2023年华东师大版数学八年级下册《矩形、菱形与正方形》单元质量检测(含答案)

《矩形、菱形与正方形》单元质量检测一 、选择题1.矩形的对角线一定具有的性质是()A.互相垂直B.互相垂直且相等C.相等D.互相垂直平分2.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于()A.30° B.45° C.60° D.75°3.菱形不具备的性质是()A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等4.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形面积是()A.16eq\r(3)B.16C.8eq\r(3)D.85.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对6.如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次对折后再展开)，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有(

)A.4个

B.3个

C.2个

D.1个7.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是(

)A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形8.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.如果再增加条件AC＝BD，此四边形一定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能9.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形10.如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(

)A.8

B.

C.

D.11.如图，在矩形ABCD中，AB＝8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/＝4，则折痕EF的长度为()A.8B.4eq\r(5)C.5eq\r(5)D.1012.已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平.如图，依次连结点A，B，C，D得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)二 、填空题13.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6cm，则AB＝________cm.14.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．15.在矩形ABCD中，A(4，1)，B(0，1)，C(0，3)，则点D的坐标为．16.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为.18.如图，线段AC＝n＋1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME.当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3；则S3﹣S2＝.三 、作图题19.有5个边长为1的正方形，排列形式如图：请把它们分割后拼接成一个大正方形．① 大正方形的边长为．②画出分割线及拼接图．四 、解答题20.如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.(1)求证：AF＝EF；(2)求EF长.21.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且AC＝2DE，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．22.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．23.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积.24.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；(3)在(2)的条件下折痕EF的长．25.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝12cm，AD＝20cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2)，求菱形BFEP的边长；②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.图1图2

答案1.C.2.C3.D.4.C5.C6.C.7.C8.B.9.C.10.C.11.C.12.C.13.答案为：12.14.答案为：AC＝BD．15.答案为：(4，3)．16.答案为：3．17.答案为：10.18.答案为：eq\f(5,2).19.解：①大正方形的边长为：eq\r(5).②如图所示：20.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝7，BC＝AD＝12，∴∠BAF＋∠AFB＝90°，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝45°，∴△DCF是等腰直角三角形，∴FC＝DC＝7，∴AB＝FC，∵AF⊥EF，∴∠AFE＝90°，∴∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，在△ABF和△FCE中，∠BAF＝∠EFC；AB＝FC；∠B＝∠C，∴△ABF≌△FCE(ASA)，∴EF＝AF；(2)解：BF＝BC﹣FC＝12﹣7＝5，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF＝72+52＝21.证明：(1)四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)AC，AD＝CD，∵DE∥AC且DE＝eq\f(1,2)AC，∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∴OE＝AD，∴OE＝CD；(2)解：∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝eq\r(3)．∴在Rt△ACE中，AE＝eq\r(7)．22.证明：(1)∵正方形ABCD∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°∵DP⊥AQ∴∠ADP＋∠DAP＝90°∴∠BAQ＝∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB＝∠DPA＝90°∴△AQB≌△DPA(AAS)∴AP＝BQ(2)①AQ﹣AP＝PQ②AQ﹣BQ＝PQ③DP﹣AP＝PQ④DP﹣BQ＝PQ23.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形；(2)连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×6＝3.∵AB＝5，∴OB＝eq\r(AB2－OA2)＝eq\r(52－32)＝4，∴BD＝2OB＝8，∴S▱ABCD＝eq\f(1,2)×AC×BD＝24.24.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，

∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，

∵AD∥AC，

∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF＝OE，

∵OA＝OC，AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形；

(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，

在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，

∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，

即菱形的边长为5；

②在Rt△ABC中，AC＝4eq\r(5)，

∴OA＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(5)，

在Rt△AOE中，AE＝eq\r(5)，OE＝eq\r(5)，

∴EF＝2OE＝2eq\r(5)．25.(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形.(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝20，CD＝AB＝12，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝20.在Rt△CDE中，DE＝e