2021版新数学一轮：练案 （43） 空间几何体的表面积与体积含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021版新高考数学（山东专用）一轮：练案（43）空间几何体的表面积与体积含解析[练案43］第二讲空间几何体的表面积与体积A组基础巩固一、单选题1．（2020·广东六校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A）A．π＋eq\f（\r（3),3） B．2π＋eq\f(\r(3），3)C．2π＋eq\r(3) D．π＋eq\r(3)[解析]由三视图知，该几何体由圆柱与三棱锥组合而成，其体积为π＋eq\f(1，3)×2×eq\f(1，2)×eq\r(3）＝π＋eq\f(\r（3),3)。故选A.2．（2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(B）A．π B．eq\f（3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4）[解析］设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－（eq\f(1,2）)2＝eq\f（3,4）,所以，圆柱的体积V＝eq\f(3,4）π×1＝eq\f(3π,4)，故选B。3．（2019·甘肃兰州部分校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）A．(9＋eq\r(5))π B．（9＋2eq\r(5)）πC．(10＋eq\r（5)）π D．(10＋2eq\r(5）)π［解析］由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋π×eq\r(22＋12）＝（9＋eq\r（5)）π.4．(2018·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位:cm3）是（C）A．2 B．4C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形，直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm，高为2cm，直四棱柱的高为2cm，故直四棱柱的体积V＝eq\f（1＋2，2）×2×2＝6cm3。5．（2017·北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（D)A．60 B．30C．20 D．10[解析］由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为5,3，4的长方体中的三棱锥A－BCD，如图所示．故该几何体的体积是V＝eq\f（1，3)×(eq\f（1，2)×5×3)×4＝10。故选D.6．（2020·贵州安顺联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）A．eq\f（4，3) B．eq\f（5，3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(16，3）［解析］由三视图知该几何体的底面为正方形（对角线长为2）且有一条侧棱垂直底面的四棱锥,其高为2，∴该几何体的体积为eq\f(1,3）×(2×1）×2＝eq\f（4，3），故选A。7．(2019·湖北武汉部分学校调研）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（C)A．2 B．2eq\r（2）C．2eq\r(3) D．4［解析]由三视图可知几何体为棱长为1的正方体的内接正四面体，如图，又AD＝eq\r（2)，∴S表面积＝4×eq\f(\r(3），4)×(eq\r(2)）2＝2eq\r（3）。故选C.8．（2019·广东佛山质检）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝eq\r(2），E为AD的中点,现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P－BCE的外接球表面积为(C）A．10π B．5πC．eq\f(5π,2） D．eq\f（5\r(5）π,12）[解析］由题意翻折可得几何体P－BCE中:PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE。即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为棱的长方体，其对角线为外接球的直径:eq\r(12＋12＋\f（\r(2）,2）2）＝eq\f(\r(10），2)，故r＝eq\f（\r(10）,4），∴外接球的表面积为：4×π×eq\f(10,16）＝eq\f(5π，2），故选C。9．（2020·陕西汉中质检)四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P－ABCD的侧面积等于4（1＋eq\r(2)）,则该外接球的表面积是（B）A．4π B．12πC．24π D．36π［解析］根据三视图可在棱长为a的正方体中得到直观图,是一个四棱锥P－ABCD，如图所示：则四棱锥的侧面积为：S△PAB＋S△PAD＋S△PBC＋S△PDC＝eq\f(1,2)a2＋eq\f（1,2)a2＋eq\f(1,2）a·eq\r(2）a＋eq\f（1，2)a·eq\r(2）,根据已知侧面积可得:(eq\r（2）＋1)a2＝4（eq\r(2）＋1），解得：a＝2，设PC的中点为O，则OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝eq\f（1,2）eq\r(22＋22＋22)＝eq\r（3），所以四棱锥的外接球的半径R＝eq\r(3)，所以该外接球的表面积为4πR2＝4π×（eq\r(3））2＝12π，故选B。二、多选题10．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是(BCD)A．三角形 B．长方形C．正方形 D．正六边形11．(原创)两直角边长分别为6、8的直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体的体积可能为(ABC）A．96π B．128πC．