2022-2023学年广东省梅州市平远县坝头中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市平远县坝头中学九年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝02．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米3．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝2104．已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．菱形ABCD中，已知AC＝6，BD＝8，则此菱形的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．406．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥17．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．28．已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个．A．3 B．2 C．1 D．09．若点（4，6）是反比例函数图象上的一点，则此函数图象必经过点（）A．（4，﹣6） B．（﹣4，﹣6） C．（2，﹣12） D．（12，﹣2）10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为．13．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝2，则AB＝．15．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．16．如图，在矩形ABCD中的AB边长为6，BC边长为9，E为BC上一点，且CE＝2BE，将△ABE翻折得到△AFE，延长EF交AD边于点M，则线段DM的长度为．17．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分．18．有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为25m2，求这个长方形花坛的长和宽．19．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）请直接用含t的代数式表示PE、QE的长；（2）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（3）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）21．现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？22．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值．23．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE＝，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．24．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．25．已知正方形ABCD与正方形CEFG（点C、E、F、G按顺时针排列），M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，求证：DM＝EM，DM⊥EM．简析：由M是AF的中点，AD∥EF，不妨延长EM交AD于点N，从而构造出一对全等的三角形，即≌．由全等三角形性质，易证△DNE是三角形，进而得出结论．（2）如图2，E在BC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．（3）当AB＝5，CE＝3时，正方形CEFG的顶点C、E、F、G按顺时针排列．若点E在直线CD上，则DM＝；若点E在直线BC上，则DM＝．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是x2﹣5x+5＝0．故选：A．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．2．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD＝60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝AD＝24÷4＝6（米），∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝6（米），OD＝OB＝3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA＝＝3（米），则AC＝2OA＝6米，故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．3．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210【分析】根据题意列出一元二次方程即可．解：由题意得，x（x﹣1）＝210，故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．4．已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个解，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到关于m的一元一次方程，解之即可．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：1+m﹣2＝0，解得：m＝1，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．5．菱形ABCD中，已知AC＝6，BD＝8，则此菱形的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O．则AC⊥BD．则由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4．所以，在直角△ABO中，由勾股定理得AB＝＝＝5．则此菱形的周长是4AB＝20．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．6．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，然后解不等式即可．解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．7．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程求出a2﹣2a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣2a﹣1＝0，整理得，a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a﹣1＝2（a2﹣2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出a2﹣2a的值，然后整体代入是解题的关键．8．已知反比例函数y＝﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．解：①当x＝﹣2时，y＝4，即图象必经过点（﹣2，4），正确；②k＝﹣8＜0，图象在第二、四象限内，正确；③k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；④k＝﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0时，y＜8，故④错误，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记反比例函数的性质是解题关键．9．若点（4，6）是反比例函数图象上的一点，则此函数图象必经过点（）A．（4，﹣6） B．（﹣4，﹣6） C．（2，﹣12） D．（12，﹣2）【分析】根据反比例函数图象的性质，xy＝k，只有横纵坐标的乘积等于相同值的点，在一个图象上，进而得出答案即可．解：∵点（4，6）是反比例函数图象上的一点，∴xy＝4×6＝24，4个选项中，只有（﹣4，﹣6）点，xy＝（﹣4）×（﹣6）＝24，故此函数图象必经过点（﹣4，﹣6），故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数得出是解题关键．10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2；⑥证明∠PFH+∠HPF＝90°，则AP⊥EF．解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正确；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正确；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．④∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，由正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正确；⑤由EF＝PC＝AP，∴当AP最小时，EF最小，则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝＝2时，EF的最小值等于2，故⑤正确；⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正确；本题正确的有：①②④⑤⑥；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义和项、系数的定义得出即可．解：一元二次方程x2﹣x＝0的一次项系数为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程和项、系数等定义，能理解定义的内容是解此题的关键．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为65°．【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故答案为：65°．【点评】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．13．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠1．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【点评】此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝2，则AB＝4．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．解：∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB，∴AB＝2CD，∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．