2021年广东省佛山市顺德区高考数学一模试卷(理科)及解析

）共小，小题共．在每题出的四个．1合{x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则AB=（）A．{01}．{﹣101，2}C．﹣1，0，1}D{﹣2，﹣0，，}2分）知复数i，则列命中正的个数为（）①||=

；②=1i；③z虚部﹣．A．0B．．2D．）向量1x+，1﹣2，（（﹣（）A﹣B．15C．﹣D20．）eq\o\ac(△,（)中tanA=，，BC=4，则（）A．2﹣﹣．D2+5分将一根长为的绳子剪为二，则其中一段于另一段2倍的概率为（）A．．．．6分）执行如所示的程序框图，输出的值是（）A．D1（知）7123（知）7123237分章术》五商功有下问：今有甍，广三丈，四丈，上袤二丈无，高一，积几何刍：底面为形屋脊状几体（网格纸中粗部为其三图设网格上个小正方的长为么该刍甍的体为（）A．4立方丈丈丈丈8．分已2，b=log3，log3，则b，的大关系（）A．a＜bcB．c＜．ba＜cD．＜ba9分）知x，）为平面区域

内的任一点，当该区域的面为时，z=2x﹣y的大是（）A．6B．．2D．5分已知三棱锥的各顶点都在一半径为的面上且SA=SB=SC=1，

，则球表面积（）A．4π．3πC．8πD1211）若（﹣=9与曲线﹣a0，b＞）经过二、象的近线，交于B两且|AB|=2（）A．．．2D．12分对于实数b，义运算“：

，则此双曲线的离心率为，设x）（2x﹣3）x﹣关于的程x）k∈）有三个互不相的实根x、x、x，则•x•x取范围（）17（已{}的前17（已{}的前为＞n知nnnnA，3）10））0）共题共分）.13）若（+）cosαcos（α+）sin，则β=

．14分）名学去参加不同团组每名学只加其一个社团，且两位同学参加个社会团，则有．15分已知（4x当≤2时（=ef3+（=．16）设线=4x的点为准为过点直交物于，B点分过B作垂，足为D若|AF|=2|BF|，则角形的面积为．三、题：题共小题，共70分．解写文说、明程演算．12分数n项0满﹣∈N*．（Ⅰ）求数{a}的通公式（Ⅱ）求数{}前和．18分）如图，在三棱锥ABC中，DA=DB=DC，为上一点，DE⊥平面，F为的中点．（Ⅰ）求：平面平面（Ⅱ）若DC，∠BAC=45°，求二面角C的弦．（在，（在，19分某市行阶梯价每人用水量不过立方米部分按元/立方米收费超出方米的分按/方米收，从该市机调查了位市民他们月的水量据如下频率直方图，并且四组数成差数，（Ⅰ）求b，的及居民用介于﹣频数；（Ⅱ）根据此查，为使居民用水为元/方米，定为多少立方？（精到小数掉后）（Ⅲ若将频率视为概率现从该市随调查名民的用量将月水量不超过立方米人数为求其布列其均．20分）已知椭圆的中在点，焦点在轴上，离心率于的一个顶点好抛线2

=﹣的焦．（Ⅰ）求椭圆标程；（Ⅱ圆x+y2

=r

2

与圆交于，D四，当半径为多时四边形ABCD的面积大？求出大面．21）设函数x）=xlnx﹣+1，g（）=﹣3+3x﹣．（Ⅰ）求函数x）在，e]有两个零求取范；（Ⅱ）求证：fx）＞g（x．[选修：程22．）系xOy中的参方程为，C经变到为C经变到为12O，半轴标线异交曲线换的轨迹．（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）在以点轴的正极坐射与的于的与为，求|AB|．[修4-5：不等式选讲23已知数x）=|﹣3﹣|x5|．（Ⅰ）求不等式）≤解集；（Ⅱ）设数x）最值为若不等式2x+m≥M恒成立，求的取值范围．2018年广东省市顺德区数学一模（理科）析共小，小题共．在每题出的四个．1合{x|﹣1≤x≤3}，B={x∈Z|x2＜5}，则AB=（）A．{01}．{﹣101，2}C．﹣1，0，1}D{﹣2，﹣0，，}【解】解∵A=x|1x≤{x∈Z|2＜5}={∈Z|﹣}={﹣2，﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣01，}，故选B．2分）已复数i，则列命中正的个数为（）①|z|=

