《为什么要证明》示范公开课教学设计【北师大数学八年级上册】

第七章平行线的证明1为什么要证明教学目标1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举反例验证、推理证明等，理解数学的严谨性.3.通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识，发展学生的推理意识.4.关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神.二、教学重难点重点：了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；难点：会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【观察】教师活动：创设情境，出示图片，引导学生观察，思考.上图是静态的没有循环帧的图片，你看到的静止的图片是不是在动呢？据心理医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢.美国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速运动的.问题：这幅图是动还是静呢？问题：图中有几个黑点？问题：下面两个图形中中间两个圆的大小一样吗？眼见未必真实哦！不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线！问题：你觉得观察得到的结论正确吗？学生认真观察，回答问题.认真观察、探究交流并说一说.通过图片展示，激发学生的学习兴趣，同时让学生明白眼见未必为实，引发学生思考，为下面的学习奠定基础.环节二探究新知【问题探究】教师活动：出示教材图片，引导学生观察、思考.以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！(1)图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.预设：图1的两条线长度相等，图2的四边形是正方形.教师活动：让学生大胆地进行预测，但要让学生说清理由，了解几何证明的必要.(2)如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长lm的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？问题：能放进一颗核桃吗？能放进一个拳头吗？别太信任你的眼睛和直觉哟！教师活动：充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生，这样就达不到预想的要求，不能让学生留下深刻的印象.建立“数学模型”!解：设地球赤道的周长为c，半径为r1，铁丝所围成的圆的半径为r2.则：它们的间隙不仅能放进一颗核桃，而且也能放进一个拳头.问题：观察得到的结论可靠吗？观察得到的结论并不可靠.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理证明.数学的结论必须经过严格的论证！【做一做】(1)当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？答案：你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2－n+11的值都是质数？当n为自然数时，n2-n+11的值一定是质数吗？找数值代入，验证你的结论.对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数.(2)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.解：通过测量得出：位置关系：DE∥BC数量关系：你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行交流.【议一议】教师活动：让学生用自己的语言进行叙述，培养学生的表达能力.问题：实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.问题：在上面问题中，你是怎么判断一个结论是否正确的？检验数学结论常用的方法有哪些？常用方法：①实验验证：最基本的方法.②举反例验证：多用于验证某结论是不是正确的.③推理论证：最可靠、最科学的方法.积极猜想，质疑结论.学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，动手算一算，并验证结论是否正确.学生自由说一说.合作交流，通过填表，得出结论.认真观察并猜测，然后动手测量得出结论.在教师的引导下，认真思考认真思考并做笔记由有趣的问题引入，激发学生的学习兴趣.通过理性的计算，验证了很难想像到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，再次为论证的合理性和必要性提供素材.直观感觉得到的结论未必正确，面对问题需要理性的思考.需要有理有据的证明.通过此环节让学生明白，只举几个特殊例子就证明结论是正确的，这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.学生通过测量得出猜想，并通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻求更为可信的证明.通过相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，进而深刻认识到证明的必要性.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【例1】(1)图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.答案：线段b与线段d在同一条直线上.(2)图中两条线段a与b的长度相等吗？答案：线段a与线段b的长度相等.【例2】当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？【分析】结合质数的概念，并通过取特值，即可得到答案.解：当n=1时，n2+3n+1=12+3×1+1=5，是质数；当n=2时，n2+3n+1=22+3×2+1=11，是质数；当n=3时，n2+3n+1=32+3×3+1=19，是质数；当n=4时，n2+3n+1=42+3×4+1=29，是质数；当n=5时，n2+3n+1=52+3×5+1=41，是质数；当n=6时，n2+3n+1=62+3×6+1=55，不是质数；所以当n为正整数时，n2+3n+1的值不一定是质数.思考问题，尝试回答问题，并用直尺验证.思考问题，尝试回答问题通过例题的探究，让学生进一步体会观察得到的结论未必可靠.面对问题要有勇于探索的精神.需要有理有据的证明.对现有结论进行验证，让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性，从而对不完全归纳的合理性产生怀疑，进而认识到证明的必要性.环节四巩固新知【随堂练习】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为如图乙的形状.若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿()A.甲需要的材料多 B.乙需要的材料多C.甲、乙需要的材料一样多 D.不确定答案：C.2.下列推理正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c.B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.C．因为∠AOB＝∠BOC，所以两角是对顶角.D．因为两角的和是180°，所以两角互为邻补角.答案：A.3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案：C.4.甲、乙、丙、丁四人商量周末出游.甲说：“乙去，我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.“丙说：“无论丁去不去，我都去.“丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去.“以下结论可能正确的是()A.甲一个人去了B.乙、丙两个人去了C.甲、丙、丁三个人去了D.四个人都去了答案：C.5.一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后将3盏电灯都开亮.(填“能”或“不能”)答案：不能.6.当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数吗？说说你的理由.【分析】先利用完全平方公式将代数式化简，然后判断代数式是否为4的倍数.解：是.理由如下：原式=n2+2n+1-(n2-2n+1)=4n，则结果一定为4的n倍，故当n为正整数时，(n+1)2-(n-1)2的值一定是4的倍数