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高等数学九章讲义2第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结思考题3（1）邻域一、多元函数的概念45（2）区域例如，即为开集．6例如，即为闭集．78连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，9有界闭区域；无界开区域．例如，10（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；例(0,0)既是边界点也是聚点．11点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．12（4）n维空间n维空间的记号为说明：n维空间中两点间距离公式13n维空间中邻域、区域等概念

特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为14（5）二元函数的定义15类似地可定义三元及三元以上函数．16例1

求的定义域．解所求定义域为17（6）二元函数的图形（如下页图）18二元函数的图形通常是一张曲面.19例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:20二、多元函数的极限21说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．22例2

求证证当时，原结论成立．23例3

求极限解其中24例4

证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．25不存在.观察播放26确定极限不存在的方法：27利用点函数的形式有28三、多元函数的连续性定义329例5

讨论函数在(0,0)处的连续性．解取30故函数在(0,0)处连续.当时31例6

讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．32闭区域上连续函数的性质

在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值．

在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。（1）最大值和最小值定理（2）介值定理33（3）一致连续性定理

在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．34多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．35例７解36多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义37思考题38思考题解答不能.例取但是不存在.原因为若取39练习题404142练习题答案43作业44不存在.观察45观察不存在.46观察不存在

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