15．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．【分析】设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，构建方程组求出a、b即可解决问题；解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，由△ABE∽△DAB可得：＝，∴b＝a2，∴a3＝64，∴a＝4，b＝8，设PA交BD于O．在Rt△ABD中，BD＝＝12，∴OP＝OA＝＝，∴AP＝．故答案为．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，在矩形ABCD中的AB边长为6，BC边长为9，E为BC上一点，且CE＝2BE，将△ABE翻折得到△AFE，延长EF交AD边于点M，则线段DM的长度为．【分析】过M作MN⊥BC于N，根据矩形的性质得到MN＝CD＝AB＝6，设DM＝x，于是得到CN＝DM＝x，AM＝9﹣x，根据折叠的性质得到AF＝AB＝MN，∠AFE＝∠B＝∠AFM＝∠MNE＝90°，根据全等三角形的性质得到AF＝EM＝9﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：过M作MN⊥BC于N，则四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝AB＝6，设DM＝x，∴CN＝DM＝x，AM＝9﹣x，∵CE＝2BE，∴BE＝3，CE＝6，∴EN＝6﹣x，∵将△ABE翻折得到△AFE，∴AF＝AB＝MN，∠AFE＝∠B＝∠AFM＝∠MNE＝90°，∵∠AMF+∠EMN＝∠EMN+∠MEN＝90°，∴∠AMF＝∠MEN，在△AMF与△MNE中，，∴△AMF≌△MNE，∴AM＝EM＝9﹣x，∵EM2＝EN2+MN2，∴（9﹣x）2＝（6﹣x）2+62，∴x＝，∴DM＝．故答案为：．【点评】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．【分析】由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），由此可以求出直线为y＝x+1，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为（2n﹣1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．解：∵点B1（1，1），B2（3，2），∴A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），∴直线y＝kx+b（k＞0）为y＝x+1，∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标又An的横坐标数列为An＝2n﹣1﹣1，所以纵坐标为2n﹣1，∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]＝（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）．【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分．18．有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为25m2，求这个长方形花坛的长和宽．【分析】设花坛的宽为x米，然后表示出矩形的长，利用矩形的面积计算方法得到方程求解即可．解：设长方形花坛的宽为x米，根据题意得x•4x＝25，整理得：4x2＝25，解这个方程的x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去），∴4x＝10，答：长方形花坛的长为10米，宽为米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．19．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）请直接用含t的代数式表示PE、QE的长；（2）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（3）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出DE，根据题意用含t的代数式表示PE、QE的长；（2）分△EQP∽△EDA、△EQP∽△EAD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可；（3）分EP＝EQ、EQ＝QP、PQ＝EP三种情况，根据等腰三角形的性质列式计算即可．解：（1）由勾股定理得，AB＝＝10（cm），∵D、E分别是AC、AB的中点，BC＝8cm，∴DE＝BC＝4cm，AE＝BE＝5cm，由题意得，DP＝tcm，BQ＝2tcm，∴PE＝（4﹣t）cm，QE＝；（2）如图2，当PQ⊥AB时，△EQP∽△EDA，∴＝，即＝，解得，t＝；如图3，当PQ⊥DE时，△EQP∽△EAD，∴＝，即＝，解得，t＝，综上所述，当t为秒秒时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似；（3）如图4，当EP＝EQ时，4﹣t＝5﹣2t，解得，t＝1；如图5，当EP＝EQ时，4﹣t＝2t﹣5，解得，t＝3；如图6，当EQ＝QP时，（4﹣t）：（2t﹣5）＝4：5，解得，t＝；如图7中，当PQ＝EP时，（2t﹣5）：（4﹣t）＝4：5，解得，t＝，综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．21．现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台B型空气净化器的进价为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润＝单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，＝，解得：x＝1200，经检验x＝1200是原方程的根，则x+300＝1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为a元，根据题意得；（a﹣1200）（4+）＝3200，解得：a＝1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．22．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD2+3CH2是定值．【分析】（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG＝GH＝HE可以知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；（2）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE＝OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；（3）过C作CN⊥DE于N，设CD＝x，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD2+3CH2的值了．【解答】（1）证明：连接OC交DE于M．由矩形得OM＝CM，EM＝DM．∵DG＝HE．∴EM﹣EH＝DM﹣DG．∴HM＝GM．∴四边形OGCH是平行四边形．（2）解：DG不变．在矩形ODCE中，∵DE＝OC＝3．∴DG＝1．（3）证明：设CD＝x，则CE＝．过C作CN⊥DE于N．由DE•CN＝CD•EC得CN＝．∴．∴HN＝3﹣1﹣．∴3CH2＝3[（）2+（）2]＝12﹣x2．∴CD2+3CH2＝x2+12﹣x2＝12．【点评】本小题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念．23．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，DE＝，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直线经过点A（3，0）时，则b＝；若直线经过点B（3，1）时，则b＝；若直线经过点C（0，1）时，则b＝1．①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，此时E（2b，0）∴S＝OE•CO＝×2b×1＝b；②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，此时E（3，b﹣），D（2b﹣2，1），∴S＝S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）＝3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]＝b﹣b2，综上所述，S＝；（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，∠MED＝∠NED又∵∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），∴DH＝1，HE＝2b﹣（2b﹣2）＝2，∴HN＝HE﹣NE＝2﹣a，则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2＝（2﹣a）2+12，∴a＝，∴S四边形DNEM＝NE•DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．24．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△BDF，可得BF＝AE；（2）过点D作DG⊥AC于点G，利用“AAS“证明△DGO≌△BFO，设DG＝a（a＞0），则AG＝2a，运用勾股定理即可求得答案；（3）将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFG，通过证明四边形DNMG为正方形，即可求解．解：（1）∵DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE；（2）如图②，过点D作DG⊥AC于点G，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∠DEA＝135°，由（1）知：△ADE≌△BDF，∴∠BFD＝∠DEA＝135°，AE＝BF，∴∠BFO＝90°，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠BFO＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，在△DGO和△BFO中，，∴△DGO≌△BFO（AAS），∴DG＝BF，OF＝OG，∴DG＝EG＝AE＝BF，设DG＝a（a＞0），则AG＝2a，在Rt△ADG中，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2a）2+a2＝22，解得：a＝，∴OF＝OG＝×＝；（3）如图③，过点D作DN⊥AC于点N，将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFH，∴DH＝DN，∠DNE＝∠DHF＝90°，∠DEN＝∠DFG，