图形的运动在函数中的应用

/图形的运动在函数中的应用如图1,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,点P、Q同时从点B出发,以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动,连接PQ．当点P到达点C时,点P、Q同时停止运动．设BQ=x,△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象〔其中0≤x≤8,8＜x≤m,m＜x≤16时,函数的解析式不同．〔1填空：m的值为；〔2求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围；〔3请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．如图1,矩形ABCD,动点E从B点出发匀速沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动,另一动点F同时从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动．设E点运动时间为x〔s,△BEF的面积为y〔cm2．y关于x的函数图象如图2所示．〔1BC=3cm,AB=3cm,点E的运动速度是1cm/s；〔2求y关于x的函数关系及其自变量取值范围；〔3当∠DFE=90°时,请直接写出x的取值．〔2015•XX如图1,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D在AC上,且CD＞DA,DA=2,点P,Q同时从点D出发,以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动,过点Q作AC的垂线段QR,使QR=PQ,连接PR,当点Q到达点A时,点P,Q同时停止运动．设PQ=x,△PQR与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示〔其中0＜x≤n,n＜x≤m时,函数的解析式不同．〔1填空：n的值为__________〔2求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围．如图,Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动〔如图2,直到C点与N点重合为止．设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．如图1,矩形OABC顶点B的坐标为〔8,3,定点D的坐标为〔12,0,动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动,P、Q两点同时运动,相遇时停止,在运动过程中,以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒,△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,S关于t的函数图象如图2所示〔其中0≤x≤m,m＜x≤h时,函数的解析式不同〔1当t=1时,△PQR的边QR经过点B；〔2求S关于t的函数关系式,并写出t的取值范围．26.如图1,在矩形ABCD中,∠DAC=60°,在Rt△EFG中,∠EFG=90°,∠G=30°.线段EF在对角线AC上,Rt△EFG从点A出发沿射线AC运动,开始时,点E与点A重合,点F到达点C时运动停止.设AE=2,△EFG与△ABC的重叠部分的面积为S,S关于的函数图象如图2所示,〔其中,,时,函数的解析式不同.〔1填空：EF的长为_____________；〔2求出S与t之间的函数关系式,并写出的取值范围.〔第26题图1〔第26题图1〔第26题图2如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是菱形,∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N〔点M在点N的上方,若△OMN的面积为S,直线l的运动时间为t秒,S与t的部分图像如图2所示〔其中0≦t≦2,2<t≦m时,函数的解析式不同〔1填空：m的值为_________;点B的坐标为_____________〔2求出S与t的函数关系式,并在图2中补全函数图像24．〔2013秋•XX区期末如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=6,点P是线段AC上的一动点,作PD⊥AC,垂足为P,交AB于点D,设AP=t〔0＜t＜6．设△APD关于直线PD的对称的图形与四边形BCPD重叠部分的面积为S．〔1点A关于直线PD的对称点A′与点C重合时,t=3；〔2求S与t的函数关系式．如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P、Q同时从点C出发,以相同的速度分别沿射线CA、射线CB运动,作△CPQ关于直线PQ的轴对称图形〔记为△C′PQ当P点到达A点时,点P、Q同时停止运动．设PC=x．△C′PQ与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示〔其中0＜x≤m,m＜x≤n时,函数的解析式不同且当x=m时,S=．