考研线性代数

线性代数部分

第一章行列式

强化训练(一)

一、选择题

1.

第I(cti,ai+a2,a+ci2+aa)I,1(—g,a>)I.

10-j

应选(A).

2.

解An=(—1)“L5|=—5%+4=-1—4=

Afjg-Au=0XJ4JS-+-A*j+lX^4gj

100

=121=1.

411

故应选(B).

3.

利用行列式性质.

110

000-a

00-a0

i=2r-,n

0001

001

0000a

00

T000-1

00

00-10

0001

00T

00

00X

a

=af严

4.

斛\A'\A

5.

«9=1-1-34,|||，I，

=(-1)**•(-3),«14'1

=(-l)*S-3*IA|-1»=6-8—.

IBIb

应选(C).

注解题过程中所有公式都应该熟记或熟练推导一

6.

分析由于齐次线性方程组有非零解,故必有系数行列式等于零.

-1

2=-(a-l)(aX)=O,故a=l或a=-4.应选(A).

a+2

二、填空题

7.

分析该行列式的计算方法很多.考虑到其中每行（或每列）元素之和都相等,利用行列式的性质，容易将

其化为三角形行列式.

2111

|1卜11

r-1100001000

解原式:二T。1。oHSrP。100=6.

pool000010

1-100011Io0001

注本题用特征值法计算也比较简单..

8.

解A+8=(2a,2B，)+5),

|A+B|=|(2a,2p.7+&)l=4|(a.p，7+8)|

=4(|(a，B，))|+|(a.B，6)|)=4(|A|+|引)=20

9.

解2AU+4c-.4a=2x4”+1x4n+(-1)x^u+0x>4M

21-10||21-10

4321X243

-2-11000

00211Io0

21

10.

解IAI=(-l)(5-9)=4.

11.

3-2-1

解B=(ai,a2,O3)-13=AC.

002

3-2-1

ICI=-13-2=2(9-2)=14,

002

于是I0I=IAIICI=57=IAIxl4vIAI=-7.

12.

解由于A与8相似,故矩阵8的特征值为4，T-.T-,T-8'的特征值为2.3,4,5.所以8'-E的特征值

为1,2,3,4,故

IB-El=1x2x3x4=24.

注对于抽象型行列式的计算，可能涉及矩阵的初等变换，考查行列式的性质,也可能用特征值、相似

等处理.

三、解答题

13.

解由于所给行列式仅为3阶行列式，直接计算即可.

123

b1a5a-b-7=0,

312

.Mil十Alm十，Mu=lx4||+(-1)X4U+1XJ4U

1

b1a=-4a+36—1=11,

312

得方程组

5a-6=7,

4a—36=—12,

解得。=3,6=8.

14.

1000

O-C[1000

解Ax)

-1x-2x-2-1

一3x-7

:-:||

由/(x)=0,不难看出x=0,x=1.2

15.

(1)此为行和相等的行列式，自第2列至第n列都加到第1歹U,然后把第1行的(-1)倍

分别加到第2至n行可得。

(2)

解

f(a2

孙kX

l-

-4

U/

n-V

a.

!«

注范馍蒙德行列式的运用在行列式计算中是比较常见的.

16.

分析由于求全部代数余子式之和，只需求出A的伴随矩阵A其所有元素之和即为所求.考虑到A'=

：所以求L4I和A"是关键一

■0

0

解记

0

IAI=(-!)**I£TIICI=(-1)1(-1)

n〃！

10

又8:12

00

0…0

0-00

2…00

0•••n-10

0n

…00

…00

•••n—10

故

YA=^-i2...)=(-ir--〃+1

2il(+++n(〃一1)!

17.

解因为齐次线性方程有非零解，故应有

1-X—241-XX-34—(1—X)

23-X1------21-X2X-1

qTI-X

111-X00

9广1-X=-MX-2)(X-3)=0.

所以，当入=0,2,3时，方程组有非零解.

18.

解方程组AxH有唯一解，必有141X0.

-(/I-1)〃，叶1aa…a

01

01=-(n-l)oc-t-l.

01

由L4“°可知方程组有唯一解.

=1-()a.

aa1

0-01

0-01

于是

D\[-[n-\)a

IAI1-(n-1)ac*“1—(/t-1)ac

第二章矩阵

强化训练（二）

一、选择题

1.

解(A)不正确一例如取4=11'°，则(4J)?=E,但A8='°.

0110-110-1

(B)不正确.由(4B)Z=E可得(⑷=IAI181=±1.

(C)不正确.例如4=,0,B=11，则(48)2=E，但4BWA4.

0-10

(D)正确.由(/18),乙即人皿8=£知4'=848.于是4(218)=(848)4=(84)'=E.应选(D).

