2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）

第1页（共1页）2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值．2．（5分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁UB）＝3．（5分）若函数f（x）满足f'（x0）＝﹣3，则当h趋向于0时，趋向于．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1．则￢p为．5．（5分）已知命题：p：（x﹣3）（x+1）＞0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是．6．（5分）给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是．（填序号）7．（5分）已知cos（+α）＝，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）＝．8．（5分）已知过点A（1，m）恰能作曲线f（x）＝x3﹣3x的两条切线，则m的值是．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝．10．（5分）已知函数在（1，3）内不单调，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是．12．（5分）若关于x的不等式9x﹣logax≤2在上恒成立，则a的取值范围为．13．（5分）已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．14．（5分）已知方程|ln|x﹣2||＝m（x﹣2）2，有且仅有四个解x1，x2，x3，x4，则m（x1+x2+x3+x4）＝．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）（1）已知集合A＝{y|y＝x2﹣，x∈[]}，B＝{x|x+m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．（2）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．17．（14分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在[，2π]上的值域．18．（16分）某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形EAF，中心角∠EAF＝θ（）．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？19．（16分）已知函数f（x）＝axex﹣ax2﹣ax（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为g（a），若不等式g（a）≥ta﹣ln（﹣a）有解，求实数t的取值范围．20．（16分）设函数．（1）当时，求函数f（x）的最大值；（2）令，（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．

2018-2019学年江苏省南通市启东中学高二（下）5月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．（5分）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求实数m的值3．【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后验证集合A是否成立，即可得到m的值．【解答】解：因A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A所以m＝2或m2﹣3m+2＝2即m＝2或m＝0或m＝3当m＝2时，A＝{0，2，0}与元素的互异性相矛盾，舍去；当m＝0时，A＝{0，0，2}与元素的互异性相矛盾，舍去；当m＝3时，A＝{0，3，2}满足题意∴m＝3．故答案是：3．【点评】本题考查集合中元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）设全集U＝R，若A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|y＝log2（1﹣x）}，则A∩（∁UB）＝{1，2}【分析】可解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：B＝{x|x＜1}；∴∁UB＝{x|x≥1}；∴A∩（∁UB）＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．3．（5分）若函数f（x）满足f'（x0）＝﹣3，则当h趋向于0时，趋向于﹣12．【分析】本题可根据导数的定义将极限进行转化成f'（x0）的极限形式即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：＝4•＝4•f'（x0）＝4×（﹣3）﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查导数的定义及极限的相关运算，本题属基础题．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1．则￢p为∃x0＞0，使得．【分析】命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1”是全称命题，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0＞0，使得．【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5．（5分）已知命题：p：（x﹣3）（x+1）＞0，命题q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0），若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是（0，2]．【分析】先求出命题p和命题q的取值范围，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⊊B，由此列出方程组可求出实数m的范围．【解答】解：由命题p得x＜﹣1或x＞3，由命题q得x＜﹣m+1或x＞m+1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⊊B，∴，解得m≤2，又m＞0，∴0＜m≤2．当m＝2，命题p和命题q一样，∴m不能等于m≠2．故答案为：（0，2）．【点评】本题考查充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，解题的关键是借助集合问题进行求解．6．（5分）给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确的命题是③．（填序号）【分析】利用象限角，弧度角，终边相等的角，由复合命题的真假判断命题的真假判断与应用对每项判断即可，【解答】解：①第二象限角大于第一象限角；因为象限角有正有负角，①错误．②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；也有可能三角形角是直角不属于任何象限，②错误．③由弧度角的定义可知，无论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；③正确．④若sinα＝sinβ，α与β的终边相同；如：α＝600；β＝1200时，④错误．⑤若cosθ＜0，则+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则θ是第二或第三象限或x轴负半轴上的角．⑤不正确．故答案为：③【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，象限角，弧度角，终边相等的角，是中档题．