2022年高考数学一轮复习专题专题40双曲线基础巩固检测题（解析版）

专题40双曲线基础巩固检测题（解析版）

一、单选题

i.下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（）

2

A.x1-y2--4B.~~y2

2

C.匕_f=lD./-2=1

3

【答案】A

【分析】

求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项.

【详解】

22

设双曲线的方程为：与—==1（。>00>0）,则其渐近线为y=±@x,

a'b-b

因为渐近线互相垂直，故fx=一1即。=心

故双曲线的方程为丁一%2=。2,

故选:A.

2.已知加是1和9的等比中项，则圆锥曲线/+二=1的离心率为（）

m

A.迈B.我或2C.友D.逅或38

33333

【答案】B

【分析】

由等比中项的性质可得〃?=±3,分别计算曲线的离心率.

【详解】

由加是1和9的等比中项，可得利=±3,

2

当加=3时，曲线方程为-+二=1,该曲线为焦点在y轴上的椭圆，离心率

3

当加=一3时，曲线方程为炉―二=1,该曲线为焦点在X轴上的双曲线，离心率

3

e—Jl+3=2,

故选：B.

22

3.已知双曲线C:十方=ip>0)的焦距为10,则双曲线C的渐近线方程为()

A.y=±—xB.y=±—xC.y=±—xD.y=?—x

16934

【答案】D

【分析】

根据2,16+力2=10,求出。2=9,即可求解.

【详解】

双曲线C的焦距为2川6+/=10,所以〃=9，

3

所以双曲线C的渐近线方程为y=?—x,

4

故选：D.

/।-_]

4.已知方程机2+2〃?+”2一|表示双曲线，则实数，〃的取值范围是()

2

A.(—co,—2)B.(—2,+8)

C.(-oo,-2)U((),+°°)D.(―<x),—2)VJ(—2,0)

【答案】D

【分析】

根据双曲线的标准方程的特点列式可解得结果.

【详解】

，2

一[厂_]

因为方程加2+2〃？m+2表示双曲线，

2

+2

所以。〃2+2m)•——<0,即/”(/〃+2)2<0,

所以/律<0且机工一2,

故选：D.

b4

5.焦距为10,且上=式的双曲线的标准方程为()

a3

2

22

y尸1

916916

22

C.二-工=1

9100

【答案】D

【分析】

根据双曲线的性质即可求解.

【详解】

b4

由题意知2c=10,c=5,又一=—,/=尻+屋,

。3

，。2=9,从=16,

2222

所求双曲线的标准方程为上一匕=1或匕一工=1.

916916

故选：D.

6.在双曲线中，£=李，且双曲线与椭圆4好+9产=36有公共焦点，则双曲线的方程

a2

是（）

22

A.——%2=1B.----y2=1

44

22

c.f_2L=iD.y2--=1

44

【答案】B

【分析】

根据椭圆方程求得，以及双曲线焦点所在坐标轴，根据£求得。，由此求得。，进而求

a

得双曲线的方程.

【详解】

22

椭网方程可化为土•+匕=1,V9-4=>/5,所以双曲线的c=q，II焦点在x轴上.

94

由于:=手，所以。=2,所以8=>/?二^=1，

2

所以双曲线的方程为三-丁点

故选：B

3

22

7.已知双曲线C：£—5=—1,",6分别是双曲线C的两个焦点.点P在双曲线C

上，且|P£|=7,则P闾等于()

A.11B.3或11C.13D.1或13

【答案】D

【分析】

根据双曲线的定义，得到归耳|尸/=6,由题中条件，即可求出结果.

【详解】

因为《，鸟分别是双曲线的两个焦点，点尸在双曲线。匕

所以伊耳卜忸/矶=2〃=6,

又归国=7,所以|7-|尸用|=6,解得忸勾=1或13.

故选：D.

2

8.已知双曲线。：/一二=1的虚轴长是实轴长的3倍，贝ij〃=()

n

A.-B.3C.9D.-

93

【答案】C

【分析】

求出。、b,根据b=3a可求得〃的值.

