动力学有限元计算已排讲义_第1页
动力学有限元计算已排讲义_第2页
动力学有限元计算已排讲义_第3页
动力学有限元计算已排讲义_第4页
动力学有限元计算已排讲义_第5页
已阅读5页,还剩19页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

动力学有限元计算已排讲义2

从静力学有限元法可知,有限元的基本思想是将弹性体离散成有限个单元,建立整体刚度平衡方程:关于静力问题和动力问题的区别,据达朗贝尔原理,动力学问题只要在外力中计入惯性力后,便可按静力平衡处理。考虑到动力问题中的载荷和位移均为时间的函数,上式可记为:由于动力载荷可为作用于弹性体上的动载荷,也可为弹性体的惯性力,也可为与速度相关的阻尼力,即:据惯性力定义表示为:如阻尼力正比与速度,则动力学基本方程:13.1振动基本方程的建立31、单元刚度阵任取一个单元,单元节点位移为,节点速度和加速度为:,则单元节点内任一点的位移[N]为形函数,与时间t无关,为X、Y、Z的函数,它与静力分析中一样;由于[N]与时间无关,则单元应变矩阵,应力矩阵仍与静力分析完全相同:则刚度矩阵同样与静力情况相同:13.2单元质量、阻尼、刚阵计算42、单元质量阵设单元节点加速度为,则单元内任一点的加速度:设单元的质量密度为,则单位体积中的惯性力为:负号表示惯性力与加速度相反。显然,整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上的惯性力移置到单元节点上,通常有两种方法:1)虚功原理法——求得一致质量矩阵2)直接分配法——即按重心不变原则分配,求得集中质量矩。5这里[M]为单元的一致质量矩阵。显然,对于不同的单元,因形函数不同,则质量矩阵也是不同的。1)虚功原理法设单元中发生虚位移为则单元惯性力作的虚功为:单元节点上节点惯性力所作的功为:将和代入可得6平面常应变三角形单元的一致质量阵为:单元质量矩阵7一般而言,一致质量较准确地反映了单元内质量分布的实际情况,集中质量精度不如前者,但不存在耦合,使计算大大简化,是工程中常用的方法。2)直接分配法将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上,所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。如六自由度的平面三角形单元,单元总质量为W/g,则平均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为:83、单元阻尼阵单元阻尼力主要指结构阻尼力,它是由结构内部材料内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为,则单位体积产生的阻尼力(即阻尼力密度)为:利用虚功原理同理可得:9一旦单元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得,则动力学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度矩阵组装得到:10计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容,也是分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻尼对结构的固有频率和振型影响极小,所以,求结构的固有频率和振型时,直接用无阻尼的自由振动方程求解。即因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加:即结构上各节点位移为为节点位移振幅向量(即振型),与时间t无关的位移幅值;为与该振型对应的频率。13.3固有频率和振型计算111、特征方程将节点位移代入动力方程,化简得广义特征值问题:由于结构自由振动时,各个节点的振幅不可能全为零,则称为结构的特征方程,即求结构的固有频率和振型归结为特征值问题。设计结构的自由度为n,则特征方程为的n次代数方程,其n个根称为特征值,记为它们的平方根称为系统的固有频率,即将这些固有频率从小到大依次排列为最低的频率称为基频,它是所有频率中最重要的一个。12这个过程称之为正规化利用正规化,可得2、特征向量对应每个固有频率,可有方程由此求得一组节点振幅不全为0的向量称为特征向量,也称为振型或模态向量。由于上述方程为齐次方程,显然解不唯一,也就是说:振型的形状是唯一的,但其振幅不是唯一的;或一个特征值可对应有多个特征向量,但一个特征向量只对应一个特征值。实际中,常选特征向量使13则对应所有的特征值问题:3、特征向量的性质正交性:任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。即设则有若将所有的特征值对应的特征向量组装成特征向量矩阵,即14考虑到正规化:可进一步记为:可简记为矩阵形式:151、幂迭代法特点:用于计算最大(主)特征值十分有效。这里[D]称为动力矩阵,也即一个变换矩阵,它可将任一特征向量变换为一常数与其自身的乘积.13.4特征值问题的解法

结构固有频率和振型的计算归结为求的特征值和特征向量。由于有限元法将结构离散为n个自由度,n一般相当大,故n次特征方程的直接求解十分困难,常求其近似解,常用的求解方法有幂迭代法、逆迭代法、子空间迭代法等。16由于任两个特征值对应的特征向量是正交的,则n个特征向量可组成特征向量空间中的一个特征向量基,其特征向量空间中的任一特征向量可表示为基向量的线性组合。即存在任一向量:设这个向量被[D]变换后形成一新的特征向量为:类推,可得:17由于所有的特征值排列为:即存在考虑到问题为齐次方程,特征向量前的系数可以略去,则上式在p趋近无穷时,其第一项就趋近实际计算,只需迭代有限次即可得精确解。18幂法迭代格式1、选初始特征向量,如单位向量2、构造新特征向量,并归一化3、计算特征值近似值4、计算相邻两次迭代的特征值误差,检查是否收敛若需计算二阶、三阶等特征值,则需构造新的动力矩阵192、逆迭代法逆迭代法也称为反幂法,类似于幂法,特征值问题改写为:其具体迭代格式为:1)选初始向量如单位向量2)计算中间向量3)求解线性方程组4)归一化5)计算特征值近似值6)计算相邻两次迭代的特征值误差,检查是否收敛20

对于受迫振动,基本方程为求解此方程通常有两种数值方法:振型迭加法和逐次积分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用结构固有振型的正交性,把结构的复杂振动分解为一组相互独立的单自由度振动(即解耦),从而求得结构的位移响应。设结构无阻尼自由振动的各阶固有频率和相应的固有振型为:则结构任意时刻的受迫振动产生的位移可认为是n个固有振型为基的线性组合,即为组合系数,是时间t的函数,也称为振形坐标13.5动力响应的计算21广义质量阵广义阻尼阵广义刚度阵广义激振力上式可记为这里代入动力学方程:左乘22据正交性可知,这些广义矩阵均为对角矩阵,即表示方程各个变量之间是没有耦合项的,从而动力方程转化为n个相互独立的单自由度振动的动力方程,分别求解这n个方程可求得从而求得动力方程的位移解:进而可求得速度、加速度。232、逐次积分法基本思想:将时间t离散为n个区间,并假设在一个时间区间内,结构的加速度响应为线性变化,由此,对加速度积分,可得速度和位移,一旦所有区间计算完毕,则求出结构的动力响应。假设在至t的很小时间间隔内,加速度线性变化:对积分,并引入初始条件待定积分常数将代入t时刻的

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论