（全国通用）2023年高考数学考点一遍过专题06二次函数与幂函数（含解析）文

PAGE1考点06二次函数与幂函数〔1〕了解幂函数的概念.〔2〕结合函数的图象，了解它们的变化情况.一、二次函数1．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.2．表示形式(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.学/(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.3．二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，4．常用结论(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.(2)假设x1，x2为f(x)=0的实根，那么f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().二、幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.2．几个常见幂函数的图象与性质函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在上单调递增在上单调递减；在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减过定点过定点过定点3．常用结论(1)幂函数在上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点.(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.考向一求二次函数或幂函数的解析式1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据条件恰中选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例1幂函数的图象过点，那么A． B．1C． D．2【答案】A1．假设函数是幂函数，且满足，那么的值等于A． B．C． D．考向二幂函数的图象及性质的应用1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比拟复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0,0)，(1,1)过(0,0)，(1,1)过(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、2．利用幂函数的单调性比拟幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比拟.典例2如下图的曲线是幂函数在第一象限的图象，，相应曲线对应的值依次为A． B．C． D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故此题选B．2．当时，幂函数的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限C．第四象限 D．第二、四象限典例3设，那么的大小关系是A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比拟大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比拟大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3．设，那么之间的关系是A． B．C． D．考向三二次函数的图象及性质的应用高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：1．图象识别问题辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．2．二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴〞数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题往往先对条件进行化简，转化为下面两种情况：(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.另外，也可以采取别离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；假设不等式f(x)<B在区间D上恒成立，那么等价于在区间D上f(x)max<B，求出函数f(x)的最大值即可.典例4函数在区间上为减函数，那么实数a的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【名师点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．4．“〞是“函数在区间上为增函数〞的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件典例5函数，假设对于任意的都有，那么实数的取值范围为.【答案】【解析】据题意解得．5．函数f(x)=x2−2(a＋2)x＋a2，g(x)=−x2＋2(a−2)x−a2＋8.设H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，那么A−B=A．a2−2a−16 B．a2＋2aC．−16 D．161．以下幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是A． B．C． D．2．函数的单调递减区间为，那么A． B．C． D．3．假设幂函数的图象不过原点，那么A． B．或C． D．4．函数的定义域为R，那么实数m的取值范围是A． B．C． D．5．假设四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐标系中的图象如下图，那么a，b，c，d的大小关系是A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c6．如果函数对任意的实数x，都有，那么A． B．C． D．7．假设，，那么以下各式中一定正确的选项是A． B．C． D．8．当时，函数在时取得最大值，那么实数a的取值范围是A． B．C． D．9．假设，那么满足的的取值范围是___________．10．假设，且，那么的最小值为___________．1．〔2022年高考浙江卷〕假设函数f(x)=x2+ax+b在区间上的最大值是M，最小值是m，那么M–mA．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关2．〔2022年高考新课标III卷〕，那么A． B．C． D．3．〔2022年高考浙江卷〕函数f(x)=x2+bx，那么“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等〞的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．〔2022年高考北京卷〕，，且x+y=1，那么的取值范围是_________．变式拓展变式拓展1．【答案】A2．【答案】D【解析】的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、三象限，的图象经过第一、三象限．应选D．3．【答案】A【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调递增，因为，所以，综上所述选A．4．【答案】A【解析】因为时，函数在区间上为增函数；函数在区间上为增函数时，．所以“〞是“函数在区间上为增函数〞的充分不必要条件．应选A．5．【答案】C【解析】令f(x)=g(x)，即x2−2(a＋2)x＋a2=−x2＋2(a−2)x−a2＋8，即x2−2ax＋a2−4=0，解得x=a＋2或x=a−2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a−2)，∴A−B=f(a＋2)−g(a−2)=(a＋2)2−2(a＋2)2＋a2＋(a−2)2−2(a−2)2＋a2−8=−16.考点冲关考点冲关1．【答案】B2．【答案】C【解析】函数的对称轴为，因为函数的单调递减区间为，所以，所以，应选C．3．【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．应选B．4．【答案】A【解析】当时，8＞0成立；当时，，即，解得，所以实数m的取值范围是．应选A．5．【答案】B【解析】幂函数a=2，b=，c=，d=−1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧局部的图象，由下至上幂指数增大，所以a>b>c>d.应选B.6．【答案】D【解析】由题意，函数对任意的实数x，都有，那么说明二次函数的对称轴为，开口向上，那么，那么，应选D．7．【答案】A8．【答案】D【解析】当时，，在时取得最小值，不符合题意；当时，函数的对称轴为，假设，要使在时取得最大值，那么，解得；假设，要使在时取得最大值，那么，解得，与矛盾，舍去．综上，实数a的取值范围是．应选D．9．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.10．【答案】【解析】令，由，可得当时，取得最小值．直通高考直通高考1．【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，假设对称轴在区间的左边，那么函数在所给区间内单调递增；假设对称轴在区间的右边，那么函数在所给区间内单调递减；假设对称轴在区间内，那么函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．2．【答案】A【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，应选A．【技巧点拨】比拟指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，那么考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相