大学概率考试题

2.设4B,C为三个事件，试用4B,C的运算关系式表示下列事件:

(1)4发生，B,C都不发生；

(2)4与8发生，C不发生；

(3)A,B,C都发生；

(4)A,B,C至少有一个发生；

(5)A,B,C都不发生：

(6)A,B,C不都发生；

(7)A,B,C至多有2个发生；

(8)A,B,C至少有2个发生.

【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC

(4)AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC

(5)ABC=AUBUC(6)ABC

(7)ABC(JABCUABCUABABCU/8CUABC=ABC=AU5UC

(8)ABUBCUCA=ABCDABCUABCUABC

5.设4,8是两事件，且P(A)=0.6,P(8)=0.7,求：

(1)在什么条件下PCAB)取到最大值？

(2)在什么条件下P(AB)取到最小值？

【解】(1)当AB=A时，P(AB)取到最大值为0.6.

(2)当时，PCAB)取到最小值为0.3.

6.设B,C为三事件，且尸(4)=尸(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,

P(AC)=1/12,求/,B,C至少有一事件发生的概率.

【解】P(JU5UC)=P(A)+P(B)+P(Q-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

11113

--------J-----}----—------------

443124

7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？

【解】p=c；3c3c

8.对一个5人学习小组考虑生日问题：

(1)求5个人的生日都在星期日的概率；(2)求5个人的生日都不在星期日的概率;

(3)求5个人的生日不都在星期日的概率.

【解】⑴设小={5个人的生日都在星期口},基本事件总数为75,有利事件仅1个，故

P(小)=4=(-)5(亦可用独立性求解，下同)

757

(2)设42={5个人生日都不在星期日},有利事件数为6:故

P(色)=!■中

(3)设为={5个人的生日不都在星期日}

、15

P(小)=l-P(/)=l-(,)5

9.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中〃件正品.从中随机地取出n件(〃<N).试求其中恰有m件(机

WM)正品(记为4)的概率.如果：

(1)"件是同时取出的；

(2)〃件是无放回逐件取出的；

(3)〃件是有放回逐件取出的.

【解】⑴P(4)—//

(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P：种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为C：种.对于固定的•种正品与次品的抽取次序，从M件正

品中取机件的排列数有P；种，从件次品中取n-m件的排列数为Pt%种,

故

^niryniryn-rn

p(力)_

一^PF

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

p(J)-5—7

/

可以看出，用第二种方法简便得多.

(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M'种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为C：种，对于固定的一种正、次品的抽取次序,

加次取得正品，都有M种取法，共有AT"种取法，〃-加次取得次品，每次都有

N-M种取法，共有(N-M)"F种取法，故

P(A)=C"；Mm(N-MS'-"'/N"

此题也可用贝努里概型，共做了〃重贝努里试验，每次取得正品的概率为一，则取得

N

机件正品的概率为

inn-tn

M

P(Z)=C：V

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个,

计算至少有两个是白球的概率.

【解】设4=｛恰有，个白球｝(，=2,3),显然刈与小互斥.

P(4)=Q5^=曳，尸(4)=乌=色

七C：353C；35

故p(4U4)=尸(4)+尸(4)=行

14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求：

(1)两粒都发芽的概率：

(2)至少有一粒发芽的概率；

(3)恰有一粒发芽的概率.

【解】设4=｛第i批种子中的一粒发芽｝，(/=1,2)

(1)P(44)=P(4)P⑷=07X0.8=0.56

(2)P(4U4)=0.7+0.8—0.7x0.8=0.94

(3)尸(4/2[_JA[A2)=0.8x0.3+0.2x0.7=0.38

18.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：

(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.

【解】设4=｛下雨｝,8=｛下雪｝.

(1)p(B\A)=P(<AB>>=—=0.2

1P(J)0.5

(2)U8)=尸(N)+P(8)—P(AB)=0.3+0.5—0.1=0.7

20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).

【解】设/=｛此人是男人｝,8=｛此人是色盲｝,则由贝叶斯公式

P(A|5)_,尸⑷尸(即)

1P(B)P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)

0.5x0.0520

-0.5x0.05+0.5x0.0025-2?

