《定义与命题》第2课时示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

第七章平行线的证明2定义与命题第2课时教学目标1.了解公理、定理和证明的概念，会区分定理、公理和命题.2.了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题.3.初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实.4.阅读有关《原本》和公理化的资料，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值.二、教学重难点重点：了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理.难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境教师活动：提出问题，鼓励学生回答问题，对于回答不完整的地方教师进行补充．问题1：什么是定义？预设：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.问题2：表示判断的句子都是，而不管判断是否正确.正确的命题称为，不正确的命题称为.预设：命题；真命题；假命题问题3：命题的组成是什么？预设：每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.问题4：命题的形式是什么？预设：命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.问题5：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论.1.相等的角是对顶角；2.钝角大于它的补角；3.两直线平行，同位角相等.解：(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；(2)如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角；(3)如果两直线平行，那么同位角相等；思考并回答问题.学生思考并回答问题.回顾上节课的知识，为本节课内容的学习做铺垫.环节二探究新知【问题探究】提问：我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？教师活动：介绍收集到的有关《几何原本》的知识.古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前300年前后)编写了一本书，书名叫做《原本》(Elements).为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据;其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理.教师强调：公理=基本事实；公理不需要证明.除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.提问：定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：联系：这四者都是命题．区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据；只不过公理是最原始的依据，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.【做一做】1.下列句子中，定理是()，公理是()，定义是()A.若a=b，b=c，则a=cB.对顶角相等C.全等三角形的对应边相等，对应角相等D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等答案：B，C，E；A；D.2.下列说法错误的是()A.命题不一定是定理，定理一定是命题B.定理不可能是假命题C.真命题是定理D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理答案：C我们已经认识的八条基本事实，可作为证明的出发点和依据！1.两点确定一条直线.(直线公理)2.两点之间线段最短.(线段公理)3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(即：同位角相等，两直线平行).5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8.三边分别相等的两个三角形全等.教师强调：6~8条用于判定三角形的全等.此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如：(1)如果a=b，b=c,那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”(2)如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了.比如下面这些定理.(1)同角(等角)的补角相等.(2)同角(等角)的余角相等.(3)三角形的任意两边之和大于第三边.提示公理不用证明，定理是经过证明所得，但不是所有的真命题都是定理.为了方便，在证明过程中可以用“∵”代替因为，“∴”代替所以，分别读作“因为”“所以”.学生自由说一说学生认真听讲，并做笔记，明确原名、公理、证明、定理名称的含义.在教师的引导下进行总结.学生思考，回答问题认真思考并做笔记从历史上证明真命题的故事，引入《几何原本》的相关知识，感受数学文化魅力，渗透公理化思想.给出概念，直入主题，让学生明白证明的概念，并且为后面书写证明过程有个心理准备.回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理、定理、定义和命题.增加学生对定理、公理、命题、定义的理解，并锻炼学生有条理的数学表达能力.总结学生学过的基本事实，并以它们作为证明的出发点，初步构建几何证明的“公理化体系”，培养学生逻辑推理能力.用数学的三种语言（文字语言、符号语言、图示语言）表达“八条基本事实”，提高学生数学语言的表达能力.用学生学过的具体实例，感受代数的公理化思想.深刻理解公理的独立性、完备性、和谐性.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【例1】已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC=∠BOD.【分析】根据同角的补角相等可得答案．证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).由上面的例题，我们可以得到定理：定理对顶角相等.【例2】证明定理：三角形的任意两边之和大于第三边.【分析】根据两点之间线段最短证明结论．已知：如图△ABC.求证：AC+BC＞AB，AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.证明：∵AB是点A到点B的距离，AC+BC是连接点A、点C、点B的一条折线的长度，根据两点之间线段最短得：AC+BC＞AB.同理可得：AB+BC＞AC，AB+AC＞BC.∴三角形任意两边之和大于第三边.思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法.思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法.严格证明几何定理“对顶角相等”，初步感受证明的思路和书写过程.证明定理，感受证明的思路和书写过程.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.判断对错(1)所有的命题都是公理.(2)所有的真命题都是定理.(3)所有的定理是真命题.(4)所有的公理是真命题.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.数学上证明一个命题时，通常从命题的出发，运用、及已经证明了的，通过一步步的，最后证明这个命题的结论成立.证明的每一步都必须要有.答案：条件；公理；定义；定理；推理；根据.3.下列命题可以作为定理的有.①2与6的平均值是8；②能被3整除的数字也能被6整除；③5是方程号x+7=3x–3的根；④三角形内角和是180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式.答案：④⑤4.在证明过程中可以作为推理根据的是()A.命题、定义、公理B.定理、定义、公理C.命题D.真命题答案：B5.下列说法错误的是()A．命题是判断一件事情的句子B．基本事实的正确性必须得到证明C．证明假命题举一个反例即可D．推理的过程叫做证明答案：B6.已知：b∥c，a⊥b,求证：a⊥c．【分析】首先根据垂直定义可得∠1=90°，再根据平行线的性质可得∠2=∠1=90°，进而得到a⊥c．证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定义）.又b∥c（已知），∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.∴a⊥c（垂直的定义）.7.已知：∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角.求证∠2=∠3.【分析】根据余角的概念：和为90°的两角互为余角可得答案．证明：∵∠2是∠1的余角(已知)，∴∠2+∠1=90°(余角的定义).∴∠2=90°–∠1(等式的性质).又∵∠3是∠1的余角(己知)，∴∠3+∠1=90°(余角的定义).∴∠3=90°–∠1(等式的性质).∴∠2=∠3(等量代换).自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂练习及时巩固本节课