新教材高中数学第二章等式与不等式.等式的性质与方程的解集学案新人教B版必修第一册

/07/7/等式的性质与方程的解集新课程标准解读核心素养掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程数学抽象、数学运算有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其他动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等．我这里有一个方程5x－2＝2x－2.等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，等式两边同时除以x，得5＝2”．老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．[问题]你认为狐狸的说法正确吗？知识点等式的性质与方程的解1．等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．eq\a\vs4\al()等式的性质拓展(1)a1＝a2，a2＝a3，a3＝a4?a1＝a2＝a3＝a4；(2)a＝b?c－a＝c－b；(3)a＝b?－a＝－b；(4)a＝b≠0?eq\f(c,a)＝eq\f(c,b).2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．eq\a\vs4\al()常用重要恒等式(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(3)a3±b3＝(a±b)(a2?ab＋b2)；(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．1．若ac＝bc，一定有a＝b吗？提示：不一定，当c≠0时，若ac＝bc，则a＝b.2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．方程2(x－2)＋x2＝(x＋1)(x－1)＋3x的解集为________．答案：{－3}2．若m(3x－y2)＝9x2－y4，则m＝________．答案：3x＋y23．若4x2－3(a－2)x＋25是完全平方式，则a＝________．解析：因为4x2－3(a－2)x＋25＝(2x)2－3(a－2)x＋(±5)2＝(2x±5)2，即4x2－3(a－2)x＋25＝(2x＋5)2或4x2－3(a－2)x＋25＝(2x－5)2.所以－3(a－2)＝20或－3(a－2)＝－20.解得a＝－eq\f(14,3)或a＝eq\f(26,3).答案：－eq\f(14,3)或eq\f(26,3)4．方程x2＋2x－15＝0的解集为________．解析：x2＋2x－15＝0，即(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}．答案：{3，－5}等式性质的应用[例1]已知x＝y,则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq\f(x,y)＝1；⑤eq\f(x－2,3)＝eq\f(y－2,3)；⑥eq\f(x,a)＝eq\f(y,a).其中正确的有()A．①②③ B．④⑤⑥C．①③⑤ D．②④⑥[解析]①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq\f(x－2,3)＝eq\f(y－2,3)正确，故选C.[答案]Ceq\a\vs4\al()在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件．[跟踪训练]设x，y，c是实数，则下列正确的是()A．若x＝y，则x＋c＝y－cB．若x＝y，则xc＝ycC．若x＝y，则eq\f(x,c)＝eq\f(y,c)D．若eq\f(x,2c)＝eq\f(y,3c)，则2x＝3y解析：选B两边加不同的数结果不一定相等，故A不正确；两边都乘以c，故B正确；c＝0时，两边都除以c无意义，故C不正确；两边乘6c，得到3x＝2y，故D不正确．故选B.恒等式的化简角度一利用恒等式化简[例2]计算下列各式：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；(2)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)；(3)(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)；(4)(x2＋2xy＋y2)(x2－xy＋y2)2.[解](1)原式＝43＋m3＝64＋m3.(2)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋16)＝(a2)3－43＝a6－64.(3)法一：原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)·(x4＋x2＋1)＝x6－1.法二：原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)·(x3－1)＝x6－1.(4)原式＝(x＋y)2(x2－xy＋y2)2＝[(x＋y)(x2－xy＋y2)]2＝(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6.eq\a\vs4\al()1．在进行代数式的乘法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．2．注意乘法公式的正用、逆用及变形应用．角度二十字相乘法分解公式[例3]把下列各式因式分解：(1)6x2＋11x－7；(2)x＋5eq\r(xy)－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2.[解](1)由十字相乘法，得：所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．(2)原式＝(eq\r(x)＋6eq\r(y))(eq\r(x)－eq\r(y))．(3)原式＝(x＋y＋2z)(x＋y－3z)．