2022-2023学年福建省泉州市晋江华侨中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省泉州市晋江华侨中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是

（

）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：C2.

)的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为(

)

A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin(2x-)参考答案：C3.已知函数是偶函数，且则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D

4.设函数，将图像上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数，则图像的一条对称轴方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：考点：三角函数图像的变换；三角函数的对称性.5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋)上单调递减的函数是〔）A、B、C、D、y＝cosx参考答案：A6.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=，取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB=．取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∵MN2=ON2+OC2，∴．故选：C，【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．7.下列四个图中，哪个可能是函数的图象

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略8.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为时，则输出的结果为（

）.A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：D9.如图所示的程序框图，若x=5,则运算多少次停止(

)A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：C【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】输入，第一步：，进入循环；第二步：，进入循环；第三步：，进入循环；第四步：，结束循环，输出结果；共运行4次.故选C【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10.在中，内角的对边分别为,若的面积为,且,则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】正弦定理余弦定理C8C由余弦定理，联立，得，，即，结合，得或（舍），从而，，故选C.【思路点拨】联立和，得，从而可求.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为D，若满足如下两条件：①在D内是单调函数；②存在,使得在上的值域为,那么就称函数为“启中函数”，若函数=是“启中函数”，则的取值范围是__________．参考答案：略12.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数：z=3x-y的最大值是

。参考答案：6画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,0）时取最大值，最大值为。13.已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=r2都过点P（﹣1，0），且椭圆C1的离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1，圆C2于点A，B，C，D（如图），k1=λk2，若直线BC恒过定点Q（1，0），则λ=．参考答案：2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据k1=λk2，应该找到k1，k2的关系式，再结合直线分别与直线相交，交点为A，B，C，D，用k把相应的点的坐标表示出来（将直线代入椭圆的方程消去关于x的一元二次方程，借助于韦达定理将A，B，C，D表示出来），再想办法把Q点坐标表示出来，再利用B，C，Q三点共线构造出关于k1，k2的方程，化简即可．解答：解：设A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），由得：，∵xP=﹣1，∴，则点A的坐标为：由得：，∵xP=﹣1，∴，则点B的坐标为：同理可得：，根据B、C、Q三点共线，，结合Q（1，0）所以=λ（）化简得λ=2故答案为：2．点评：本题的计算量较大，关键是如何找到k1，k2间的关系表示出来，最终得到λ的值．14.设变量满足约束条件，则的最大值是_______________.参考答案：5略15.在矩形中，，，是上一点，且，则的值为

参考答案：216.(坐标系与参数方程)圆和圆的极坐标方程分别为，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．参考答案：把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：和，所以两圆心坐标为（2,0），和（0，-2），所以经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为。17.在中，已知,，三角形面积为12，则

．参考答案：试题分析：根据三角形的面积公式可知，解得，所以.考点：三角形的面积，余弦的倍角公式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的首项为a（a≠0），前n项和为Sn，且有Sn+1=tSn+a（t≠0），bn=Sn+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤bn，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若cn=2+b1+b2+…+bn，求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对（a，t）．参考答案：【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1”，化简Sn+1=tSn+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出an；（Ⅱ）由条件和（I）求出bn，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出Sn，代入bn化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出cn，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且Sn+1=tSn+a（t≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，Sn=tSn﹣1+a，∴（Sn+1﹣Sn）=t（Sn﹣Sn﹣1），则an+1=tan，又a1=a≠0，综上有，即{an}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则Sn=2n，∴bn=Sn+1=2n+1，则==，∴=[（）+（）+]=（）=，代入不等式k（++…+）≤bn，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴Sn=，则bn=Sn+1=1+=1+﹣，∴cn=2+b1+b2+…+bn=2+（1+）n﹣（t+t2+…+tn）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{cn}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．19.(本小题满分12分)已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设．（1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.

参考答案：(1)

(2)

知识点：二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．………………5分（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是．……12分【思路点拨】（1）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化为，故有，，求出的最大值，从而求得k的取值范围．

20.（本小题满分12分）某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；

（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额的分布列和数学期望，并以此测算至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？参考答案：解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则（法一）．（法二）．即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．

…………5分答：选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．（II）设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为，则=，于是，，，，∴顾客中奖次数的数学期望．………10分设商场将每次中奖的奖金数额定为元，则≤180，解得x≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．………12分答：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．21.（12分）已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；参考答案：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且，，故取出的4个球均为红球的概率是．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且，．故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为．

22.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点.(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝AC，BC＝AA1＝2，求点A1到平面ADC1的距离.参考答案：【知识点】线面平行的判定；点到平面的距离

G4

G11【答案解析】解：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点E，

则点E是A1C及AC1的中点．连接DE，则DE∥A1B．因为DEì平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B∥平面ADC1，则点A1与B到与平面ADC1的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC1的距离相等，则C到与平面ADC1的距离即为所求．

…6分因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A1A，所以AD⊥平面BCC1B1，