eq\f(384，5)π D．eq\f(100π,3）12．（2020·陕西商洛期末改编)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球OA．10 B．12eq\r(2)C．16 D．18[解析］设球O的半径为R，则4πR2＝12π,得R＝eq\r(3).设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有eq\r（2x2＋h2)＝2R＝2eq\r(3)，即2x2＋h2＝12，由基本不等式可得12＝2x2＋h2≥2eq\r(2）xh,xh≤3eq\r(2)，当且仅当h＝eq\r（2)x时,等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4xh≤4×3eq\r（2）＝12eq\r（2），即四棱柱的侧面积得取值范围为（0，12eq\r（2)］，故选ABC.三、填空题13．（2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1，3）。［解析]本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积．四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1×eq\r（2)＝eq\r(2)，又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1－BB1D1D的高为eq\f（1，2）A1C1＝eq\f（\r(2），2）,所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f（1，3）×eq\r(2)×eq\f（\r（2)，2）＝eq\f(1，3）.另解：VA1－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA1－ABD＝eq\f(2，3）VABD－A1B1D1＝eq\f（1，3).14．(2020·海南天一大联考)已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为eq\f(2\r（2）π,3），设线段AB为底面圆的一条直径,一质点从A出发,沿着圆锥的侧面运动,到达B点后再回到A点，则该质点运动路径的最短长度为__6__.［解析]圆锥的高为eq\r（32－1)＝2eq\r(2），∴V圆锥＝eq\f(π,3)×2eq\r(2）×12＝eq\f(2\r(2）π，3），圆锥底面周长为2π，侧面展开图扇形的圆心为eq\f（2π,3）,如图,则质点运动的最短路径为虚线所示的折线,长度为6.15．(2019·辽宁省朝阳市重点中学模拟)表面积为4eq\r(3)的正四面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为eq\r（6)π.[解析]如图所示，将正四面体补形成一个正方体，设正四面体棱长为a，则4×eq\f(\r(3)，4）a2＝4eq\r（3）,解得a＝2，∴正方体的棱长是eq\r（2),又∵球的直径是正方体的对角线,设球半径是R，∴2R＝eq\r(6），∴R＝eq\f(\r(6），2）,∴球的体积为eq\f（4,3）π（eq\f(\r（6)，2））3＝eq\r(6）π.故答案为：eq\r(6）π。B组能力提升1．（2019·吉林市五地六校适应性考试）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__8π__。[解析]作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半 径为r，则BC＝2r,所以轴截面的面积为S正方形ABCD＝（2r）2＝4，解得r＝1，因此,该圆柱的外接球的半径R＝eq\f(BD,2)＝eq\r（2）,所以球的表面积为S＝4π（eq\r(2)）2＝8π.故答案为8π。2．(2020·山东维坊期末）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面面积为eq\f(9，8)，若截面把正方体分成体积之比为2︰1的两部分，则eq\f（A1K,KB1)＝eq\f(\r(5)－1,2).［解析］K为A1B1的中点时,截面为ACMK（M为B1C1的中点)是等腰梯形,且KM＝eq\f(\r(2），2），AK＝CM＝eq\f（\r(5），2），AC＝eq\r(2)，SACMK＝eq\f(9，8).若截面把正方体分成体积为2︰1的两部分时，VK－BCMB1＝eq\f(a＋1a，6)＝eq\f(1，6），（B1K＝B1M＝a），解得a＝eq\f(\r(5）－1，2),∴KB1＝1－a＝eq\f(3－\r（5）,2)。∴eq\f（A1K,KB1)＝eq\f(3－\r(5),\r（5)－1)＝eq\f(\r(5)－1，2).3．(2019·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为（C)A．π＋eq\f（2，3） B．π＋eq\f(1,3）C．π＋eq\f（4，3) D．π＋eq\f（3,4）［解析］几何体为半圆柱与四棱锥的组合体（如图），半圆柱的底面半径为1,高为2,四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1,故几何体的体积V＝eq\f（1，2)×π×12×2＋eq\f(1，3）×22×1＝π＋eq\f（4，3)。故选C。4．(2019·江西九江一模）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（D）A．eq\f（4,3） B．eq\f(8，3)C．4 D．eq\f（16,3)［解析］如图,依三视图知该几何体为正方体中的三棱锥D－ABC，连接DF，过A作AE⊥DF，则AE为底面DBC上的高，由三视图可得S△DBC＝eq\f(1,2）×4×4eq\r(2)＝8eq\r（2)，AE＝eq\r（2),所以其体积V＝eq\f(1,3）×8eq\r（2)×eq\r（2）＝eq\f(16,3).故选D。5．（2019·河北省衡水中学调研)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝2eq\r（2），三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为