；②=1i；③z的虚为﹣．A．0B．．2D．【答】解：∵﹣，∴|z|=，故正；

，故正；z虚部﹣，故③错误．∴正命题的个数为个．故选．3分）向量1x1，1﹣x2，（（﹣（）A﹣B．15C．﹣D20【答】解：向量=（1，+1，1﹣，2，若⊥，则=1﹣x）+2（+1）=x+3=0，解可得x=﹣3，则﹣2，4，2，（=（5，（﹣3﹣4；则（（﹣﹣；故选：．4分）eq\o\ac(△,，)中，，BC=4，则（）A．2﹣﹣．D2+【答】解：知由于0＜A，解得A=，

，利用余弦定理：=AC+AB2

﹣•AB•cosA，解得AB=

（负舍去．故选．5分）一根为的绳子剪为二段，其中一段大于一段倍的概率为（）A．．．．【解答】解：绳子的度为成两后，中一长度为则另一段长度x，记“中一段长大于一段度倍”件，则|}={x|0＜x＜2或x≤6}，∴P（A=，故选：B．6分）执行如所示的程序框图，输出的值是（）A．D1【解】解：本题为直型循结构序框由框图的程知：算法能是求+cosπ+cos

的，∵y=cos

的周为2017=504×4+1∴输出S=504×（cos

+cos+cos

+cos2π）+=0故选：C7分章术》五商功有下问：今有甍，广三丈，四丈，上袤二丈无，高一，积几何刍：底面为形屋脊状几体（网格纸中粗部为其三图设网格上个小正方的长为么该刍甍的体为（）A．4立方

B．立方丈

．6立丈

D12立方丈【解解三棱柱的底面是边长为高为的腰角．棱柱高为．（知）75775（知）75775∴三棱柱的体积

．两个同的棱锥拼，得底边长为和形的棱锥其高为．∴体积=2．该甍体为：2=5．故选B．8．分已2，b=log3，log3，则b，的大关系（）A．a＜bcB．c＜．ba＜cD．＜ba【解答解：c=log3=log3＞log3，3＞＜，则bc的大关为：＜bc．故：．9分）知x，）为平面区域

内的任一点，当该区域的面为时，z=2x﹣y的大是（）A．6B．．2D．【解】解：由作出可域如，由图得（a，a（a，a（a+1a+1（a+1﹣﹣1）由该的面为，．∴A（11（2，﹣）化目标数﹣y为﹣，∴当﹣z过C点，大，等于×2﹣﹣2=6．故选：A．5分已知三棱锥的各顶点都在一半径为的面上且SA=SB=SC=1，

，则球表面积（）A．4．3C．8D12【解】解：三棱锥﹣ABC中，SA=SB=SC=1，AB=BC=AC=

，∴共顶点的三条棱两且其长均为，三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是正方体的一个角，扩展为正方体，三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，正方体的对角线就是球的直径，所以球的直径为：为，外接球的表面积为：×（．故：．11）若圆（﹣=9与曲线﹣a＞b＞）经过二、象的近线，交于B两且||

，则此双曲线的离心率为（）A．．．2D．【解】解：依意可双曲的经过象限渐近程为+ay=0，∵||

，圆圆心（，12323x=12323x=﹣12∴圆心到渐近线的距离为

=

，即

=

，解得a，∴c==a，∴曲线的离心率为=故：．

．12分对于实数b，义运算“：

，设x）（2x﹣3）x﹣关于的程x）k∈）有三个互不相的实根x、x、x，则•x•x取范（）A，3）10））0）【答】：a

，∴fx）=（2x﹣3x﹣3）=其图象图所：

，由图可：k，故12∴12故12∴12x•x•x=﹣0，3，x•x•x∈（﹣0，故：．共题共分）.13）若（+）cosαcos（α+）sin，则β=

﹣．【解答解：sin（α+）cosαcos（αβ）[（β）﹣α]=sinβ=，则β=12sin2﹣=﹣，故答案为：﹣．14分）名学去参加不同团组每名学只加其一个社团，且两位同学参加个社会团，则有种结．【解答】：根据题意，先计算名同学去加个不社团织的数目，4学中可以在不同团组织任选每人有同的法，则人有33×种情况，再计甲乙加同个社组织情况数目，若甲参加一个团组，甲两人有种情，剩下的人每人有不同的法，则下的人有×3=9种情，则甲乙参同一个社团组的情况有种；则甲乙两位同学不参加同一个社团组织的情况有27=54种；故答案：54．15分）已知（x（4﹣xx≤2时，（x）=ef（3+（3=0．】由f）=f（）得，函数x）的图关直线x=2对称，当x≤时，f（x）=ex，f′（x）=e，∴f3=f（=e，设为﹣A（22在程1）1设为﹣A（22在程1）1212②解1212∴f（3）=﹣f（=，故（3+f3），故案：．16）设线=4x的点为准为过点直交物于，B点分过B作垂，足为D若|AF|=2|BF|，则角形的面积为．【解答解：如图，抛物线的点1，0线为﹣1，l所方（，y，（x，y）联立2﹣（2k2+4）x+k2，∴xx=1①∵|AF|BF|，∴x+1=2（+1②由①x=2或=﹣1，x=﹣1（去）∴y=2，y=﹣，|CD|=y﹣y=3，∵|FG|+1=2，S=×|CD|×=×3×2=3，eq\o\ac(△,∴)故案：17（已{}的前为＞知17（已{}的前为＞知1∴（1a﹣﹣a=2．三、题：题共小题，共70分．解写文说、明程演算．12分数项，0满﹣∈N*．（Ⅰ）求数{a}的通公式（Ⅱ）求数{}前和．【答】解）当n=1时，，得；由a=2S﹣，①∴，②②①得：，a+a﹣a﹣2=0，++∵a＞0，∴a+1﹣，∴列a}是以1为首，以2为公等差列，则a=12﹣﹣1；（Ⅱ）③﹣④得：

