2020-2021人教版数学3课时3.3.1-3.3-2 几何概型 均匀随机数的产生含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修3课时分层作业：3.3.1-3.3-2几何概型均匀随机数的产生含解析课时分层作业(十九）几何概型均匀随机数的产生(建议用时：60分钟)一、选择题1.如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A。eq\f（π，8) B.eq\f（1,8）C.eq\f(1，2) D.eq\f（1,4)D[由题意知，大圆的面积为S＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S′＝eq\f(1，2）π·22－π·12＝π，则所求的概率为P＝eq\f（S′,S)＝eq\f(π,4π)＝eq\f(1,4）.故选D。]2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（)A．0。008 B．0.004C．0。002 D．0.005D［该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为eq\f(2,400）＝0.005.］3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为（）A。eq\f（1，3) B。eq\f(2,3)C。eq\f（1，4) D.eq\f(3，4)A［记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD,OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°。当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°,此时的测度为度数30,所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M）＝eq\f(30，90)＝eq\f(1，3)。］4．将［0,1]内的均匀随机数a1转化为［－2,6］内的均匀随机数a,需实施的变换为（）C［因为随机数a1∈［0,1］,而基本事件都在[－2,6］上，其区间长度为8,所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2,所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f（S,4）的概率是（)A.eq\f（1,4）B.eq\f（1,2)C.eq\f(3,4）D。eq\f（2，3）C［如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于eq\f(S，4)"等价于事件“eq\f（|BP｜,｜AB｜)＞eq\f(1,4）”．即Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（△PBC的面积大于\f（S,4)）)＝eq\f（|PA｜,|BA｜）＝eq\f(3，4）。］二、填空题6．在区间［－2,4］上随机取一个数x，若x满足｜x｜≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________。3［由｜x｜≤m，得－m≤x≤m,当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6）＝eq\f(5，6)，解得m＝2.5,矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得eq\f（m－－2，6)＝eq\f(5，6)，解得m＝3.]7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．eq\f(3,4）［因为方程无实根,故Δ＝1－4a〈0，所以a〉eq\f（1,4），即所求概率为eq\f（3,4)。]8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于eq\f(1，2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f（1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．eq\f（13,16）［记事件A＝“打篮球”,则P（A)＝eq\f(π×\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4))）eq\s\up12（2），π×12)＝eq\f(1，16），记事件B＝“在家看书",则P(B）＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)）)eq\s\up12（2),π×12）－P（A）＝eq\f(1,4）－eq\f（1,16)＝eq\f（3，16).故P（eq\x\to(B））＝1－P（B)＝eq\f(13,16）.]三、解答题9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M（1)求点M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率P1（2）求点M落在三棱锥B.A1B1C1内的概率P2(3)求点M到面ABCD的距离大于eq\f(a,3）的概率P3；(4）求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于eq\f（a,3)的概率P4。［解]V正方体＝a3.（1)∵V三棱柱ABC。A1B1C1＝eq\f（1,2)a2·a＝eq\f(1,2）a3，∴所求概率P1＝eq\f（\f（1，2）a3,a3)＝eq\f(1，2）。(2)∵V三棱锥B。A1B1C1＝eq\f（1，3）·S△A1B1C1·BB1＝eq\f（1，3)·eq\f(1,2）a2·a＝eq\f(1,6)a3，∴所求概率P2＝eq\f(1,6).(3）所求概率P3＝eq\f（a－\f(a,3）,a)＝eq\f（2,3）.(4）所求概率P4＝eq\f(a－\f（a，3）－\f(a,3），a）＝eq\f（1,3).10．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作,他们的对讲机的接收范围是25km，下午3：00张三在基地正东30km处向基地行驶，李四在基地正北40km处也向基地行驶，试求下午3:00后他们可以交谈的概率．[解]记事件A＝｛下午3：00后张三、李四可以交谈｝．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈［0,30］，y∈［0，40]，则他们的所有距离的数据构成有序实数对（x，y），则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系（图略），则长和宽分别为40km和30km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域,它的总面积为1200km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P（A）＝eq\f(\f（1，4)×π×252，1200）＝eq\f(25π，192）≈0。41。1．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12，13的三角形的边上随机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为（)A。eq\f(4,5)B.eq\f（3,5）C。eq\f（π，60）D.eq\f(π，3)A[由题意可知,三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30,而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为eq\f(24，30)＝eq\f(4,5).]2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A.eq\f（1,4) B。eq\f（1,2）C。eq\f(3，4） D。eq\f(7,8)C[设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤x≤4,，0≤y≤4.））要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0≤x≤4，,0≤y≤4，，－2≤x－y≤2.))如图,不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4，，0≤y≤4))所表示的图形面积为16，不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,,0≤y≤4，,－2≤x－y≤2））所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12,由几何概型的公式可得P＝eq\f(12,16)＝eq\f（3，4）.］3．在［－1，1]上随机地取一个数k,则事件“直线y＝kx与圆（x－5)2＋y2＝9相交"发生的概率为________．eq\f（3，4）[圆（x－5)2＋y2＝9的圆心为C（5，0）,半径r＝3，故由直线与圆相交可得eq\f(|5k－0|，\r（k2＋1））<r,即eq\f（|5k｜,\r(k2＋1)）<3，整理得k2〈eq\f(9,16)，得－eq\f（3,4)<k〈eq\f（3，4)。故所求事件的概率P＝eq\f(\f(3，4）－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,4))）,1－－1)＝eq\f(3，4）。]4。如图,边长为2eq\r(3)的正三角形ABC内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则△PBC的面积大于eq\r（3）的概率为________．eq\f（3,4）[因为△ABC的边长为2eq\r（3)，所以△ABC的高为3，设外接圆O的半径为r，则2r＝eq\f(2\r（3)，sin\f（π,3)）＝4，所以r＝2，所以O点到BC的距离为1，过点O作直线与BC平行交弧AC于点D(图略）,△DBC的面积恰好为eq\r（3），所以点P由D点向A点移动的过程中,△PBC的面积越来越大；点P由D点向C点移动的过程中，△PBC的面积越来越小,因此，为使△PBC的面积大于eq\r（3），只需点P由D点向A点移动，所以由几何概型可知，△PBC的面积大于eq\r(3）的概率等于∠AOD与∠AOC大小之比．因为∠AOD＝eq\f(π,2），∠AOC＝eq\f（2π，3)，所以△PBC的面积大于eq\r(3)的概率为P＝eq\f(\f(π,2)，\f（2π，3））＝eq\f(3,4)。]5．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0。（1）若a是从0,1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率;（2）若a是从区间［0,3］上任取的一个数,b是从区间［0,2］上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解］设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根"．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b。（1）基本事件共有12个：（0,0)，(0,1),（0,2)，（1，0),（1，1）,（1,2)，(2，0),（2,1），(2,2)，(3，0）,(3,1），(3,2）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生