2022-2023学年福建省莆田市仙游县第一中学高二数学理期末试卷含解析

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2022-2023学年福建省莆田市仙游县第一中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果=6，那么＝  （      ）      A 6               B 8             C 9                 D 10参考答案：B略2. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A={两个点数互不相同}，B={出现一个5点}，则P（B|A）=（　　）A． B． C． D．参考答案：A【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A={两个点数都不相同}包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30，事件B：出现一个5点，有10种，∴P（B|A）==，故选：A．【点评】本题考查古典概率模型及条件概率计算公式，解题的关键是正确理解事事件A：两个点数互不相同，事件B：出现一个5点，以及P（B|A），比较基础．3. 天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027   556   488   730   113   537   989   907   966   191   925   271   932   812   458   569   683   431   257   393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（　　）A．0.30 B．0.33 C．0.35 D．0.375参考答案：C【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：113，191，271，932，812，431，393共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选C．4. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S等于（      ）A．45      B．55       C．90      D．110参考答案：B5. 两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：B【考点】圆的切线方程． 【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数． 【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2 两圆圆心距离：，说明两圆相交， 因而公切线只有两条． 故选B． 【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题． 6. 设A是原命题，B、C、D分别是A的逆、否、逆否命题．从4个命题中任取两个命题，则这两个命题是等价命题的概率是（   ）A. B. C. D.参考答案：C7. 已知曲线表示圆，则圆的半径为A．          B.              C.           D.　参考答案：B略8. 已知为(0,+∞)上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有(　　)A. B. C. D. 参考答案：C【分析】把,通分即可构造新函数 ，并可得到的单调性，借助单调性比较大小得答案。【详解】解：由题意知为上的可导函数，且有，所以，令 ，则 ，则当 时，，，当 时，，，因为，当， ，即，故答案选C。【点睛】本题考查导数小题中的构造函数，一般方法是应用题目中给的含有导数的式子，和要求的式子猜测出需构造的函数，利用新函数的单调性求解答案。9. 若，，，则A．   B．    C．     D．参考答案：B略10. 已知命题p：，则命题p的否定是A．B．C．D． 参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最大值为_________.参考答案：5略12. 某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.参考答案：7.【分析】设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.【详解】设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有，经过2个小时细胞有=，······经过8个小时细胞有，又，所以，，.故答案为7.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.13.　=　　．参考答案：2π【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f（x）=的几何意义，计算即可．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π故答案为：2π．14. 直线y＝x＋b交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．参考答案：215. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有　    种．（用数字作答）参考答案：96【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96种．故答案为：96．【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．　16. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是　     　．（用数字作答）参考答案：36【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．17. 若向量、满足||=2，且与的夹角为，则在方向上的投影为　   　．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据在方向上的投影为||与向量，夹角余弦值的乘积，即可求得答案【解答】解：根据向量数量积的几何意义知，在方向上的投影为||与向量，夹角余弦值的乘积，∴在方向上的投影为||?cos=2×（﹣）=﹣，∴在方向上的投影为﹣．故答案为：﹣．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某社区举办防控甲型H7N9流感知识有奖问答比赛，甲、乙、丙三人同时回答一道卫生知识题，三人回答正确与错误互不影响．已知甲回答这题正确的概率是，甲、丙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率；（Ⅱ）用ξ表示回答该题正确的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：等可能事件的概率．【分析】（ I）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，由题设分别求出P（A），P（）P（），P（B）P（C），由此能求出乙、丙两人各自回答这道题正确的概率．（ II）由题设知ξ的可能取值为0、1、2、3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（ I）记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，则P（A）=，且P（）P（）=，P（B）P（C）=，即?=，P（B）P（C）=，∴P（B）=，P（C）=．（ II） ξ的可能取值为0、1、2、3．则P（ξ=0）=P（）==，P（ξ=1）=P（A?）+P（）+P（）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=P（A?B?C）=，∴ξ的分布列为ξ0123P ∴ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．19. （本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。参考答案：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，       记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）      （Ⅱ）  （Ⅲ），故的分布列的分布列为：0123P0.0080.0960.3840.512   所以20. （本小题满分12分）已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．参考答案：解： (1)由已知得，c＝2，＝， 解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1. ………………4分(2)设直线l的方程为y＝x＋m………………1分由得4x2＋6mx＋3m2－1 2＝0.    ①………………1分设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.………………1分因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2，………………1分此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，………………1分此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，……2分所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.………………1分 略21. 在数列{an}中，a1= ，且 =nan（n∈N+）．    (1)写出此数列的前4项；    (2)归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．    参考答案：（1）解：a1= ，a2= ，a3= ，a4=　（2）解：猜想：an= ．  证明：①当n=1时，猜想显然成立． ②假设n=k时猜想成立，即ak= ． ∵ =nan  ， ∴ =（2n﹣1）an ．　∴ ， ∴a1+a2+…+ak=（2k2+3k）ak+1  ，　又a1+a2+…+ak=（2k2﹣k）ak= ， ∴ak+1= = ， ∴当n=k+1时，猜想成立． 由①