【详解】

由题意可知，双曲线C的焦点在无轴上，则。=1,b=\[n>

因为双曲线。的虚轴长是实轴长的3倍，则方=3。，即6=3,解得〃=9.

故选：C.

9.已知点尸为双曲线。|：]-丁=1的左焦点，点p为双曲线G与圆

C2：(x—2>+y2=3的一个交点，贝！!|尸产|=().

A.GB.2+73C.373D.6+73

【答案】C

【分析】

4

根据双曲线的定义可得|尸耳一归周=2a,计算可得；

【详解】

2

解：设尸2为双曲线G：5—y2=i的右焦点，

又圆6：。-2）2+卜2=3的半径为百，

如图连接尸"，则熙|=6根据双曲线的定义,可得归日—归周=24,即

|PF|-|P^|=2A/3,所以|PF|=3百

故选：C

m+1m-2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据方程是双曲线求出机的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

22

若方程/_+_2_=i表示双曲线，

m+1m-2

则（根+1）（加-2）＜0,得一1〈根＜2,

则一1vmv1能推出一1＜加＜2,—l＜m＜2不能推出一1v机v1,

5

"-1<m<1”是“方程上」+J—=1表示双曲线”的充分不必要条件，

m+1m-2

故选：A.

22

11.已知6、尸2分别是双曲线E：二一二=1（。>0,。>0）的左、右焦点，尸为E上

ab“

的一点.若是以P为直角顶点且有一个内角为30。的三角形，则E的离心率为

（）

A.73-1B.73+1C.73D.2

【答案】B

【分析】

不妨设NP片巴=30,由题得、反—c=2a,化简即得解.

【详解】

不妨设6=30,

在直角中，\FtF2\=2c,\PF21=c,|PF]\=6c，

由双曲线的定义得百c_c=2a,;.e=£=，一=g'+l.

aV3-1

故选：B

【点睛】

方法点睛：求离心率常用法方法有：（1）公式法（求出Q，。代入离心率的公式即得解）;

（2）方程法（分析得到离心率的方程，解方程即得解）.

2

12.过双曲线一一会=1的右支上一点P分别向圆G:（X+4）2+y2=4和

q：（x—4）2+y2=1作切线，切点分别为用、N,贝！）|「知|2-|/^『的最小值为

（）

A.10B.13C.16D.19

【答案】B

【分析】

2

求得两圆的圆心和半径，设双曲线看=1的左右焦点为耳（一4,0）,6（4,0）,连

接「耳，PF2,F.M,F2N,运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离

6

之和取得最小值，计算即可得到所求值.

【详解】

解：圆G：(x+4)2+V=4的圆心为(T,0),半径为4=2；

圆。2：(工一4)2+旷2=1的圆心为(4,0),半径为弓=1,

设双曲线f一(=1的左右焦点为£(一4,0),鸟(4,0),

连接尸片，PF2,FtM,F2N,可得

22

IPMF-|PN|2=(|PF^-/；)-(lPF21W)

222

=(\PFt\-2)-(\PF2\-l)

22

=1PFX|-|PE,|-3=(\PFl\-\PF21)(|P耳1+1"|)-3

=2"(|PGI+|PEI)-3=2(|P6l+|Pg|)-3..2x2c-3=2x8-3=13.当且仅当P为右

顶点时，取得等号，

即最小值13.

故选：B.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及

运算能力.

二、填空题

2

13.双曲线三-;/=i的焦点坐标是

3

【答案】(2,0),(—2,0)

【分析】

7

根据双曲线方程求。2,直接求焦点坐标.

【详解】

由条件可知“2=3,从=1，则条=/+户=4,

则c=2,并且焦点在x轴，

所以双曲线的焦点坐标是（2,0）,（-2,0）.

故答案为：（2,0）,（-2,0）

22

14.已知方程------上一=1表示双曲线，则实数比的取值范围为.

m+2m+1

【答案】〃2<-2或〃2>-1

【分析】

由双曲线方程的特点可得（机+2）（机+1）>0,解不等式即可求解.

