新教材北师大版必修第二册2.4.1平面向量基本定理作业

课后素养落实(十七)平面向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①eq\o(AD,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))；②eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))；③eq\o(CA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))；④eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB,\s\up8(→))，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是()A．①②B．①③C．①④D．③④B[由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．]2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up8(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up8(→))等于()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)A[eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2).]3．设一直线上三点A，B，P满足eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(PB,\s\up8(→))(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则eq\o(OP,\s\up8(→))用eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))表示为()A．eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→)) B．eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up8(→))C．eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))＋m\o(OB,\s\up8(→)),1＋m) D．eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,m)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,1－m)eq\o(OB,\s\up8(→))C[由eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(PB,\s\up8(→))得eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝m(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OP,\s\up8(→)))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＋meq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))＋m\o(OB,\s\up8(→)),1＋m).]4．已知AD是△ABC的中线，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，以a，b为基表示eq\o(AC,\s\up8(→))，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,2)(a－b) B．2b－aC．eq\f(1,2)(b－a) D．2b＋aB[如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，则eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝2b－a.]5．如图，eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OM,\s\up8(→))＝meq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝neq\o(OA,\s\up8(→))，若m＝eq\f(3,8)，那么n＝()A.eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C.eq\f(4,5) D．eq\f(5,8)A[法一：由eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))，则eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))，又eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝neq\o(OA,\s\up8(→))，从而eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝neq\o(OA,\s\up8(→))－eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))－eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))，又点M，P，N共线，所以存在实数λ，使eq\o(MN,\s\up8(→))＝λeq\o(MP,\s\up8(→))成立，即neq\o(OA,\s\up8(→))－eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up8(→))－\f(1,8)\o(OB,\s\up8(→))))，又因为eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))不共线，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,4)λ，,－\f(3,8)＝－\f(1,8)λ))，解得n＝eq\f(3,4)，故选A.法二：设eq\o(MP,\s\up8(→))＝λeq\o(MN,\s\up8(→))，∵eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(ON,\s\up8(→))＝neq\o(OA,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(MP,\s\up8(→))＝eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋λ(eq\o(ON,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→)))＝eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n\o(OA,\s\up8(→))－\f(3,8)\o(OB,\s\up8(→))))＝eq\f(3,8)(1－λ)eq\o(OB,\s\up8(→))＋nλeq\o(OA,\s\up8(→))，又知eq\o(OC,\s\up8(→))＝2eq\o(OP,\s\up8(→))，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up8(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)（1－λ）＝\f(1,4)，,nλ＝\f(1,4)，))解得λ＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(3,4)，故选A.]二、填空题6.如图所示，向量eq\o(OA,\s\up8(→))可用向量e1，e2表示为________．4e1＋3e2[由题图可知，eq\o(OA,\s\up8(→))＝4e1＋3e2.]7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．(－∞，4)∪(4，＋∞)[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb得λ≠4.]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，若eq\o(DE,\s\up8(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up8(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up8(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．eq\f(1,2)[易知eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，所以λ1＋λ2＝eq\f(1,2).]三、解答题9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基；(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解](1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3)，))∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ、μ的值分别为3和1.10.如图所示，P是△ABC内一点，且满足eq\o(AP,\s\up8(→))＋2eq\o(BP,\s\up8(→))＋3eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：eq\o(CQ,\s\up8(→))＝2eq\o(CP,\s\up8(→)).[证明]∵eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))＋eq\o(QP,\s\up8(→))，eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\o(BQ,\s\up8(→))＋eq\o(QP,\s\up8(→))，∴(eq\o(AQ,\s\up8(→))＋eq\o(QP,\s\up8(→)))＋2(eq\o(BQ,\s\up8(→))＋eq\o(QP,\s\up8(→)))＋3eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AQ,\s\up8(→))＋3eq\o(QP,\s\up8(→))＋2eq\o(BQ,\s\up8(→))＋3eq\o(CP,\s\up8(→))＝0，又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，∴eq\o(AQ,\s\up8(→))＝λeq\o(BQ,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝μeq\o(QP,\s\up8(→))，∴λeq\o(BQ,\s\up8(→))＋3eq\o(QP,\s\up8(→))＋2eq\o(BQ,\s\up8(→))＋3μeq\o(QP,\s\up8(→))＝0，∴(λ＋2)eq\o(BQ,\s\up8(→))＋(3＋3μ)eq\o(QP,\s\up8(→))＝0.而eq\o(BQ,\s\up8(→))，eq\o(QP,\s\up8(→))为不共线向量，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0.))∴λ＝－2，μ＝－1.∴eq\o(CP,\s\up8(→))＝－eq\o(QP,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→)).故eq\o(CQ,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))＋eq\o(PQ,\s\up8(→))＝2eq\o(CP,\s\up8(→)).11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为()A．3B．4C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(3,4)B[因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋7＝0，,10－y－2x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))故选B.]12.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界).设eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OP,\s\up8(→))1＋neq\o(OP,\s\up8(→))2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足()A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0B[由题意及平面向量基本定理易得在eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OP,\s\up8(→))1＋neq\o(OP,\s\up8(→))2中，m＞0，n＜0.]13．若D点在三角形ABC的边BC上，且eq\o(CD,\s\up8(→))＝4eq\o(DB,\s\up8(→))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，则3r＋s的值为________．eq\f(8,5)[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝4eq\o(DB,\s\up8(→))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝req\o(AB,\s\up8(→))＋seq\o(AC,\s\up8(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5).∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).]14．在△ABC所在平面上有一点P，满足eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋4eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，则△PBC与△PAB的面积比为________．1∶2[eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋4eq\o(PC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))，所以4eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(AP,\s\up8(→))，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