eq\a\vs4\al()对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)．[跟踪训练]1．计算下列各式：(1)(x－3y－4z)2；(2)(2a＋1－b)2－(a－b)(a＋2b)；(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；(4)(a－4b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋4b2＋ab)).解：(1)原式＝x2＋9y2＋16z2－6xy－8xz＋24yz.(2)原式＝4a2＋1＋b2＋4a－4ab－2b－(a2＋ab－2b2)＝3a2－5ab＋3b2＋4a－2b＋1.(3)原式＝a3＋b3－(a3＋3a2b＋3ab2＋b3)＝－3a2b－3ab2.(4)原式＝eq\f(1,4)(a－4b)(a2＋4ab＋16b2)＝eq\f(1,4)[a3－(4b)3]＝eq\f(1,4)a3－16b3.2．因式分解：x3＋6x2＋11x＋6.解：法一：x3＋6x2＋11x＋6＝(x3＋3x2)＋(3x2＋9x)＋(2x＋6)＝x2(x＋3)＋3x(x＋3)＋2(x＋3)＝(x＋3)(x2＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．法二：x3＋6x2＋11x＋6＝(x3＋3x2)＋(3x2＋11x＋6)①＝x2(x＋3)＋(x＋3)(3x＋2)＝(x＋3)(x2＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．①可用十字相乘法分解因式3×3＋2×1＝11.求方程的解集角度一求一元一次方程的解集[例4]求下列方程的解集：(1)4－3(10－y)＝5y；(2)eq\f(2x－1,3)＝eq\f(2x＋1,6)－1.[解](1)去括号，得4－30＋3y＝5y.移项，得3y－5y＝30－4.合并同类项，得－2y＝26.系数化为1，得y＝－13.所以该方程的解集为{－13}．(2)去分母，得2(2x－1)＝(2x＋1)－6.去括号，得4x－2＝2x＋1－6.移项，得4x－2x＝1－6＋2.合并同类项，得2x＝－3.系数化为1，得x＝－eq\f(3,2).所以该方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))).eq\a\vs4\al()解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．角度二因式分解法解一元二次方程[例5]求下列方程的解集：(1)x(x＋2)＝2x＋4；(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.[解](1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即(x－2)·(x＋2)＝0，从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}．(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝eq\f(8,7)或x＝32，故原方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，32)).eq\a\vs4\al()用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[跟踪训练]1．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq\f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4 B．－1或－4C．－1或4 D．1或－4解析：选B∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq\f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0,解得a＝－1或a＝－4.2．如果方程eq\f(x－4,3)－8＝－eq\f(x＋2,2)的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－eq\f(1,a)的值．解：解方程eq\f(x－4,3)－8＝－eq\f(x＋2,2)，去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，去括号，得2x－8－48＝－3x－6，移项、合并同类项，得5x＝50，系数化为1，得x＝10.把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.当a＝－4时，a－eq\f(1,a)＝－4－eq\f(1,－4)＝－eq\f(15,4).1．(多选)下列运用等式性质进行的变形，正确的是()A．如果eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，那么eq\f(b－a,a)＝eq\f(d－c,c)B．如果eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，那么eq\f(b＋a,a)＝eq\f(d＋c,c)C．如果eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，那么bc＝adD．如果eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)，那么eq\f(c,a)＝eq\f(d,b)解析：选ABC选项A为分比定理；选项B为分比定理；选项C为两内项之积等于两外项之积；选项D，当b＝d＝0时，eq\f(d,b)无意义．故选A、B、C.2．计算(3a－2b)2的结果为()A．9a2＋4b2 B．9a2＋6ab＋4b2C．9a2－12ab＋4b2 D．9a2－4b2解析：选C由完全平方公式得，原式＝9a2－12ab＋4b2.3．方程eq\f(3x－1,4)－1＝eq\f(5x－7,6)的解集为()A．－1 B．{－1}C．8 D．{8}解析：选B由题得3(3x－1)－12＝2(5x－7)，所以9x－15＝10