【详解】

22

若方程」------二一=1表示双曲线，

/%+2m+1

则（m+2）（6+1）>0,

解得：〃2<-2或相>一1,

故答案为：加〈一2或加>一1.

2

15.双曲线丁-2-=1的左.右顶点分别为4,B,右支上有一点M,且％MA=1，则

3

/^MAB的面积为.

【答案】3

【分析】

求出M的坐标后可求三角形的面积.

【详解】

因为《“A=1，A（-l,0）,故直线AM的方程为y=x+l,

2

代入/一匕=1,整理得》一2=0,解得x=-l或x=2,

3

故M（2,±3）,故Sa^=3.

故答案为：3.

8

16.设尸是双曲线-一匕=1上一点，M,N分别是两圆：（x-5）?+y2=4和

（x+5p+y2=i上的点，则—的最大值为.

【答案】9

【分析】

由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点尸与M,8三点共线时使得

|PM|-|PN|取最大值.

【详解】

解：设两圆（x—5）2+/=4和（工+5）2+/=1圆心分别为4B,

则A,8正好为双曲线两焦点，

\PM\-\PN\<\PA\+2-（\PB\-1）=\PA\-\PB\+3=2a+3=6+3=9,

即最大值为9,

故答案为：9.

三、解答题

17.在下列条件下求双曲线标准方程.

（D经过两点（3,0）,（-6,-3）；

（2）焦点在），轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为4不，且经过点（2,-5）.

2222

【答案】⑴工—匕=1；（2）——=1.

932016

【分析】

22

（1）根据题意可设双曲线的标准方程为｝=1（。>00>0），将题干中两点坐标

代入双曲线的方程，可求出"2、〃的值，即可得出所求双曲线的标准方程；

v22

（2）根据题可设双曲线的标准方程为=1（。>0,6>0）,根据双曲线的定义可

求出。的值，再将点（2,-5）的坐标代入双曲线的标准方程，求出b的值，即可得出所

求双曲线的标准方程.

【详解】

（1）由于双曲线过点（3,0）,则该双曲线的焦点在x轴上，

9

22

设双曲线标准方程为*■-表■=1（a＞0力＞0），

a2=9

由题意可得、,

（一6）~b2

22

因此，所求双曲线的标准方程为土-匕=1;

93

（2）由双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为当■一0=1（。＞0力＞0）,

ab，

由双曲线的定义可得2a=4百，则a=2石，所以，双曲线的标准为二一1=1,

20b2

将点（2,-5）的坐标代入双曲线的标准方程得t某一1=1,解得b=4，

因此，所求双曲线的标准方程为汇-二=1.

2016

【点睛】

本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，

属于基础题.

2222

18.已知双曲线。:1-4=13＞0力＞0）与双曲线&—二=1有相同的渐近线，且经

a-b-42

过点

（1）求双曲线C的方程；

（2）求双曲线。的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

2

【答案】（1）=（2）实轴长2,离心率为6,距离为0

【分析】

（1）先求出双曲线反―工=1的渐近线方程y=±JLr,从而由题意可得2=

42a

2222

所以双曲线的方程可化为之—六=1,再把M（"—扬

坐标代入方程中求出。的值，从而可得双曲线。的方程；

10

(2)由双曲线方程可得a=l,bf，c=5从而可得实轴长，离心率，焦点,

再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离

【详解】

22

(1)解：在双曲线-------=1中，々=2，b-5/2,

42

则渐近线方程为y=±^x=±V2x,

b

2222

•..双曲线C:「-4=1与双曲线匕-工=1有相同的渐近线,

a2b242

.心=拒,

a

22

.••方程可化为5-J=l,

a22a2

又双曲线。经过点〃(、历，-夜)，代入方程,

22

-7_--7=L解得。=1，b=>/2,

a22cr

2

•••双曲线。的方程为犬―2_=1.