25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设/=｛被调查学生是努力学习的｝,则力=｛被调查学生是不努力学习的｝•由题意知P

(A)=0.8,PCA)=0.2,又设8=｛被调查学生考试及格｝.由题意知尸(B\A)=0.9,P

(万|力)=0.9,故由贝叶斯公式知

P(AB)P(A)P{B\A)

(1)P(A\B)=

P(B)P(⑷P(皿)+P(A)P(B|j)

0.2x0.1

=—=0.02702

0.8x0.9+0.2x0.137

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

P(俪=生型=”碎)―

⑵1P国P(N)P(百⑷+P(7)P(同才

0.8x014

=—=0.3077

0.8x0.1+02x0.913

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26.将两信息分别编码为4和8传递出来，接收站收到时，4被误收作8的概率为0.02,而

B被误收作力的概率为0.01.信息/与B传递的频繁程度为2：1.若接收站收到的信息是

A,试问原发信息是Z的概率是多少？

【解】设/=｛原发信息是4｝,则=｛原发信息是8｝

C=｛收到信息是4｝,则=｛收到信息是8｝

由贝叶斯公式，得

P（Z）PCH）

P(/|C)=

p（z）p（cM）+p（才尸（c]7）

2/3x0.98

=0.99492

2/3x0.98+1/3x0.01

28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确

是合格品的概率.

【解】设/=｛产品确为合格品｝,8=｛产品被认为是合格品｝

由贝叶斯公式得

P(AB)P(A)P(B\A)

P(4|8)

P(B)P(〃)P(即)+P(⑷P(8|N)

0.96x0.98

=0.998

0.96x0.98+0.04x0.05

29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30：如果“谨慎的”被保险人

占20%,•般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故，

则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】设/=｛该客户是“谨慎的"18=｛该客户是“一般的”｝,

C=｛该客户是“冒失的"卜｛该客户在一年内出了事故｝

则山贝叶斯公式得

P(4D)P(Z)P(0N)

P(A\D)

P(D)P{A}P(D\A)+P(B)P(D\B)+P(C)P(D\C)

0.2x0.05

0.057

0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x0.3

30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为

0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设4=｛第i道工序出次品｝（=1,2,3,4）.

尸（U4）=I-P（4444）

/=1

=1-尸（!"（4）尸④尸（㈤

=l-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124

31.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行〃次独立射击.

1一（0.8）"N0.9

即为（0.8）“40.1

故11

至少必须进行11次独立射击.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为,，求将此密码破译出

534

的概率.

【解】设4=｛第i人能破译｝01,2,3）,则

p（j4）=1-尸（彳3彳）=1-P，）P（4）P（7）

/=!

423

=1一一x—x—=0.6

534

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是040.5,0.7,若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人

都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设/=｛飞机被击落｝,8,=｛恰有i人击中飞机｝,i=0,l,2,3

由全概率公式，得

3

P（A）=£P（A\B,）P（BJ

i=Q

=（0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7）0.2+

（0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7）0.6+0.4X0.5X0.7

=0.458

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.

【解】

X=3,4,5

1

c3

5

3»

--

c3

5

c2

4

--

c3

5

故所求分布律为

X345

p0.10.30.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,

以X表示取出的次品个数，求：

(1)X的分布律；

(2)X的分布函数并作图；

(3)

133

P[X<-},P{\<X<-},P{\<X<-},P{\<X<2}.

【解】

X=0,l,2.

3

P(X=O)=WC=422

C：535

C；c212

p(x=l)=^^=—

C：535

C11

p(X=2)=二」.

O135

故X的分布律为

X012

P22121

353535

(2)当x〈0时，F(x)=P(XWx)=0

22

当OWxvl时，F(x)=P(XWx)=P(X=O)=—

34

当lWx<2时，F(x)=P(XWx)=P(y=O)+P(A^l)=—

当x22时，F(x)=P(XWx)=1

故X的分布函数

0,x<0

22

0<x<l

35

E(x)=

34

1<x<2

35

1,x>2

⑶

P(*)=吗)=11,

333434

P(l<jr<)=F(-)-F(l)=—=0

?///rJJJJ

3312

P(14X<5)=尸(X=l)+尸(i<x<5)=看

341

P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(X=2)=1----=0.

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的

分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X表示击中目标的次数.则AM),1,2,3.

P(X=0)=(0.2)3=0.008

P(X=1)=Cj0.8(0.2)2=0.096

P(X=2)=C；(0.8『0.2=0.384

p(X=3)=(0.8)3=0.512

故X的分布律为

X0123

P0.0080.0960.3840.512

分布函数

0,x<0

0.008,0<x<l

尸(X)=■0.104,l<x<2

0.488,2<x<3

,1,x>3

P(X22)=P(X=2)+尸(X=3)=0.896

4.(2)设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,^=1,2,…，N,

试确定常数G

【解】(1)由分布律的性质知

产_Jk

1=£p(X=左)=af亳=ae，

k=0k=0%♦

故a=e-2

(2)由分布律的性质知

•vN

1=£p(x=k)工大n=a

4=14=1N

即4=1.