〔1填空：n的值为3+；〔2求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围．含相似如图,在△ABC中,∠C=90°,正方形CDEF的顶点D在边AC上,点F在射线CB上．设CD=x,正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图所示〔其中0＜x≤m,m＜x≤2,2＜x≤n,函数的解析式不同〔1填空：m的值为；〔2求S关于x的函数解析式,并写出x的取值范围；〔3S的值能否为5？若能,求出此时x的值；若不能,说明理由．〔2015•XX如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时,动点N从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动,过线段MN的中点G作边AB的垂线,垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM,PN,当点N运动到点A时,M,N两点同时停止运动,设运动时间为t秒．〔1当t=2.5秒时,动点M,N相遇；〔2设△PMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式；〔3取线段PM的中点K,连接KA,KC,在整个运动过程中,△KAC的面积是否变化？若变化,直接写出它的最大值和最小值；若不变化,请说明理由．如图1,在△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,正方形CDEF从点C出发沿射线CA匀速运动,当点C与点A重合时停止,正方形CDEF运动的速度为v,与△ABC重叠部分的面积为S,S关于运动时间t的部分图象如图2所示．〔1填空：CD=3,v=1．〔2求S关于t的函数解析式,并写出t的取值范围；〔3当S的值为6时,求出相应的t的值．1．〔2015秋•沙河口区期末Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,如图1,点P从C出发向点B运动,点R是射线PB上一点,PR=3CP,过点R作QR⊥BC,且QR=aCP,连接PQ,当P点到达B点时停止运动．设CP=x,△ABC与△PQR重合部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示〔其中0＜x≤,＜x≤m,m＜x≤n时,函数的解析式不同．〔1a的值为4；〔2求出S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围．[分析]〔1由图2可知当x=时S=,且此时Q点在线段AB上,利用三角形面积公式即可求出a的值；〔2由Q点和R点的位置,可将整个移动过程分成三部分,借用三角形相似,找个各边的关系,分割图形,既能找出S和x之间的关系式．[解答]解：〔1由图2可知,当x=时,点Q在线段AB上,且此时的S=,PR=3CP=,QR=aCP=a,∵QR⊥BC,∴S=PR•QR=××a=,即27a=108,解得a=4．故答案为4．〔2当x=时,Q点在线段AB上,如图3,∵AC⊥BC,QR⊥BC,∴AC∥QR,∴△ABC∽△QBR,∴=．QR=4CP=,PR=3CP=,BR=BC﹣CP﹣PR=,AC=•QR=•=3．①当点Q在△ACB内时,即0＜x≤时,如图1,PR=3x,QR=4x,S=PR•QR=6x2．②当点Q在△ACB外且R点在线段CB上时,如图4,此时x＞,且CR≤BC,∵CR=CP+PR=4x,∴＜x≤1．∵==,∴△PQR∽△ABC,∴∠Q=∠B,∵∠DEQ=∠REB〔对顶角,∴△DEQ∽△REB．在Rt△ACB中,由勾股定理可知AB==5,∵AC∥QR,∴△EBR∽△ABC,∴=,RB=BC﹣CP﹣PR=4﹣4x,AC=3,BC=4,∴RE=3﹣3x．QE=QR﹣RE=4x﹣〔3﹣3x=7x﹣3．∵△DEQ∽△REB,△EBR∽△ABC,且AC=3,BC=4,AB=5,∴DE=QE,QD=QE,QD⊥DE．S=PR•QR﹣QD•DE=﹣x2+x﹣．③当点R在线段CB的延长线上时,如图5,此时CR=4x＞BC=4,得x＞1；CP=x≤BC=4．即1＜x≤4．∵△ABC∽△PQR,∴∠QPR=∠A,∵∠PBM=∠ABC,∴△PBM∽△ABC,∴PM=PB,MB=PB．∵PB=BC﹣CP=4﹣x,∴S=PM•MB=〔4﹣x2=x2﹣x+．综合①②③可得：S=．[点评]本题考查了动点问题的函数图象,解题的关键是：〔1由图2找出S的面积,套入三角形面积公式；〔2画出图形,结合三角形相似,找到边角关系,分割图形即可．2．〔2016•XX模拟如图1,两个全等的△ABC和△DEF中,∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE,其中点B和点D重合,点F在BC上,将△DEF沿射线BC平移,设平移的距离为x,平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y,y关于x的函数图象如图2所示〔其中0≤x≤m,m＜x≤3,3＜x≤4时,函数的解析式不同〔1填空：BC的长为4；〔2求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围．