2.

分析利用分块矩阵求解.

解记A=（AA）,B=:，其中4=|；1].A=|Jj.3,所为2x2矩阵.于是问题变为求

B,

8JM更，=2,且有

B

B

（A4）

B

由上式,得

A：B\—O,

取"二E,则—

4丛=-A2,

Bi=-At*A：=

11

--

J-

J1S8

-5J

-25

-9J

一S

是

于

1

-11

注8B二:也符合问题要求.

80

08

解用8।左乘和右乘已知等式可知（A）正确.

用人।左乘和右乘已知等式可知（B）正确.

已知等式两边取逆矩阵，可知（D）正确.故应选（C）.

4•解回尸=打尸=睛

5.

解AB=(E-aa)(E+2aa)

=E+aaf-2a(a'a)a*=£+aa'-2(a'a)aa'，

I

2

0

aa=|-7.0.0,0,-7|1

由于一

0~2，

0

1

2

故A8=E+aaT-2・-aa'=E,应选（A）.

注本题若将算出来，再代入表达式进行求解将比较繁琐,所以在解题过程应注意灵活运用矩阵乘

法的结合律.

6.

解由于AB是mxm矩阵,r(AB)Wmin|m9n|，当m>n时,r(A6)Wn<m.有］<401=0.应选(A).

8.

分析本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系.要消她初等矩阵的作用，搞清A与S之间的变换关系.

解由于8是由A交换第1,4列，再交换第2,3列得到的.即有8=42",于是:尸

应选（C）.

注本题中B=AP}P2,故B'=P2P,A

9.

分析木题实质是求《等于多少时A的秩为4-1,可用初等变换的方法求解，也可用行列式求解.

解利用初等变换

3A：+13A+13A+13A+1

WO.

10.

分析见到A5=O时，就要想到r（A）十r（8）为方阵A乃的阶）以及6的列向量都是Ax=0的解.

解2=;:国工卜

0

当1H6时,”、）=2,«尸）宅3-2=1.又2为非零矩阵,『（/＞）£1,所以『（2）=1,应选（8）.

注”=6时,由于/（。）=1,”「）±3-1=2,而尸非零,故「6）可能为1,也可能为2

二、填空题

11.

分析本题求方阵高次第，想“两法”.由于，（A）=1,故采用“秩1法”.

解因=ap\故

/i"=apap•••ap1=a(Pa)(pa)---(p'a)P*

=(p，a)*'aP，.

又a=2.

因此

A"=2a，ap1=2''，A.

12.

分析根据问题特点不难看出，本题采用“对用化法”和“秩1法”求方阵的高次恭.

解由题设P可逆,4r'而小小眼二「［砰'）皿P.

(叩’)&'•=apTap*---apT=a(Pa)(pra)..-(pTa)pT

2al个

二(B%„

由于

U=l,ap'=|(|(0.1.1)=01

pa=(0.1.1)00

01

01

从而（对严00

01

又

01

/211..P=/21(-1))=-11

001

1110

因此-101C

00•IilP10100

0011

0-IIiJ0-1-1

111100

0111

注在计算初等矩阵与矩阵乘枳时，要充分利用初等矩阵的作用，即左（右）乘初等矩阵，相当于对矩阵

作相应的初等行（列）变换.

13.

分析由于4中的零元素构成了矩形块，故考虑利用分块法求解.

002

0.00OC

解A=B(\

310

0300

0o

2CBo

A8

Be

23I-6312

-=8c

CB-oo3oo3o

O

o60

o06

O00

Iv

=»

ol1

3•3

861『3

3oo

O3

r2由2

c1

-L-2

ICIoo

C2

于

注本题也可用初等变换求逆，但不如分块求逆法简单.

14.

解(A+2E)'(A2-4E)=(4+2E)*(A+2£)(A-2£)=U+2EI(A-2E).

301-101

又1A+2EI=040=t)0,/l-2£1=00c

005001

故

-101

(A+2£)'(A2-4£)=6000(

00I

注遇到此类问题，不要急于求(A+2E)•和应先利用相关的基本公式化简后再求解.

15.

分析本题为3阶矩阵求逆，可考虑利用伴随矩阵求逆,也可用初等变换求逆,由于另一问题涉及伴随矩阵

求逆.需要计算IAI,故采用伴随矩阵求逆.

于是

1-12

[(-乂)・]7=(44,)7二十(4・)7:7含二十-2-1-2

441Al4

433

16.

分析由于已知条件只有有关A的信息.故应将尽量用4表示.

解A[(2A)'-5A*]=A|'-5A'|=-^-E-5\A\E.

将以I=g"代入上式，得A[(2A)"'-5A']=-2E.