7．（5分）已知cos（+α）＝，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）＝﹣．【分析】由已知，且，可求，而＝，从而可求【解答】解：∵∴∵∴∵，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了综合应用同角平方关系，诱导公式求解三角函数值，主要考查了公式的应用，难度不大，到要求熟练掌握公式并能灵活应用．8．（5分）已知过点A（1，m）恰能作曲线f（x）＝x3﹣3x的两条切线，则m的值是﹣3或﹣2．【分析】设切点为（a，a3﹣3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k＝f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有两个不同的解，利用参变量分离可得2a3﹣3a2＝﹣3﹣m，令g（x）＝2x3﹣3x2，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y＝g（x）与y＝﹣3﹣m有两个不同的交点，即可得到m的值．【解答】解：设切点为（a，a3﹣3a），∵f（x）＝x3﹣3x，∴f′（x）＝3x2﹣3，∴切线的斜率k＝f′（a）＝3a2﹣3，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）＝（3a2﹣3）（x﹣a），∵切线过点A（1，m），∴m﹣（a3﹣3a）＝（3a2﹣3）（1﹣a），即2a3﹣3a2＝﹣3﹣m，∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y＝f（x）的两条切线，∴关于a的方程2a3﹣3a2＝﹣3﹣m有两个不同的根，令g（x）＝2x3﹣3x2，∴g′（x）＝6x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝1，当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝0时，g（x）取得极大值g（0）＝0，当x＝1时，g（x）取得极小值g（1）＝﹣1，关于a的方程2a3﹣3a2＝﹣3﹣m有两个不同的根，等价于y＝g（x）与y＝﹣3﹣m的图象有两个不同的交点，∴﹣3﹣m＝﹣1或﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣3或﹣2，∴实数m的值是﹣3或﹣2，故答案为：﹣3或﹣2．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，利用导数研究函数的单调性、极值，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝﹣2．【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝f（x），结合函数的解析式可得f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1+2）＝＝﹣3，结合函数为偶函数可得f（﹣2017）＝f（2017）＝f（1+2016）＝f（1）＝1，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）满足对于x≥0，都有，则有f（x+4）＝＝f（x），即有f（x+4）＝f（x），则f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1+2）＝＝﹣3，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2017）＝f（2017）＝f（1+2016）＝f（1）＝1，f（﹣2017）+f（2019）＝1+（﹣3）＝﹣2；故答案为：﹣2【点评】本题考查函数的奇偶性以及周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．10．（5分）已知函数在（1，3）内不单调，则实数a的取值范围是a＞1或a．【分析】函数f（x）在（1，3）内不单调⇔函数f（x）在（1，3）内存在极值⇔f′（x）＝0在（1，3）内有解，即ax2﹣2ax+1＝0在（1，3）内有解．即可得出a的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝ax2﹣2ax+lnx，x∈（1，3）当a＝0时，f（x）＝lnx在（1，3）上单调递增，不符合题意，当a≠0时，∴f′（x）＝ax﹣2a+＝，∵f（x）＝ax2﹣2ax+lnx在（1，3）上不单调，∴f′（x）＝0在（1，3）上有解，设g（x）＝ax2﹣2ax+1，其对称轴为x＝1，∴g（1）g（3）＜0，∴（﹣a+1）（3a+1）＜0，解得a＞1或a＜﹣，故答案为：a＞1或a＜﹣．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是（，2）．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，即f′（x）＝ex﹣cosx＞0，即f（x）为增函数，则f（log2a）＜f（1），等价为f（|log2a|）＜f（1），即|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1，得＜a＜2，即实数a的取值范围是（，2），故答案为：（，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．12．（5分）若关于x的不等式9x﹣logax≤2在上恒成立，则a的取值范围为[，1）．【分析】按照①a＞1；②0＜a＜1讨论不等式左边函数的单调性，求出其最大值，再代入不等式可解得．【解答】解：当a＞1时，y＝﹣logax为（0，]上的递减函数，当x→0时，y→+∞，9x→1，∴9x﹣logax→+∞，不符合题意；当0＜a＜1时，y＝9x﹣logax为（0，]上的递增函数，∴x＝时，y取得最大值9﹣loga，∴关于x的不等式9x﹣logax≤2在上恒成立⇔9﹣loga≤2，解得≤a＜1．故答案为[，1）【点评】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．13．（5分）已知函数，函数g（x）＝f（x）﹣kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是．【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣kx+1＝0得kx＝f（x）+1，当x＝0时，0＝f（0）+1＝0+1不成立，即x≠0，则k＝，若g（x）有四个零点，则等价为k＝有四个不同的根，设h（x）＝，则当x＞0时，h（x）＝＝lnx+﹣2，h′（x）＝﹣＝，则当x＞1时，h′（x）＞0，函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数为减函数，即此时当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为h（1）＝﹣1，当x→+∞，f（x）→+∞，当x≤0时，h（x）＝＝x++，h′（x）＝1﹣＝，由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜﹣1，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得﹣1＜x＜0，此时h（x）为减函数，即当x＝﹣1时，h（x）取得极大值，极大值为h（﹣1）＝﹣1﹣1+＝﹣，作出函数h（x）的图象如图：要使k＝有四个根，则满足﹣1＜k＜，即实数k的取值范围是（﹣1，），故答案为：（﹣1，）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）已知方程|ln|x﹣2||＝m（x﹣2）2，有且仅有四个解x1，x2，x3，x4，则m（x1+x2+x3+x4）＝．【分析】作出两侧函数的图象，根据对称性可知x1+x2+x3+x4＝8，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m即可计算答案．