2022-2023学年吉林省长春外国语实验学校八年级（上）期末数学试卷含解析

2022-2023学年吉林省长春外国语实验学校八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±32．把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）3．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（2a2）2＝2a4 C．a3•a4＝a7 D．a4÷a＝a44．某校为丰富学生的课余生活成立了兴趣小组，学生会对全校300名学生各自最喜欢的兴趣小组进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示的扇形统计图，选择球类的人数为（）A．40人 B．60人 C．75人 D．80人5．如图，已知∠ABC＝∠DEC，BE＝CF，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠ACB＝∠DFE C．∠A＝∠D D．AB＝DE6．下列命题中的假命题是（）A．若x2＝y2，则x＝y B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形 D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A．2 B．3 C．5 D．6二、填空题（每小题3分，共18分）9．﹣27的立方根是．10．计算：12x5y÷6xy＝．11．分解因式：m2﹣4＝．12．要使式子有意义，则x的取值范围是．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为．14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为．三、解答题（共78分）15．计算：（1）（9a5﹣15a3+6a）÷3a；（2）．16．解方程：．17．先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．18．已知x，y为实数，且，求的值．19．图①、图②均是6×6的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画一个以AB为底边的等腰三角形ABC，点C在格点上；（2）在图②中，画一个以AB为腰的等腰三角形ABD，点D在格点上．20．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务，问原计划每小时修路多少米？21．某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了n名学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了不完整的统计表．n名学生掌握垃圾分类知识统计表：等级频数频率优秀240.48良好a0.3合格7b待合格40.08根据上面的统计图表回答下列问题（1）n的值为，a的值为，b的值为．（2）若全校有1500名学生，请估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．22．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．23．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB＝4，AD＝8，求BE的长．24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为；②当t＝3时，PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．

参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±3【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．解：9的平方根是：±＝±3．故选：D．【点评】本题考查了平方根的性质和应用，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是关键．2．把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．解：a2+2a＝a（a+2）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．3．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．（2a2）2＝2a4 C．a3•a4＝a7 D．a4÷a＝a4【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，逐项判断即可．解：∵（a2）3＝a6，∴选项A不符合题意；∵（2a2）2＝4a4，∴选项B不符合题意；∵a3•a4＝a7，∴选项C符合题意；∵a4÷a＝a3，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，以及同底数幂的乘法、除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．4．某校为丰富学生的课余生活成立了兴趣小组，学生会对全校300名学生各自最喜欢的兴趣小组进行问卷调查后（每人选一种），绘制成如图所示的扇形统计图，选择球类的人数为（）A．40人 B．60人 C．75人 D．80人【分析】用总人数乘以扇形统计图中选择球类人数所占百分比即可得出答案．解：选择球类的人数为300×25%＝75（人）．故选：C．【点评】本题考查了扇形统计图，掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数是关键．5．如图，已知∠ABC＝∠DEC，BE＝CF，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠ACB＝∠DFE C．∠A＝∠D D．AB＝DE【分析】根据题目中的条件可以得到∠ABC＝∠DEF，BC＝EF，然后添加选项中的条件，写出能判断三角形全等的依据即可．解：∵∠ABC＝∠DEC，BE＝CF，∴∠ABC＝∠DEF，BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，∴添加AC＝DF时，无法证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；添加∠ACB＝∠DFE时，可得∠ACB＝∠DFE（ASA），故选项B不符合题意；添加∠A＝∠D时，可得∠ACB＝∠DFE（AAS），故选项C不符合题意；添加AB＝DE时，可得∠ACB＝∠DFE（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．6．下列命题中的假命题是（）A．若x2＝y2，则x＝y B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 C．若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形 D．等腰三角形底边上的高平分它的顶角【分析】根据有理数的乘方、等边三角形的判定定理、等腰三角形的概念和性质判断即可．解：A、若x2＝y2，则x＝±y，故本选项命题是假命题，符合题意；B、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；C、若一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；D、根据等腰三角形的三线合一可知，等腰三角形底边上的高平分它的顶角，是真命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【分析】根据线段垂直平分线的性质即可进行判断．解：要使点P到点A、点B的距离相等，需作AB的垂直平分线，所以A选项符合题意．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）＝3，较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c）＝3，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．