[分析]〔1通过图2观察可知y=0时x=4,即D点从B运动到C平移的距离为4；〔2当△DEF在平移过程中,与△ABC的重合部分有三种情况,将三种图形分别画出,通过作辅助线构造相似三角形,通过相似三角形对应边的关系,将各边用x表示出来,即可以列出y与x的函数关系式．[解答]解：〔1由图2得当x=4时,y=0,说明此时△DEF与△ABC无重合部分,则点D从B到C运动的距离为4,即BC=4；故答案为：4．〔2当DE经过点A时〔如图1,BD=3,CD=1,∵△ABC≌△DEF．∴∠EDF=∠BAC．∵∠ACD=∠BCA∴△ADC∽△BAC．∴,即．AC=2∴n=2当0≤x≤2时〔如图2,设ED、EF与AB分别相交于点M,G,作MN⊥BC,垂足为N．则∠MNB=90°=∠EFD=∠C．∵∠MDN=∠EDF．∴△DMN∽△DEF．∴,即．∴MN=2DN．设DN=n,则MN=2n．同理△BMN∽△BAC．∴．即,∴BN=4n,即x+n=4n．∴n=x．∴S△BDM=•BD•MN=2同理△BGF∽△BAC∴,即．∴GF=,∴y=S△BGF﹣S△BDM=2=﹣x2+x+1．当2＜x≤3时〔如图3,由①知,S△BDM=x2．∴y=S△ABC﹣S△BDM=2=﹣x2+4当3＜x≤4时〔如图4,设DE与AB相交于点H．同理△DHC∽△DEF．∴,即∴HC=24﹣x．∴y==x2﹣8x+16∴y=．[点评]本题考查了平移的性质、相似三角形性质,解题的关键是要找到△DEF运动过程中与△ABC重叠面积的不同情况,通过辅助线构造相似三角形,要注意分类讨论画出对应的图象．3．如图,等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动,直到AB与EF重合,设移动xs后,三角形与正方形重合部分的面积为ycm2〔1当x=2,7时,y的值分别为多少？〔2求从开始移动时到AB与EF重合时,y与x的函数关系式,并求出x的取值范围．[分析]〔1根据题意可知,当0＜x≤5时,三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形,且直角边都是2x,根据三角形的面积公式得到y=×2x×2x=2x2,当5＜x≤10时,y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x,据此可得出y、x的函数关系式,可将x的值,代入函数关系式中,即可求得y的值；〔2由题意可知在移动过程中△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为y,是等腰直角三角形ABC的面积和等腰直角三角形MFC的面积差问题得解．[解答]解：〔1当0＜x≤5时,∵三角形与正方形重合部分是个等腰直角三角形,且直角边都是2x,∴y=×2x×2x=2x2,在y=2x2中,当x=2时,y=8cm2；当5＜x≤10时,y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x,在y=﹣2x2+20x中,当x=7时,y=42cm2；〔2当0＜x≤5时,y=×2x×2x=2x2,当5＜x≤10时,y=S△ABC﹣〔2x﹣102=﹣2x2+20x．[点评]本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．对综合运用能力提出了一定的要求．4．〔2014•XX校级三模两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中,按图1所示的位置放置,A与C重合,O与E重合．〔1求图1中A,B,D三个点的坐标．〔2Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当点D运动到与B点重合时停止,设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式．〔3当Rt△CED以〔2中的速度和方向运动,运动时间x=4秒时,Rt△CED运动到如图2所示的位置,求经过A,G,C三点的抛物线的解析式．[分析]〔1Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6,所以有A〔0,6,B〔6,0,D〔﹣6,0,〔2Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动,且DE=6,所以在运动过程中有两种情况,即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧,需分情况讨论．在第一种情况中,重合部分为两个全等的直角梯形,在第二种情况中,重合部分为一个等腰直角三角形,面积易求出．〔3当运动时间为4秒时,即为〔2中第二种情况,此时A、G、C坐标均可求出,可利用待定系数法进行求解．[解答]解：〔1因为两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中,可得：A〔0,6,B〔6,0,D〔﹣6,0．〔2当0≤x＜3时,位置如图A所示,作GH⊥DB,垂足为H,可知：OE=2x,EH=x,DO=6﹣2x,DH=6﹣x,∴y=2S梯形IOHG=2〔S△GHD﹣S△IOD=2[〔6﹣x2﹣〔6﹣2x2]=2〔x2+6x=﹣3x2+12x当3≤x≤6时,位置如图B所示．可知：DB=12﹣2x∴y=S△DGB==〔12﹣2x]2=x2﹣12x+36∴y与x的函数关系式为：；〔3图B中,作GH