两边取行列式得IAII(2A)-'-5/Tl=-2'=-8,

I(2A)-1-5AI=—8■=—16.

17.

解14-281=

由

\B\=

所以

18.

解由于A为3阶矩阵,且r(A)=l<3-l,故r(/T)=O,即,于是有

X=(apr)I-2E=Pa'_2E

=1।(1,2.1)-200-121

0200-20

002240

注求解矩阵方程，一般需先化筒再代入.

19.

分析求4।就要想办法将题设条件恒等变形成AB=E或BA=E的形式;求(A+E)”就要将题设条件恒

等变形成(4+E)B=E或8(4+E)=E的形式.

解⑴A\3A-2E=O,

A(4+3E)=2£,

即A^(At3E)=E,

故A'l=^-(A+3E).

(2)T+34-2E=O.

T+A+24-t-2E=4E.

A(A+E)+2(A-t£)=4£,

(A+2E)(A+E)=4E.

十(4+2E)(4+E)=£,

故(4+E)-，=-^(4+2E).

20.注意，先把AXA*=X改为AXA*=8

解显然矩阵A的秩为3,故A*的秩也是3,从而"8)=**)=2,忸|=0,进而得

a=-2

三、解答题

21.

解由题设/（a］，%,%）=（四,物,3aJ.即

100

=020.

0-13

注本例计算中，直接利用初等矩阵的逆矩阵和初等矩阵对矩阵的作用的有关结论，大大简化了计算.

22.

分析本题仍是先化简，再代入.

解因AB^E=A\B,

AB-B=A2-E,

(A-£)B=(A-E)(A+£),

001

而L4-EI=010WO,故4-E可逆，于是

100

201

B=A^E=03(.

10：

23.

分析本例若由A•求A及卜,，再代入求民计算量太大，故在化简方程时，应尽量使方程中矩阵种类越少

越好.

解用A右乘矩阵方程两端，得

AB-B-3A.

因为=川此用4•左乘上式两端，得

\A\B-A*B-3\A\E.

由于L4・l=/T,,有IA|3=8,IAI=2代入上式得

(2E-A")B=6E,

于是B=6(2E-A-)_,

-11000

10006000

0100

01000600

=6-0

-1010=6060

030-6o+od030-1

26

24.

分析利用分块矩阵求解一

解记AjAiA),8=[5，其中/却J；j二]

,B为2x2矩阵.于是问题变为求

Bi

助也使，J=2,且有

(A..4):"

1>2

由上式，得

A\B\+/t2B1—0,

取反二瓦则r(B)=2.

4典=-&.

-T

11

于是

5-11

注88二也符合问题要求.

80

08

25.

解若r(8)=3,则有r(A8)=r(4),与r(A8)<r(A)矛盾，故r(8)<3；同理r(A)<3,于是

6-1a1

=-110=a+6-3=0,

021

ab-3

IAI=202=4(2fr-<i—3)=0,

32-1

解方程4：W°；可得a=l,b=2.

12b-<t-3=Q,

显然r(A)=2j(A8)<r(A)=2,且A8*O,r(A8)M1,故r(A8)=1.

26.

分析由于本题需要求行向量组的一个极大线性无关组.故对A'进行初等行变换求秩.

解

10-1110-11

43a4_0___3_____a+40

4a3400(a+7)(3-a)0

23-55-J00—0—73—

a=3或0=-7时,r(4)=3.

当a=3时/的第1,2,3行组成A的行向量的极大无关组.

当a=-7时/的第1,2j4行组成4的行向量的极大无关组.

27.

解（1）

100

00

E+AB=

0010

10kanIan

01

=001lau,

001

l£MBI=|'=1-如:

1011M1

当IE+48IWO,即nt*士时,E+A8可逆.

k!

(2)由于r(4)=4,故4可逆，于是有

(E±AB)XA=(AA8)1;[A(4、8)「A

=(A1+B)'A/I=(A1

于是

[(J5+AB)-，A]T=[(A'+B)-，f=[(A~l+B)T]

=[(4')，/二=[(4‘)"+"]“=(A"+")”=(E+/18)"A.

故(E+/3)“A为对称矩阵.

28.