7.有繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为

0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少(利

用泊松定理)？

【解】设X表示出事故的次数，则长方(1000,0.0001)

P(X22)=1—P(X=0)—P(X=1)

=l-e-ol-O.lxe-01

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足尸{六1}=P{六2},求概率P{六4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p,则

C5(l-4=C72(l_p)3

故P~~

3

所以p(^=4)=C^(-)4-=—.

533243

9.设事件”在每一次试验中发生的概率为0.3,当“发生不少于3次时，指示灯发出信号，

(1)进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

(2)进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】(1)设X表示5次独立试验中/发生的次数，则长6(5,0.3)

5

P(X23)=XC“0.3»(0.7)=0.16308

k=3

(2)令y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y-h(7,0.3)

7

P(YN3)=XC(0.3)A(0.7产=0.35293

k=3

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)/的泊松分

布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).

(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

_35

【解】(1)P(X=0)=e”(2)P(X21)=l—P(X=0)=l—e"

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则於6(2000,0.001).利用泊松近似计算，

A-np-2000x0.001=2

得P(X=5)aw=0.0018

31

13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次

44

数，试写出X的分布律.

【解】X=l,2,…，左，…

P(X=k)=(N"]

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从

保险公司领取2000元赔偿金.求：

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

(1)在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则长仇2500,0.002),则所求概率为

P(2000X>30000)=P(^>15)=1-P(X<14)

由于〃很大，p很小，儿=%?=5,故用泊松近似，有

14介-55k

P(X>15)«l-£--«0.000069

*=ok!

(2)P(保险公司获利不少于10000)

=P(30000-2000X>10000)=P(X<10)

10,e-5

0.986305

七k!

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P(保险公司获利不少于20000)=0(30000-2000X220000)=P(X45)

5e-5*

z«0.615961

A=Ok\

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

於尸/eT",_8<J<+8,

求：(1)/值；(2)巴0<X〈l};(3)F(x).

【解】⑴由/(x)dx=l得

x

1=JJe~'dr=2[Ae-dx-2A

4.

故

2

〃(0<工<1)=；卜山=；(1-e-)

(2)

CX11A

⑶当x〈0时，F(x)=[]e'dx=]e

当x)0时，F(x)=£le-wdx

Xdx+(*山

,i1-x

—1---c

2

1

—ex<0

2

故F(x)=<

x>0

2

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100

x>100,

府)="X2'

0,x<100.

求：⑴在开始150小时内没有电子管损坏的概率;

(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

(3)F(%).

【解】

H501001

(1)

8

p=[P(X>150)]3

27

⑵…;净.

(3)当x<100时尸(x)=0

当xeioo时尸(x)=£

00

/(/)d/+£o/(/)d/

.100

1-----

X

1-吗900

故/(X)="X

0,x<0

18.设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布.现对X进行3次独立观测，求至少有2次的观测

值大于3的概率.

【解】X~U\2,5］,即

J

2<x<5

/(x)=<3'

0,其他

»12

P(X>3)=Rdx=5

故所求概率为

…包+C冷哼

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布£，).某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求

【解】依题意知万~/《)，即其密度函数为

1-三

々、-e5,x>0

/(x)='5

0,x<0

该顾客未等到服务而离开的概率为

*1X

P(X>10)=£-e-?dr=e-2

丫〜/5,ef),即其分布律为

p(y=4)=C(e-2)*(1-e-2尸，左=0,1,2,3,4,5,

57)21.设X〜N(3,Z?),

P(r>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.5167

(1)求尸{2*5},P{-4*10},P{\X\>2},P{X>3};

(2)确定c使P{X>c}=尸{X〈c}.

2-3X-35-3

【解】⑴P(2<X<5)=P------<--------<-------

222

出

=0.8413—1+0.6915=0.5328

-4-3X-310-3

P(—4<XW10)=P-------<-------<-------

222

0.9996

I2)

P(|X|>2)=P(X>2)+P(X<-2)

5(5

5

0.6915+1-0.9938=0.6977

P(X>3)=P(1—3(0)=0.5

(2)c=3

24.设随机变量X分布函数为

A+Be'Xx

F(x)=〈

0,

(1)求常数4B；

(2)求P{XW2},P{X>3}；

(3)求分布密度/(x).

lim尸(x)=1N=1

【解】(1)由XT+co

limF(x)=limF(x)B=-\

(2)P(X42)=22)=l-eR

P(X>3)=1-F(3)=l-(1-e句)="

加予x>0

⑶/(x)=F(x)=

0,x<0

25.设随机变量X的概率密度为

x,0<x<1,

/(x)=<2—x,1<x<2,

0,其他.