=，④

，③==∴．

．18分）如图，在三棱锥ABC中，DA=DB=DC，为上一，DE⊥面，F为的中点．（Ⅰ）求证：面⊥平面；（Ⅱ）若DC，∠BAC=45°，求面角A﹣C的弦值．【解答】证明）∵DE面，∴AB⊥DE，又∵F为的中点，，∴AB⊥DF，∩DE=E，且DF、⊂面，又∵⊂面，∴平面⊥面；解）∵面，∴AC⊥DE，又∵，∴为中，∵F是AB中，∴EF，由Ⅰ）知AB⊥∴⊥，又∵∠BAC=45°∴eq\o\ac(△,，)ABC为等腰角角形，AC=4，∴AB=BC=DA=DB=DC=2

，取中点，连AG、CG，则⊥DBCG⊥，∴∠AGC为二面角A﹣BD﹣的平角，eq\o\ac(△,在)中cos∠AGC==﹣，∴二面角﹣BD﹣的弦为﹣．19分某市行阶梯价每人用水量不过立方米部分按元/立方米收费超出方米的分按/方米收，从该市机调查了位市民他们月的水量据如下频率直方图，并且四组数成差数，（Ⅰ）求b，的及居民用介于﹣频数；（Ⅱ）根据此查，为使居民用水为元/方米，应为多少立方？（精确到小掉后）（Ⅲ若将频视为概现从该市机调查名民的用量将月用水量不超过立方米人数为求其布列其均．【解解）∵四组数成差数，∴对应的率也等差数，设+，b=0.2+2d，3d，∴（a+0.2++2d++3d+d+++0.1），解得，a=0.3，b=0.4，c=0.5．居民月用量介于2.5的频为．居民用水量介于的频数为×100=25人．（）由图可知，居民月用水小于的频率为＜，∴为使80%以民月价格为/立方米，应定为≈立方．（）将频率视为概率，设A代居民月用水量，由图知：P（A2.5），由题意X～（3，，P（==0.027，P（=，P（=，P（=．∴X的分布为：X0123P0.0270.4410.343∵X～（3，（X）．20分）已知椭C的中心在点，焦点轴上，离心等于的一个顶点好抛线2

=﹣的焦点（）求椭圆的标方程；（）若圆O：2

+y2

=r

2

与椭圆C交于，D四，当半径r为多时，四边形ABCD的面最大？求出最大积．【解】）∵椭圆C的中心原点焦点在轴上，它的一个点恰好抛物线2

=﹣的焦点离等于，∴设椭程为，根据题：，），矩面00maxmax），矩面00maxmax解得：所以椭圆方程为；（（则的y|由得，∴

==﹣（，∴（），∴S，此时=．即r=

．21分函数（x）﹣+1，g（）=﹣2x+3x2﹣．（）求函数x）在，e]上两个零点求的取值范围；（）求证：）+ax＞g（x【解答解）由（）=xlnxax+1=0得：a=lnx+，问题转化为+在[，e]上有2个不同的解，令hx）=lnx+，x∈[，e]，则（x）=，令h（x）＞：＞1，令h′（＜：x＜，故hx）在（1）递减在（1+∞）增，而h1），（，e）+＜e1，故a的范是（1；（）要证x）ax≥g（x要明xlnx+1g（x，先证+1≥，构造函数（x）=xlnx+x，，，00，，00∵F′（x）+lnx﹣1=lnx，x=1时，F′（x）=0当x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，′（x）＞0，故（）在[01]减，在[1+∞）增，故（）≥F（1=0，证1≥，等成立且仅当，再证明∈[，+∞）时，g（x）≤，构造函数G（x）=x﹣g（x）

，∵G′（）=6

≥0，∴G（x）在[，+∞）递增，∴G（x）≥G（证明（x）≤x，等