(2)题设等式条件右乘(A+3£)，得5(A+3E)=A+£即R4+35二4十£于是有

26A十2=24+2£,

(2BA-A)+3(2B-E)=A-E,

(2B-E)A+3(2B-E)=A-E,

(2B-£)(A+3£)=A-£,

上式两边取行列式，得I2B-£IIA+3£I=IA-£I,

解(1)由8=(2A+E)"(A-2£).有(2A+E)8=A-2E即

2AB+B=A-2E,

2AB+A+B±-^-E=2A--^-E,

A(28+E)甘(28十£)=2A-广匕

|(25+E)=2ATE,

两边取逆,

(28+E)JA++4J2A-却

(2B+E)子臼|臼

=|4-(4A-3£)|］十(必-3£)咛i|

=2(4A-3£)*-J-(4A-3£+5E)

二十七+(4A-3E)L

-300-i-300

而(4A-3E)T=410=~1290

0-4-3-1612-2

于是

-100300

由于14-El=100=0IA+3EI=140=36,

0-1-10-13

故125-£1=0,即26-E不可逆.

29.

解由于对任意实数A,A-M都可逆，有I人-⑻K0,即A无实特征值,即方程/必入"二0无实数解，应有

62-4OC<0.

30.

证(1)由定义可知只需证明(%Aa)=a'Aa=0.

由于(a,Act)=(Aa,a),于是有

故有ot\4a=0,a与Aa正交.

(2)用反证法.

设A-E不可逆，则存在非零列向量明使(A-E)a=0,即4a二%与a和Aa正交矛盾，故A-E可逆.

同理可证4十£可逆.

(3)利用正交矩阵的定义验证.因

(A-E)(4+£)**[(A-E)(A+E)l]T

=(A-E)(4+E)-，(A-£)*，(A+E)

=(A+E)''[(A+E)A-(A+E)](A+EY'(A-Ey\AfE)

=(A±E)'(A-E)(A-E)\4+£)=E.

故(A-E)(4+E)“是正交矩阵.

第三章向量

强化训练(三)

选择题

解应选(D).

向量组线性相关的充分必要条件是其中至少一个向量可由其余向量线性表示,本例选项(D)是这一命题的

逆否命题.当然正确.

选项(A)与向量组明,8,…,a的线性相关性无关;而选项(B)只是向量组a.，小,…，a线性无关的必要条

件;选项(C)也只是向量组叫.a?,….a,线性无关的必要条件，例如向量(0.0,0,1)'显然不能由向量(1,0,0,

0)',(0」,0,0)，(1」,0,0)'线性表示，但这四个向量是线性相关的.故应选(D).

T

解取叫=(1,0),%=(-1.0)‘，%=(0,1)',显然四,a2,四线性相关，但4十%十%=(0,1)*0,选项

(A)错误;ge线性无关,故选项(B)也错误;8不能由8.8线性表示,故选项(D)也不正确.

事实上,选项(C)正是向量组四.4,….a.线性相关的定义然正确.

故应选(C).

3.解由民%，火线性无关可知△%线性无关，而a四,%线性相关，故必必可由4,巴

线性表示，进而可由氏%，%线性表示。

由于

0

3000

A=(0^0,,a,a,a)=

J4470-1

4214010022T310000。

显然r(ai,ot2,a3,ou,a$)=3,而“a.a?)=2,所以ai,a2,aj不是向量:组on,a»,as的极大无关组.

故应选(A).

5.

分析由于a,Q,aj线性无关，则可知：若B［，仇，肉可由cu,3,as线性表不为（仇，仇，力）=（ai,a：,

%）K.则线性无关O秩r（K）=3.

解对四个选项中的向量组由，p2A分别由叫人处线性表示为（国岛隔）二（囚,四，5）跖（=1,2,3,

4,则知

111

K>=011.帙”航）=3,得国后，南线性无关;

001

113113113

,秩八"）=.在自，仇,伊

K2=122—017—01-13

031031004

02111dii（

K,=110—021-021,秒，A；=2,得距岛岛线性相关；

131021000

101101101

一

K4=11001-1-01-1，秩”《）二3,得自岛隔线性无关.

011011002

故应选(C).

6.

解秩「（6。2,・・・,6）=,,则向量组中任意"1个向量相关，至少一组r个向量线性无关，不能确定任

意,个向量线性无关，所以选项（A）、（B）均不正确.

只有当5时小维向量组g,g.…，明与〃维向量空间等价,故选项（D）正确.

故应选（D）.

解由于向量组PtR即可由a1，a2，….a线性表示,因此秩“跳，生，…,BJ£r（on,az,…，a）,且

r（cti,8,・・・.明◎.仇，…，①）=r（at,a2.—,at）=q.

故应选（B）.

L

解

100

对十选项（B）,一方面（aiTM^s-ai,4）=（6,a［a）-11C=（6.a?皿）P,即向量组（a1-a二，

0-11

10（

必-、,®）可由向量组a1,a”s线性表不.另一方面，因为-11（可逆，则（a］，a：,ou）=（j

0-11

10c

yQ

a3）P'=（ax-a2ta2-a3,a3）11（，即叫，加,%可由向量组四-七，：-■.a」茂性表小