影响也同样重要

设某一事故树有k个最小割集,每个最小割集记作Er(r=1,2……,k),则1/k表示单位最小割集的重要系数;第r个最小割集Er中含有mr(Xi€Er)个基本事件,则1/mr(Xi€Er)表示基本事件Xi的单位割集重要系数。

设基本事件Xi的割集重要系数为Ik(i),则:28事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第28页!

(3)两个基本事件仅出现在基本事件个数相等的若干最小割(径)集中,这时在不同最小割(径)集中出现次数相等的基本事件其结构重要度相等;出现次数多的结构重要度大,出现次数少的结构重要度小。

(4)两个基本事件仅出现在基本事件个数不等的若干最小割(径)集中。在这种情况下,基本事件结构重要度大小依下列不同条件而定:

29事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第29页!

二、基本事件的概率重要度

基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构分析各基本事件对顶事件的影响程度,所以,还应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的影响,即对事故树进行概率重要度分析。

事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要系数大小进行定量分析。所谓概率重要度分析,它表示第i个基本事件发生概率的变化引起顶事件发生概率变化的程度。由于顶事件发生概率函数是n个基本事件发生概率的多重线性函数,所以,对自变量qi求一次偏导,即可得到该基本事件的概率重要度系数Ig(i)

为:30事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第30页!三、基本事件的关键重要度

当各基本事件发生概率不等时,一般情况下,改变概率大的基本事件比改变概率小的基本事件容易,但基本事件的概率重要度系数并未反映这一事实,因而它不能从本质上反映各基本事件在事故树中的重要程度。

关键重要度分析,它表示第i个基本事件发生概率的变化率引起顶事件发生概率的变化率,因此,它比概率重要度更合理更具有实际意义。其表达式为:

31事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第31页![例3-10]以图3-12事故树模型为例,计算各基本事件的结构重要度系数、割集重要度系数、概率重要度系数、关键重要度系数。假设各基本事件的发生概率同前。

解:①基本事件的结构重要度系数:

事故树中有五个基本事件,必有25=32种状态,查表3-5,并由式(3-27)得:

32事故树的定量分析二共36页，您现在浏览的是第32页!

每个最小割集中的基本事件的个数分别为:m1=2;m2=2;m2=3。所以由式(3-28)得基本事件Xl的割集重要系数为:Ik(1)=(1/m1+1/m3)1/k=5/