微积分一导数的基本公式与运算法则演示

（优选）微积分一导数的基本公式与运算法则当前1页，总共39页。一、函数的和、差、积、商的求导法则

如果u(x)、v(x)都是x的可导函数则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数并且[u(x)v(x)]u(x)v(x)

[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)

特别地

[cu(x)]cu(x)

公式的推广(u1u2

un)u1u2

un

(u1u2

un)u1u2

unu1u2

un

u1u2

un

当前2页，总共39页。二、反函数的导数

设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f

(x)

并且其反函数xf1(y)在相应点处连续则[f1(y)]存在并且

简要证明

这是因为当前3页，总共39页。三、基本初等函数的导数

1

常数的导数(c)0

这是因为当前4页，总共39页。1(c)0

2

幂函数的导数

这是因为当前5页，总共39页。1(c)0

3

指数函数的导数(ax)axlna(ex)ex

这是因为当前6页，总共39页。4

对数函数的导数1(c)0

3

(ax)axlna(ex)ex

当前7页，总共39页。5

三角函数的导数(sinx)cosx

这是因为1(c)0

3

(ax)axlna(ex)ex

当前8页，总共39页。5

三角函数的导数

这是因为1(c)0

3

(ax)axlna(ex)ex

当前9页，总共39页。1(c)0

3

(ax)axlna(ex)ex

6

反三角函数的导数

这是因为函数yarcsinx与xsiny互为反函数所以由反函数的求导公式得5(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x

(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx

当前10页，总共39页。5(sinx)cosx(cosx)sinx

(tanx)sec2x(cotx)csc2x

(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx

1(c)0

3

(ax)axlna(ex)ex

基本导数公式

当前11页，总共39页。课前复习1.导数的几何意义？切线方程？2.可导与连续的关系？可导连续反之不成立！当前12页，总共39页。例1.计算下列函数的导数.0

0

1）4）5）6）7）8）2）3）____)(2=¢e当前13页，总共39页。解：

解：

例2.当前14页，总共39页。解：

解：

=当前15页，总共39页。解：

解：

当前16页，总共39页。解：

解：

四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达式适当变形后再应用公式.注.当前17页，总共39页。引例1引例2?当前18页，总共39页。四、复合函数的导数

设u(x)在点x处可导

yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为

简要证明

当前19页，总共39页。推广

设yf(u)

u(v)

v(x)

则复合函数y{[(x)]}对x的导数是四、复合函数的导数

设u(x)在点x处可导

yf(u)在对应点u处可导则复合函数yf[(x)]在点x处也可导，且其导数为当前20页，总共39页。因此因此四、复合函数的导数

当前21页，总共39页。

若yf[(x)]

u(x)

则

解

设ylnu

usinx

则

例11

求函数ylnsinx的导数

解

例12

求函数yarcsin(3x2)的导数

解

y(ax)

例10

求函数yax的导数

axlna

axlna(x)当前22页，总共39页。

解

解

当前23页，总共39页。练习当前24页，总共39页。五、隐函数的导数

显函数隐函数当前25页，总共39页。

解

例15

求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数

将方程两边同时对x求导得2yy2p

解出y即得隐函数的求导法则当前26页，总共39页。

解

将方程两边同时对x求导得

例16

求由方程yxlny所确定的隐函数yf(x)的导数

解出y即得

解

将方程两边同时对x求导得解出y

得

例17

求由方程e

yxy所确定的隐函数y的导数

e

yyyxy

当前27页，总共39页。

解

例18

由方程x2xyy24确定y是x的函数求其曲线上点(2,2)处的切线方程

将方程两边同时对x求导得2xyxy2yy0

解出y即得所求切线的斜率为

ky|x2,y21

于是所求切线为

y(2)1(x2)

即yx4

当前28页，总共39页。求下列隐函数的导数：

1）2）3）练习当前29页，总共39页。六、取对数求导法

将函数yf(x)两边取对数转化为隐函数求导这种方法称之为“取对数求导法”

解

例19

求函数yxx的导数法一.

yxxexlnx

xx(lnx1)

exlnx(lnx1)将yxx两边取对数lnyxlnx

两边对x求导数得于是得yy(lnx1)xx(lnx1)

法二.

当前30页，总共39页。

解

先在两边取对数得上式两边对x求导得例20.当前31页，总共39页。思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？1.幂指函数2.多个因子相乘除的函数练习求下列函数的导数：当前32页，总共39页。2.对数求导法适用的函数类型？方法？课前复习隐函数求导法

（1）方法？（2）特别要注意的地方？练习求下列函数的导数：当前33页，总共39页。七、由参数方程所确定的函数的导数

设x(t)有连续反函数t1(x)

又(t)与(t)存在且(t)0

则：当前34页，总共39页。解：解：例21.练习当前35页，总共39页。八、综合举例

例22

y3xx333xx

求y

解

3xln33x20exlnx(xlnx)3xln33x2xx(lnx1)

y(3x)(x3)(33)(xx)

证

所以y(a)y(a)

例23.当前36页，总共39页。

例24

已知f(u)可导求[f

(lnx)]{f

[(xa)n]}及{[f

(xa)]n}{f

[(xa)n]}f

[(xa)n]n(xa)n1(xa)n(xa)n1f

[(xa)n]

f

[(xa)n][(xa)n]{[f

(xa)]n}n[f

(xa)]n1[f

(xa)]n[f

(xa)]n1f(xa)(xa)n[f

(xa)]n1f(xa)当前37页，总共39页。