教学设计 定积分一轮复习教学设计

2022级高三年级(数学)学科学案学案类型：一轮复习材料序号:16编稿教师：朱铁军审稿教师:邸乾豇16定积分与微积分基本定理一、考试要求1．了解定积分的实际背景、了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义.二、基础知识（一）定积分概念如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.（二）定积分的几何意义及物理应用1．定积分的几何意义如果在区间上函数连续且恒有时，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积. 拓展1：由一条曲线和直线及所围成平面图形的面积． （1）如图所示，，，所以． （2）如图所示，，所以．（3）如图所示，当时，，；当时，，，所以．拓展2：由两条曲线和，直线所围成平面图形的面积． （1）如图所示，当时，． （2）如图所示，当时，．2．定积分在物理方面的应用 （1）变速直线运动的路程 我们知道，做变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间上的定积分，即． （2）变力做功 如果物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所做的功为．（三）定积分的性质 （1）（为常数）． （2）．（3）（其中．（四）微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么 ．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式． 为了方便，我们把记成，即 ．三、方法及提示1．定积分在高考中一般是考查计算或几何意义、物理意义.2．定积分的计算方法有三种：定义法、几何意义法和微积分基本定理法．3．用定积分计算封闭图形的面积，常用到“割补”和“对称”的思想．四、例题分析例1（定积分的定义）利用定积分定义，计算的值．解析：， ．例2（定积分的实际应用）(2022湖北7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（C） （A）1＋25ln5 （B） （C）4＋25ln5 （D）4＋50ln2解析：由于v(t)＝7－3t＋，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离＝＝4＋25ln5(m)．例3（微积分学基本原理）计算下列定积分： （1）；（2）；（3）；（4）函数，在区间上的积分．解析：（1）因为，所以． （2）因为， 所以．（3）（4）解：．例4（利用定积分求面积）计算由直线，曲线以及轴所围成图形的面积．解析：作出直线，曲线的草图，所求面积为下图中阴影部分的面积． 解方程组， 得直线与曲线交点的坐标为． 直线与轴的交点为． 因此，所求图形的面积为 例5利用定积分的几何意义求：（1）；（2）．解析：（1）上半圆面积；（2）左上圆面积．五、巩固提高（一）选择题设连续函数，则当时，定积分的符号（A） （A）一定是正的 （B）一定是负的 （C）当时是正的，（D）以上结论都不对当时是负的(2022江西6)若，，，则S1，S2，S3的大小关系为（B）．（A）S1＜S2＜S3 （B）S2＜S1＜S3 （C）S2＜S3＜S1 （D）S3＜S2＜S1解析：＝，＝，＝，所以S2＜S1＜S3，故选B.若质点运动的速度为v，则质点开始运动后内通过的路程为（B）（A） （B） （C） （D）若，则的值是（D） （A） （B） （C） （D）（2022福建6）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（C）（A）（B）（C）（D）解析：∵由图象知阴影部分的面积是，∴所求概率为．(2022山东7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为（A）（A） （B） （C） （D）解析：由解得两曲线的交点为(0，0)，(1，1)．如图，∴所求封闭图形的面积为S＝.下列各命题中，不正确的是（D）（A）若是连续的奇函数，则（B）若是连续的偶函数，则（C）若在上连续且恒正，则（D）若在上连续，且，则在上恒正若，则的大小关系是（A）（A） （B） （C） （D）(2022广东8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（A）（A）在t1时刻，甲车在乙车前面（B）t1时刻后，甲车在乙车后面（C）在t0时刻，两车的位置相同（D）t0时刻后，乙车在甲车前面 解析：由图知甲车在(0，t1)段的曲边梯形面积大于乙车在(0，t1)段的曲边梯形的面积，面积表示路程，因此甲车在乙车的前面.（二）填空题(2022山东14)设函数．若，，则的值为．（11）（2022全国新13）设为区间[0，1]上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分.先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数和，由此得到N个点．再数出其中满足的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为__________．解析：由题意可知它所围成的区域面积为S＝1，结合积分的几何意义和几何模型可知，＝，即＝.（12）在曲线上某一点处作一切线使之与曲线以及轴所围成的图形的面积为，则切线方程为.解析：如图，设切点为，∵，∴切线方程为.∴B点横坐标，∴，即.∴切线方程为.（13）已知函数的图像是折线段其中，则函数的图像与轴围成的面积为________．解析：.六、综合与创新（1）如图，直线分抛物线与x轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为.解析：抛物线与轴两交点的横坐标，，所以，抛物线与轴所围图形的面积．又由此可得，抛物线与两交点的横坐标