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文档简介

专题38动态几何之线动等腰三角形存在性(预测题)在平面直角坐标系中,已知抛物线y二ax2-2x+c(a,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(-4,3),直角顶点B在第二象限。C[XOX//*A(1) 如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;(2) 平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q,若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标。如图,抛物线y二亘x2-込x与x轴交于点A,将线段OA绕点0逆时针旋转120063至0B的位置.(1)点B在抛物线上;(2)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等评卷人得分试卷第2页,总2页

参考答案解:(1)由题意,得点B的坐标为(-4,-1),抛物线y二ax2-2x+c过A(0,-1),B(-4,-1)两点,c=c=-116a+8+c=-11再”丿口 a=—,解得] 2。c=-11•°・抛物线的函数表达式为:y=-3x2-2x-1(2)VA(0,-1),C(-4,3),•直线AC的解析式为:y=-x-1。设平移前抛物线的顶点为p,则由(1)可得p的坐标为(-2,1),且p在直线AC上。•・•点P在直线AC上滑动,•可设P的坐标为(m,-m-1)o °y=-X-1 fx=m( )2 ,解得11 [y=-X-1 fx=m( )2 ,解得11 [,y=-x-m2-m-1 Iy=-m-11解方程组:1x=m+2解方程组:12。y=-m-32P(m,—m—1),Q(m+2,—m—3)。过点P作PE〃x轴,过点Q作QE〃y轴,贝VPE=m_(m+2)=2,QE=-m-1-(-m-3)=2,•PQ=2<2=AP。0若厶MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为2近(即为PQ的长),由A(0,-1),B(-4,-1),P(-2,1)可知,0△ABP。为等腰直角三角形,且BP丄AC,BP=2迓1如图,过点B作直线l〃AC,交抛物线y=-qX2-2x-1于点M,则M为符合条件的点。70;''、f'\

可设直线1]的解析式为:y=-x+b]。°.°B(-4,-1 1=-4+b],解得b]=-5°.°.直线1的解析式为:y=-x-5ox=一41y=一11x=2x=一41y=一11x=22y=一72解方程组] 1 ,得:y=——X2-2x-1〔2.M(-4,-1),M(2,-7)。12当PQ为斜边时:MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为\庁如图,取AB的中点F,则点F的坐标为(-2,-1)。由A(0,-1),F(-2,-1),P(-2,1)可知:0△AFP0为等腰直角三角形,且点F到直线AC的距离为V2。1过点F作直线1〃AC,交抛物线y二--x2-2x-1于点M,则M为符合条件的点。2.可设直线12的解析式为:y=-x+b2,VF(-2,-1),.-1=2+^,解得2b=-3o.直线1的解析式为:y=-x-3。x=-1+芥51y=-2-J51x=-1+芥51y=-2-J51x=-1-后<2_

y=-2+J532解方程组] 1小、,得:y=——X2-2x-1〔2.*.M(-1+Q5,-2-\j5),M(-1-£5,-2+灯5)。3 4综上所述,所有符合条件的点M的坐标为:M(-4,-1),M(2,-7),M(-1+V5,-2-aj'5),M(-1-V5,-2+V5)。1 2 3 4用。【解析】(1)先求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。(2)首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度,作为后续计算的基础。若厶MPQ为等腰直角三角形,则可分为以下两种情况:当PQ为直角边时:点M到PQ的距离为-込,此时,将直线AC向左平移4个单位后所得直线(y=-x-5。与抛物线的交点,即为所求之M点。当PQ为斜边时:点M到PQ的距离为\运,此时,将直线AC向左平移2个单位后所得直线(y=-x-3。与抛物线的交点,即为所求之M点。考点:二次函数综合题,平移问题,二次函数的图象与性质,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,轴对称的应用(最短路线问题),平行四边形的判定和性质,勾股定理,分类思想的应解:(1)如图1,过点B作BC丄x轴于点C,

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11 :3 —.•・0C=—OB=—X4=2,BC=0B・sin60°=4x—=2j3\o"CurrentDocument"22 2・••点B的坐标为(-2, 2氏)。11x211x2-疸X中,令x=-263得y=2^3・点B在抛物线上。2)存在。如图2,抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y)。①若OB=OP,①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得y二土2*3,当y=-23时,在RtAPOD中,ZPD0=90°,sinZP0D=PD二込OP2•ZPOD=60°o.•・ZP0B=ZP0D+ZA0B=60°+120°=180°,即P、0、B三点在同一直线上。••・y=-2打不符合题意,舍去。・••点P的坐标为(2,2柘)o②若OB=PB,则42=42+|y-2*3丨2,解得y=2耳3。・••点P的坐标为(2,2县)。若OP=BP,则22+|y|2=42+|y-2*312,解得y=2\:3。・••点P的坐标为(2,2J3)。综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,273)。【解析】(1)首先根据OA的旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标。(2)根据抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而0

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