【解答】解：令f（x）＝|ln|x﹣2||，g（x）＝m（x﹣2）2，则f（x）与g（x）的图象均关于直线x＝2对称，∴x1+x2+x3+x4＝8，作出f（x）与g（x）的函数图象如图所示：∵方程|ln|x﹣2||＝m（x﹣2）2有且仅有四个解，∴y＝m（x﹣2）2与y＝ln（x﹣2）相切，设切点为（x0，y0），则，解得x0＝+2，m＝．∴m（x1+x2+x3+x4）＝．故答案为：．【点评】本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）（1）已知集合A＝{y|y＝x2﹣，x∈[]}，B＝{x|x+m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．（2）已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据充要条件定义判断即可；（2）由已知分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）化简集合A，由y＝x2﹣x+1，配方得：y＝（x﹣）2+．∵，x∈[]，∴ymin＝，ymax＝2．∴y∈[，2]．∴A＝{y|≤y≤2}，化简集合B，由x+m2≥1，得x≥1﹣m2，B＝{x|x≥1﹣m2}．∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B．∴1﹣m2≤，解得m≥，或m≤﹣．∴实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）解析：若p∨q为假命题，依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2+1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有△＝m2﹣4≥0，m≤﹣2或m≥2．因此由p，q均为假命题得即m≥2．故答案为：（1）（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（2）m≥2．【点评】本题主要考查充要条件，复合命题之间的关系，判定命题p，q的真假是解决本题的关键，中档题．16．（14分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，∴小亮获得玩具的概率为；（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为1﹣﹣＝，∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．17．（14分）已知函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）在[，2π]上的值域．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，k∈Z，解得函数f（x）图象的对称轴方程．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）＝2sin（+），由x∈[，2π]，利用正弦函数的性质可求值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）+2sinxcosx＝sin2x+cos2x+cos2x﹣sin2x+sin2x＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），∴令2x+＝kπ+，k∈Z，解得函数f（x）图象的对称轴方程：x＝+，k∈Z，（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，可得函数解析式为：y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+），再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数解析式为：y＝g（x）＝2sin（+），∵x∈[，2π]，∴+∈[，]，可得：sin（+）∈[﹣，1]，∴g（x）＝2sin（+）∈[﹣1，2]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（16分）某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形EAF，中心角∠EAF＝θ（）．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ为多少时，年总收入最大？【分析】（1）由已知可得△ADF≌△ABE．∠DAF＝∠BAE＝．观赏区的面积为：SII＝DF•AD，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求SII≥＝，，即可得出．（2）种植区的面积为SI＝•θ＝，正方形的面积为S＝AD2＝cos2∠DAF＝．该年总收入为W（θ）万元，W（θ）＝10SI+20（S﹣SI）＝5θ+20＝10+10sinθ﹣5θ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（1）∵AF＝AE＝1，AD＝AB，∠D＝∠B＝，∴△ADF≌△ABE．∴∠DAF＝∠BAE＝．观赏区的面积为：SII＝DF•AD＝sin∠DAF•cos∠DAF＝＝＝cosθ，要使观赏区的年收入不低于5万元，则要求SII≥＝，即cosθ，又，可得：＜θ≤，即θ的最大值为．（2）种植区的面积为SI＝•θ＝，正方形的面积为S＝AD2＝cos2∠DAF＝＝．该年总收入为W（θ）万元，则W（θ）＝10SI+20（S﹣SI）＝5θ+20＝10+10sinθ﹣5θ．其中，，W′（θ）＝10cosθ﹣5．当时，W′（θ）＞0，W（θ）递增；当时，W′（θ）＜0，W（θ）递减．∴θ＝时，W（θ）取得最大值，此时年总收入最大．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角形面积、倍角公式、三角形全等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）＝axex﹣ax2﹣ax（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为g（a），若不等式g（a）≥ta﹣ln（﹣a）有解，求实数t的取值范围．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）利用函数的单调性和最值之间的关系，先求出f（x）的最小值g（a），利用参数分离法进行求解．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝a[（x+1）ex﹣（x+1）]＝a（x+1）（ex﹣1），①当a＞0时，由f′（x）＞0得（x+1）（ex﹣1）＞0，得或，即或，即x＞0或x＜﹣1，由f′（x）＜0得（x+1）（ex﹣1）＜0，得或，即或，即﹣1＜x＜0，即此时函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），单调递减区间为（﹣1，0），②当a＜0时，由f′（x）＞0得（x+1）（ex﹣1）＜0，由①知﹣1＜x＜0，由f′（x）＜0得（x+1）（ex﹣1）＞0，由①知x＞0或x＜﹣1，即此时函数的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），综上a＞0时，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），单调递减区间为（﹣1，0），a＜0时，函数的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）．（2）由（1）知，当a＜0时，函数的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），∴函数f（x）在（﹣∞，0）上的最小值为g（a）＝f（﹣1）＝﹣ae﹣1﹣a+a＝（﹣）a，∴不等式g（a）≥ta﹣ln（﹣a）有解等价为（﹣）a≥ta﹣ln（