求X的分布函数F(X),并画出/(x)及F(x).

【解】当x<0时尸(x)=0

当0«1时E(x)=£/(z)dz=£/(r)d/+p(z)d/

2

当lWx<2时尸(x)=//«)d/

=[/(。山=1/(/)山+[7(。山

=f/d/+j'(2-z)d/

1x23

=--F2nx----------

222

x2

=-------i-2x-l

2

当x》2时/(x)=[j(/)d/=l

0,x<0

X2

0<x<l

2'

故

尸(x)=2

--+2x-l,1<x<2

2

1，x>2

28.设随机变量X的分布律为

X-2-1013

Pk1/51/61/51/1511/30

求『=*的分布律.

【解】丫可取的值为0，1,4,9

P(Y=0)=P(X=0)=|

117

p(y=l)=p(X=—l)+P(X=l)=—+—=—

61530

P(Y=4)=P(X=-2)=|

尸(Y=9)=P(X=3)得

故y的分布律为

Y0149

Pk1/57/301/511/30

30.设aN(0,1).

(1)求丫=^的概率密度;

【解】⑴当yWO时，B(y)=P(yjy)=0

当y>0时，Fy(y)=P(YWN)=尸(e'<N)=尸(X<Iny)

=Ldny△(x)&

2y，

故fM=当父=-fx(\ny)=--^^\y>0

ayyy，2兀

31.设随机变量片U(0,1),试求：

(1)y=e'的分布函数及密度函数；

(2)Z=-2I■的分布函数及密度函数.

【解】(1)P(0<X<1)=1

故P(1<r=ex<e)=1

当丁41时6(y)=P(y«_y)=0

当l〈y<e时片(_y)=P(e*<y)=P(X<Inj^)

=rdx=Iny

当yee时FY(y)=P(e'<y)=l

即分布函数

o,E

FY(y)=<\ny,l<y<e

1,y>e

故y的密度函数为

1

l<y<e

43)=，y，

o,其他

(2)由P(0<X=l)=l知

P(Z>0)=1

当zWO时，弓(z)=尸(ZWz)=O

当z>0时,约⑶=2亿<z)=P(—2InX。z)

=P(lnX<-|)=尸(X>尸/2)

=[=dx=l-ef2

即分布函数

0,z<0

B(z)=

l-e-2/2,z>0

故Z的密度函数为

z>0

")=2

0,z<0

i.将一硬币抛掷三次，以x表示在三次中出现正面的次数，以y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出x和丫的联合分布律.

【解】x和丫的联合分布律如表：

X0123

10小111_3C；-x-Lxl=3/80

322283222

3l_001111

—X—X—=—

82228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只

数，以y表示取到红球的只数.求X和y的联合分布律.

【解】x和丫的联合分布律如表：

X0123

000

C；c(_3c；C；=2

-35C；35

10

C；C；C；6C；C；C112CC；_2

C；-35C；35C；=石

2P（0黑,2红,2白尸0

C；C；C；_6C；C；_3

C；—35C"-35

4.设随机变量（X,丫）的分布密度

Ae-(3x+4y\x>0,y>0,

0,其他.

求：(1)常数小

(3)P{OS¥<1<0<y<2}.

【解】⑴由「「/(xj)dx®=『『=l

得A=12

(3)P{0<X<l,0<Y<2}

=P{0<X<l,0<7<2}

.设随机变量（）的概率

f12e-(3jt+4v)dxd^=(l-e-3)(l-e-x)«0.9499.5x,r

密度为

，,、^(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

J(x,y)=5

[0,其他

(1)确定常数k：

(2)求尸{X<1,r<3}；

(3)求尸{督1.5}；

(4)求P{必•¥“}.

【解】(1)由性质有

£j/(x,y)dxdy=j；[上(6—x—y)dydx=8k=1,

故R=-

8

(2)P[X<1,K<3}=j'£f(x,y)dydx

="I(6-i)dydx=|

(3)P[X<1.5}=J]/(x,y)dx4y如图aJJ/(x,y)drdy

x<\.5D(

二『改以677)®].

(