二、填空题（每小题3分，共18分）9．﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义求解即可．解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．10．计算：12x5y÷6xy＝2x4．【分析】根据整式的除法法则即可求出答案．解：原式＝2x4．故答案为：2x4．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．11．分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．故答案为：（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．12．要使式子有意义，则x的取值范围是x≤2．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解：根据题意得，2﹣x≥0，解得x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为15．【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质，即可求得DE的长，继而求得△ABD的面积．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∵AB＝10，∴S△ABD＝AB•DE＝×3×10＝15．故答案为：15．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为8．【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，∴S正方形B+4＝18﹣6，∴S正方形B＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．三、解答题（共78分）15．计算：（1）（9a5﹣15a3+6a）÷3a；（2）．【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；（2）直接将分式通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．解：（1）原式＝9a5÷3a﹣15a3÷3a+6a÷3a＝3a4﹣5a2+2；（2）原式＝+＝＝．【点评】此题主要考查了分式的加减、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16．解方程：．【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解：方程两边都乘3（x+1），得：3x﹣2x＝3（x+1），解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，3（x+1）≠0，∴x＝﹣是方程的解，∴原方程的解为x＝﹣．【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．17．先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而把a的值代入得出答案．解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8×+1＝3．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．已知x，y为实数，且，求的值．【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．解：∵，∴x﹣9≥0，9﹣x≥0，∴x＝9，∴y＝4，∴+＝+＝3+2＝5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是关键．19．图①、图②均是6×6的正方形网格，小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画一个以AB为底边的等腰三角形ABC，点C在格点上；（2）在图②中，画一个以AB为腰的等腰三角形ABD，点D在格点上．【分析】（1）作腰为5，底为AB的等腰三角形即可（答案不唯一，顶点C在线段AB的垂直平分线上即可）．（2）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）．（2）如图②中，△ABD即为所求作（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务，问原计划每小时修路多少米？【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可，本题得以解决．解：设原计划每小时修路x米，，解得，x＝50，经检验x＝50时分式方程的解，即原计划每小时修路50米．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要验根．21．某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了n名学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了不完整的统计表．n名学生掌握垃圾分类知识统计表：等级频数频率优秀240.48良好a0.3合格7b待合格40.08根据上面的统计图表回答下列问题（1）n的值为50，a的值为15，b的值为0.14．（2）若全校有1500名学生，请估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．【分析】（1）根据频率＝频数÷总数求解即可；（2）用总人数乘以样本中优秀、良好的频率之和即可．解：（1）n＝24÷0.48＝50，a＝50×0.3＝15，b＝7÷50＝0.14，故答案为：50，15，0.14；（2）1500×（0.48+0.3）＝1170（人），答：估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1170人．【点评】本题考查的是统计图表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．如图，在四边形ABCD中，AB＝13，BC＝5，CD＝15，AD＝9，对角线AC⊥BC．（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据勾股定理得出AC即可；（2）利用勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，进而解答即可．解：（1）∵AB＝13，BC＝5，AC⊥BC，∴AC＝，（2）∵AC＝12，CD＝15，AD＝9，∴CD2＝AC2+AD2，∴△ADC是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝．【点评】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AC解答．23．已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；（2）若AB＝4，AD＝8，求BE的长．【分析】（1）根据翻转变换的性质得到∠BEF＝∠DEF，根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理证明；（2）由折叠的性质可得BE＝DE，△BEF≌△DEF，由勾股定理可求BE＝5，即可求解．解：（1）△BEF是等腰三角形．理由：由折叠的性质得：∠BEF＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，∴BE＝DE，∵BE2＝AB2+AE2，∴BE2＝16+（8﹣BE）2，∴BE＝5．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出BE的长是本题的关键．24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为9.6cm；②当t＝3时，PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．【分析】（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；②可求得AP和