空间向量初步

2222222222空向提1理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘，数量积的运算2理解空间向量坐标及坐标运算；．掌握用直角坐标计算空间向量数积的公式；能解决空间平行，垂直问题，会求两点间的距离公式．重：握空间向量的坐标运算；会用向量判断平行，垂直关系难点：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式。、空间直角坐标系：（1若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且基底叫单位正交基底，{i,j}

表示；z（在空间选定一点

O

和一个单位正交基底

{j}

，以点

O

为原点，

分别以

ij,k

的方向为正方向建立三条数轴：x轴、轴z轴它们都

ki

Ojy叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标xyz点叫点，向

x量

ij

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称平，yOz平面，zOx平面；、空间直角坐标系中的坐标：在间直角坐标系

Oxyz

中，对空间任一点

A

，存在唯一的有序实数组

(y,z)，使OAxiyj

，有序实数组

(,yz)

叫作向量A在间直角坐标系O的坐标，记作

(x,)，x叫坐标，y叫坐标，叫竖坐标．、设a(,a)＝123

bb,b)23b＝b＝∥b

。．．；

（5模长公式：若

a,)

，则

12

．（6夹角公式：

a|||

ab13ab32

．（7间的距离公式

A(,yz11

(y,)22

||

x1212

设

Ax),B,yz112则AB

＝

，

AB

．

中点M的标为________．7.如何建立适当的坐标系8.如何确定平面的法向量（1首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法；（2待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为，再求另两个坐标。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设y

由

nn

解方程组求.7（理）利向量处理平行问题（）明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线；（证线面平行的方法：①明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂.（）面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平.8（理）利用向量处理垂直问题（1证明线线垂直，可证明两条线的方向向量的数量积为0（2证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共.（3证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量证明一个平面的法向量与另一人平面平行转为证明这两个平面的法向量互相垂.9.（理）利用向量处理角度问题）异面直线

AB,CD所的角（围：

0

2

））线面角

（范围：

0

2

（了解））二面角

（范围：

）、离题）点到的距离：

AB

)AB

y)AB

z)AB

）点到的离在平面上取点）线

l

到平面

的距离在直线

l

上任取一点

A

为A到

的距离

）面到面距离在平面

上任取一点

A

，转化为点到

的距离9.向量为谋求解立体几何的探索性问题

11111111空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题无需进行复杂繁难的作图论证推理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解.例1在棱长为的方体点．

ABCD111

中，E、F、G分别是

DD1

、、

1

的中(1)求证：⊥；（2求EF和所成角的余弦值(3)求

GA

的长．变式：在正方体ABCD-ABCD中E是的点。11（1在棱上是否存在一点M使M面，什11

A

D

1

F

EB

C

C

1么？（）正方体表面

11

上是否存在点，使

DN1

平面

D

A

1

BC

1BAE，为什么？A．下，棱P－，面ABCD为行边形∠＝60°，AB＝⊥面ABCDA(1)证：⊥BD设＝AD，棱－PBC的高的余弦值．３)若AD，二面角A．（广州2013届三3月业班综合测试试题（一）如图，在

B

C三棱柱

ABC11

中，△

是边长为

的等边三角形，面，D1

，

分别是

CC1

，AB

的中点（1求证：∥平面BD；1（2若

为

1

上的动点，当

与平面

1

所成最大角的正切值为

时求平面

与平面所成二面（角的1余弦值２＼如图棱ABC—AB的侧棱⊥面ABC°是CC