高联一试核心课1数列自修讲义

高中数学自修讲义-2等差数Updateon2017年7等差数列的定如果⼀个数列从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的差等于同⼀个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常⽤字母d表⽰."从第2项起"是指第1项前⾯没有项,⽆法与后续条件中"与前⼀项的差"相吻合"每⼀项与它的前⼀项的差"这⼀运算要求是指"相邻且后项减去前项",强调了定义中的同⼀个常数是指全部的后项减去前⼀项都等于同⼀个常数否则这个等差中如果a,Ab成等差数列那么A叫做ab的等差中项.事实上若a,Ab成等差数列A=abAab的等差中项若A=ab即Aab−AaAb 等差数列a,Ab成等差数列⇔Aab−A⇔A=ab2如果an−an−1=an+1−an(n≥2),则数列{an}为等差数列,反之亦然,所以2an=an−1an+1(n≥2)⇔数列{an}为等差数列.这种判断⼀个数列是否为等差数列的⽅在等差数列中,除⾸末两项外,任何⼀项都是前后两项的等差中项等差数列的通项通项已知等差数列{an}的⾸项为a1,公差为d,递推:an−an−1=d(n≥通项:an=a1+(n−中项:an−an−1=an+1−an(n≥通项的应等差数列的通项中有4个变量an,a1,n,d,在这4个变量中可以“知三求⼀”.其可以由⾸项和公差求出等差数列中的任⼀项已知等差数列的任意两项 就可以求出⾸项和公差 从⽽可求等差数列中的任⼀项由等差数列的通项可求出数列中的任意⼀项,也可判断某数是否为数列中的等差数列的性两项关系anam(nm)dmn多项关系mnpq(mnpqN∗amanap若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列{canc为任⼀常数d{canc为任⼀常数cd{anan+k}(k为常数,kN∗）是公差为2d{anbn分别是公差为d1d2的等差数列{panqbn}(p,q是常数是公差为pd1+qd2的等差数列.等差数列的前n项和等差数列的前n项和已知⾸项,已知⾸项,

Sn

n(a1+an)n(n−Sn=na1 等差数列的前n项和的理等差数列的前n项和有两种形式,涉及a1,an,Sn,n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答⽅法就是解⽅程组.n(a1+当已知⾸项a1和末项an及项数n时,⽤Sn时常结合等差数列的性质

来求,⽤当已知⾸项a1和公差d及项数n时, Sn=na1

n(n−2

d来求和等差数列的前n项和的性等差数列的前n项和的性SnS2nSnS3nS2n···成等差数列S奇表⽰奇数项的和S偶表⽰偶数项的和公差为d当项数为偶数2n时, −

=nd,S奇 S 当项数为奇数2n−1时, − =a,S奇 nS n−等差数列的前n项和的性质的理n项和是所有奇数项与所有偶数项的和我们可以根据等差数列的性质,得出结论.关于奇数项与偶数项的和的问题,要根据项数来分析 当项数为奇数或偶数时S奇与S偶的关系是不相同的已知数列{an}为等差数列,其前三项分别为a,2a−1,3−a,则其通项是？先确定数列的⾸a1与公d然后代ana1(n1)d即可.a2a1,3a是等差数列的前三项又a2a1a3a2d(2a1)a(3a(2a1解得a= ∴d=(2a−1)−a=4 ∴an=a1+(n−1)d=4+4(n−1)=4n+∴通 为an=1n+4技巧点拨{an中，⾸a1d是两个最基本的元素有关等差数列的问题如果条件与结论间的联系不明显则均可化成有关a1,的关系列⽅程组求解,但是,要注意的变形及整体计算,以减少计算量{an满

=4,

=4

,(n>1),记bn an−求证{bn是等差数列.先an表bn+1bnbn+1bn为常数.证明— —∵bn+1−bn= an+1− an− (4 )− an−ann n

an− =

—2)−

—

— 又b1 =a1− {bn是⾸

的等差数列 技巧判断⼀个数列是否为等差数列有以下⽅定义法：anan−1d(常数)(n2n等差中项法：2anan−1an+1(n2n{an中a2a6a109则a4a8分析题⽬,可联想等差数列的性质,也可联想等差数列的通项解法⼀根据等差数列的性质a2a10=a4a8=由a2a6a10=93a6=9a6=∴a4+a8=2a6=解法⼆根据等差数列的通项,a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+由题意得3a115d9a15d∴a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d=2(a1+5d)=技巧点拨解法⼀运⽤了等差数列{an的性质：若mn=pq=2w则aman=apaq2aw(mnpqw都是正整数 两种⽅法都运⽤了整体代换与⽅程的思想已知等差数列{an}a1=1S4202a1=5an3Sn5nd 思路 4(4−S4=4a1 d=4a1+6d=2+6d=∴d=故S=

6(6− d= 1+15d=( 由题意

=n(a1+an)=

6−

5na15

5+(15−1)d=−5 1∴d=−6技巧点拨a1dn称为等差数列的三个基本量anSn都可以⽤三个基本量来表⽰五个a1,d,n,an,Sn可知三求⼆,利⽤⽅程（组）的思想,在具体求解过程中要注意与等差数列的性质联系,利⽤整体思想解题,可简化运算.⼀10100,10010110项之和.解答本题可利⽤前n项和求出a1和d,即可求出S110,或利⽤等差数列前n项答案解法⼀

n(n−2设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1 d2由已知00100a1解

d= =

d=−+110×109d=110×1099+110×109

–

= 故此数列的前110项之解法⼆数列S10,S20S10,S30S20,···,S100S90,S110S100成等差数列设其公差为D前1010×10S10

D=S10010D2∴S110−S100=S10+(11−1)D=∴S110=−120+S100=故此数列的前110项之和为解法⼀是利⽤⽅程的思想⽅法确定出系数 从⽽求出解法⼆是利⽤等差数列的“⽚段和”性质 构造出新数列 从⽽使问题得到解决已知两个等差数列{abnSTSn=7n1n 则a11

4n+思