2

2

(2)解；由(1)知双曲线一乙=1中,

2

a=1，b=^^2，c=^^3"»

实轴长2«=2,离心率为0=£=6,

a

设双曲线C的一个焦点为(-6,0)，一条渐近线方程为y=6x,

：,d上华且=y/2，

V2+1

即焦点到渐近线的距离为、历.

【点睛】

此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题

19.如图，若可，凡是双曲线二-匕=1的两个焦点.

-916

11

(1)若双曲线上一点”到它的一个焦点的距离等于16,求点用到另一个焦点的距离;

(2)若P是双曲线左支上的点，且仍用归用=32,试求"/用的面积.

【答案】⑴1()或22(2)S的尸段=16

【分析】

(1)设点Af到另一个焦点的距离为小，由双曲线定义即可求得冽的值.

(2)由双曲线定义及伊用归用=32,可证明|P4『+归图2=山闾2,即结产工为

直角三角形，即可求得公^尸名的面积.

【详解】

22

(1)片,鸟是双曲线二一匕=1的两个焦点，

916

则a=3,/?=4,c=5,

设点M到另一个焦点的距离为团，

由抛物线定义可知上16|=2a=6,

解得加=10或〃?=22,

即点用到另一个焦点的距离为10或22.

(2)P是双曲线左支上的点，

|尸闻一|产鸟|=2。=6,

贝可尸闻2_2户用归即+1尸引2=36,

代入|尸母|产引=32,

可得|尸石『+|「约『=36+2x32=100,

即|「司2+|刊引2=|6七/=100,

12

所以八耳尸尸2为直角三角形,

所以54"乃=；附归用=?32=16.

【点睛】

本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于基础题.

22

20.已知双曲线C的标准方程为土-匕=1.

66

(1)写出双曲线C的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点可、吊的坐标；

⑵若点M(3,根)在双曲线C上，求证：MF,1MF2.

【答案】详见解析

【分析】

(I)根据双曲线的标准方程，求得a和b的值，即可求得答案：

(2)根据直线斜率求得&,助xkMF2=-1,从而可得MF]±MF2.

【详解】

22

(1)由----=1,可得：2a=2A/^,2b=2,所以禺心率为e=J^，左、右焦

66

点分别为耳卜26,0).耳(2后,0)；

,m,mQm2,«

=x

(2升为为“岫2-^3,~32^/T,6^—4~=1,所以匕%^MF2=一1，所以

MF1±MF2

【点睛】

本题考查双曲线的简单几何性质与直线垂直的判定，属于基础题型.

21.已知双曲线管1的焦点为端?和魏.蹑鸳顾，且离心率为2；

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若经过点M乳期的直线多交双曲线四于碗圈两点，且.微为血墙的中点，求直线取

的方程.

【答案】解：(I)设双曲线方程为三一且=期即卿我％，嘶，

:肃‘犷

13

•..去河4.璃卜I缪||=*...蝴=工意=必下=随，双曲线方程为富"一f=N（6

分）

幡-¥1=&

（11）设趣耳遥,1阳％忑w则,：气，得直线般的斜率依幽,=北（10分），

贰一我,=|）

«■G

直线£的方程为清一争=感-QL即萨=京小公，代入方程京一（，=!!得您/一锹£，_7=尊，

疆二沪T印铝欧二腾蟾，故所求的直线方程为弧=窠在法.....13分

【解析】

试题分析：（1）要求双曲线的标准方程，只要设出其标准方程

=燃娟涉嚼热抹噬，利用其几何性质列出关于魏焉志的方程组,本题中由己知

c=2M-辱=3

{c_o可解得结论；（2）设魂玩“磁“蹶。启,代入双曲线方程得』；，两

之出力

一»

式相减，山中点为豳嫄1㉒：，可得直线，融斜率，从而得直线方程.

试题解析：（1）设双曲线方程为=魅犹:碉"愚加嚼,

c=2_____2

由已知{c_,解得蟒=：1，所以扁=庐二?=随，双曲线方程为婢一二=>

一=2当

a

靖-彗_="

（2）设施/同耳逊鼻."，则•■:,得直线不霸的斜率也锻