函数的极值与最大（小）值（第三课时 导数在函数有关问题及实际生活中的应用）同步练习-高二下学期数学人教A版2019选择性必修第二册

.3.2函数的极值与最大（小）值（第三课时）（同步练习）一、选择题1.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对2.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()ABCD3.已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为()A.0B.1C.2D.取决于a的值4.函数y＝eq\f(x3,ex)(其中e为自然对数的底数)的大致图象是()ABCD5.函数f(x)＝eq\f(x2lnx2,|x|)的图象大致为()ABCD6.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为()A.30B.40C.50D.607.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A.[－2,2]B.[0,2]C.[－2,0]D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)8.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x关系是R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))则总利润最大时，年产量是()A.100B.150C.200D.3009.(多选)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实数根的是()A.a＝－3，b＝2B.a＝－3，b＝－3C.a＝－3，b＞2D.a＝1，b＝2二、填空题10.已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________11.若不等式ex－1≥kx＋lnx对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________12.某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是____________13.某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N＝8300－170M－M2，则该批材料零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．三、解答题14.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？15.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．参考答案及解析：一、选择题1.B解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192．令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4．当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0．所以当x＝4时，y最小．2.D解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0．故选D．3.C解析：f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．因为函数f(x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f′(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．4.B解析：由函数y＝eq\f(x3,ex)可知，当x＝0时，y＝0，排除C；当x＜0时，y＜0，排除A；当x→＋∞时，y→0．故选B．5.B6.B解析：V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，此时V(x)单调递增；当40<x<60时，V′(x)<0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40．7.A8.D解析：由题意，总成本为C(x)＝20000＋100x，所以总利润为P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400，))令P′(x)＝0，当0≤x≤400时，得x＝300，由P′(x)＜0得300＜x≤400，P(x)是减函数，由P′(x)＞0得0＜x＜300，P(x)是增函数，∴P(x)max＝P(300)＝25000；当x>400时，P′(x)<0恒成立，P(x)＜P(400)＝20000，易知当x＝300时，总利润最大．9.BCD二、填空题10.答案：1解析：f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增，因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．11.答案：e－1解析：由题意，得k≤eq\f(ex－lnx－1,x)对任意x∈(0，＋∞)恒成立，构造函数h(x)＝eq\f(ex－lnx－1,x)，则h′(x)＝eq\f(exx－1＋lnx,x2)，易得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，h(x)取到极小值，也是最小值，且最小值为e－1，故k的最大值为e－1．12.答案：16m，8m解析：设场地宽为xm，则长为eq\f(128,x)m，则新墙总长度为y＝2x＋eq\f(128,x)(x＞0)，y′＝2－eq\f(128,x2)，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.∵当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，∴当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m，即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用的材料最省．13.答案：30，23000解析：设该商品的利润为y元，由题意知，y＝N(M－20)＝－M3－150M2＋11700M－166000，则y′＝－3M2－300M＋11700，令y′＝0得M＝30或M＝－130(舍去)，当M∈(0,30)时，y′＞0，当M∈(30，＋∞)时，y′＜0，因此当M＝30时，y有最大值，ymax＝23000．三、解答题14.解：设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10，p＝6，所以k＝eq\f(6,103)＝0.006．于是有p＝0.006v3．又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为eq\f(1,v)小时，所以行驶1千米的总费用为q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v)．q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20．当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时，q取得最小值．即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少．15.解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝eq\f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))．故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))．从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1．当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜eq\f(3,2)时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，高为1.5m．故当长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3．16.解：由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5)．而建造费用为C1(x)＝6x．最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq