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第十章曲线积分与曲面积分教课目标:理解两类曲线积分的观点,认识两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线积分的方法。3.

娴熟掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径没关的条件,会求全微分的原函数。认识两类曲面积分的观点、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,认识高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。知道散度与旋度的观点,并会计算。6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教课要点:1、两类曲线积分的计算方法;2、格林公式及其应用;3、两类曲面积分的计算方法;4、高斯公式、斯托克斯公式;5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教课难点:1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系;2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分;4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分;5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。§10.1对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的观点与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的地点在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量把曲线分红n小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)sin整个物质曲线的质量近似为M(i,i)sii1令max{s1s2sn}0则整个物质曲线的质量为nMlim(i,i)si0i1这类和的极限在研究其他问题时也会碰到定义设L为xOy面内的一条圆滑曲线弧函数f(xy)在L上有界在L上随意插入一点列M1M2Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si又(ii)为第i个小段上随意取定的一点作乘积f(ii)si(i12n)nf(i,)si假如当各小并作和i1i弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作Lf(x,y)ds即nf(x,y)dslimf(i,i)siL0i1此中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上而且有界将L随意分红n个弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧长n在每一弧段si上任取一点(ii)作和f(i,i)si1i令max{s1s2sn}假如当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作f(x,y)ds即Lnf(x,y)dslimf(i,i)siL0i1此中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(xy)在圆滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分f(x,y)ds是存在的此后我们总假定f(xy)在L上是连续的L依据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分L(x,y)ds的值其中(xy)为线密度n对弧长的曲线积分的推行f(x,y,z)dslimf(i,i,i)si0i1假如L(或)是分段圆滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在圆滑的各段上的曲线积分的和比如设L可分红两段圆滑曲线弧L1及L2则规定L1f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)dsL2L1L2闭曲线积分假如L是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作f(x,y)dsL对弧长的曲线积分的性质性质1设c1、c2为常数则L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds性质2若积分弧段L可分红两段圆滑曲线弧L1和L2则Lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)dsL1L2性质3设在L上f(xy)g(xy)则f(x,y)dsg(x,y)dsLL特别地有|f(x,y)ds||f(x,y)|dsLL二、对弧长的曲线积分的计算法依据对弧长的曲线积分的定义假如曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为f(x,y)dsL另一方面若曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为f(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt曲线的质量为f[(t),(t)]2(t)2(t)dt即Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)此中(t)、(t)在[]上拥有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分f(x,y)ds存L在且Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)证明(略)应注意的问题定积分的下限必定要小于上限议论(1)若曲线L的方程为y(x)(axb)则f(x,y)ds?L提示L的参数方程为xxy(x)(axb)b(x)]12(x)dxLf(x,y)dsf[x,a(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd)则f(x,y)ds?L提示L的参数方程为x(y)yy(cyd)d(y),y]2(y)1dyLf(x,y)dsf[c(3)若曲的方程为x(t)y(t)z(t)(t)则f(x,y,z)ds?提示f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt例1计算yds此中L是抛物线yx2上点O(00)与点B(11)之间的一段弧L解曲线的方程为yx2(0x1)所以yds121(x2)2dx114x2dx1(551)xxL0012例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L关于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解取坐标系以下图则Iy2dsL曲线L的参数方程为xRcosyRsin(<)于是Iy2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2dLR3sin2dR3(sincos)例3计算曲线积分(x2y2z2)ds此中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0抵达2的一段弧解在曲线上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2而且ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt(x22于是y2z2)ds(a2k2t2)a2k2dt02a2k2(3a242k2)3小结用曲线积分解决问题的步骤成立曲线积分写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确立参数的变化范围将曲线积分化为定积分计算定积分§102对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的观点与性质变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿圆滑曲线弧L挪动到点B试求变力F(xy)所作的功用曲线L上的点AA0A1A2An1AnB把L分红n个小弧段设Ak(xkkAA的长度为sk它与x轴的夹角为k则y)有向线段kk1AkAk1{cosk,sink}sk(k012n1)明显变力F(xy)沿有向小弧段AkAk1所作的功能够近似为F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk于是变力F(xy)所作的功n1n1WF(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]skk1k1进而WL[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds这里(xy){cossin}是曲线L在点(xy)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分红n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi变力在L上所作的功近似为n[P(i,i)xiQ(i,i)yi]i1变力在L上所作的功的精准值nWlim[P(i,i)xiQ(i,i)yi]0i1此中是各小弧段长度的最大值提示用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量用si表示si的模对坐标的曲线积分的定义定义设函数f(xy)在有向圆滑曲线L上有界把L分红n个有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)为Li上随意一点为各小弧段长度的最大值n假如极限limf(i,i)x总存在则称此极限为函数0i1if(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作f(x,y)dx即Lnf(x,y)dxlimf(i,i)xiL0i1n假如极限limf(i,i)yi总存在则称此极限为函数0i1f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作f(x,y)dy即Lnf(x,y)dylimf(i,i)yiL0i1设L为xOy面上一条圆滑有向曲线{cossin}是与曲线方向一致的单位切向量函数P(xy)、Q(xy)在L上有定义假以以下二式右端的积分存在我们就定义P(x,y)dxP(x,y)cosdsLLQ(x,y)dyQ(x,y)sindsLL前者称为函数P(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分后者称为函数Q(xy)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分定义的推行设为空间内一条圆滑有向曲线{coscoscos}是曲线在点(xyz)处的与曲线方向一致的单位切向量函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义(若是各式右端的积分存在)P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)cosdsQ(x,y,z)cosdsR(x,y,z)cosdsnLf(x,y,z)dxlimf(i,i,i)xi0i1nf(x,y,z)dylimf(i,i,i)yiL0i1nf(x,y,z)dzlimf(i,i,i)ziL0i1对坐标的曲线积分的简写形式P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)dxQ(x,y)dyLLLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz对坐标的曲线积分的性质假如把L分红L1和L2则LPdxQdyPdxQdyL2PdxQdyL1(2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则P(x,y)dxQ(x,y)dP(x,y)dxQ(x,y)dyLL两类曲线积分之间的关系设{cosisini}为与si同向的单位向量我们注意到{xiyi}si所以xicosisiyisinisinLf(x,y)dxlimf(i,i)xi0i1limnf(i,i)cosisif(x,y)cosds0i1LnLf(x,y)dylimf(i,i)yi0i1limnf(i,i)sinisif(x,y)sinds0i1L即LPdxQdyL[PcosQsin]ds或AdrAtdsLL此中A{PQ}t{cossin}为有向曲线弧L上点(xy)处单位切向量drtds{dxdy}近似地有PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds或AdrAtdsAtds此中A{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单们切向量drTds{dxdydz}At为向量A在向量t上的投影二、对坐标的曲线积分的计算定理设P(xy)、Q(xy)是定义在圆滑有向曲线Lx

(t)y

(t)上的连续函数

当参数

t单一地由

变到

时点M(xy)从

L的起点

A沿L

运动到终点

B则P(x,y)dxP[(t),(t)](t)dtLQ(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dtL议论P(x,y)dxQ(x,y)dy?L提示P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL定理若P(xy)是定义在圆滑有向曲线Lx(t)y(t)(t)上的连续函数L的方向与t的增添方向一致则P(x,y)dxP[(t),(t)](t)dtL简要证明不如设对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t)(t)}所以cos(t)2(t)2(t)进而P(x,y)dxP(x,y)cosdsLLP[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt2(t)2(t)P[(t),(t)](t)dt应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不必定小于议论若空间曲线由参数方程xt)y=(t)z(t)给出那么曲线积分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz?如何计算提示P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt此中对应于的起点对应于的终点例题例1计算xydx此中L为抛物线y2x上从点A(11)到点B(11)的一段弧L解法一以x为参数L分为AO和OB两部分AO的方程为yxx从1变到0OB的方程为yxx从0变到1所以xydxxydxxydxLAOOB0x)dx1xdx2134x(xx2dx1005第二种方法以y为积分变量L的方程为2y从1变到1所以xyxydx114dy4y2y(y2)dy2yL115例2计算y2dxL(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2(2)从点A(a0)沿x轴到点B(a0)的直线段解(1)L的参数方程为xacosyasin从0变到所以y2dxa2sin2(asin)da3(1cos2)dcos4a3L003(2)L的方程为y0x从a变到a2a所以00ydxLa例3计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线2上从O(00)到B(11)的一段弧(3)从O(00)到A(10)再到R(11)的有向折线OABxy解(1)Ly2所以xx从0变到12xydxx2dy11x3dx10(2xx2x22x)dx4L0(2)Lxy2y从0变到1所以2xydxx2dy1y2yy4)dy5110(2y2y4dyL0(3)OAy0x从0变到1ABx1y从0变到12xydxx2dy2xydxx2dy2xydxx2dyLOAAB1x20)dx1(2x0(2y01)dy01100例4计算x3dx3zy2dyx2ydz此中是从点A(321)到点B(000)的直线段AB解直线AB的参数方程为x3ty2txtt从1变到0所以所以I0t3tt22t2tdt03dt87411例5设一个质点在M(xy)处遇到力F的作用F的大小与M到原点O的距离成正比F的方向恒指向原点此质点由点A(a0)沿椭圆x2y21按逆时针方向挪动到点B(0b)a2b2求力F所作的功W例5一个质点在力F的作用下从点A(a0)沿椭圆x2y21按逆时针方向挪动到点22abB(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到2rOM

xi

yj

Fk|r|(

r)|r|

k(xi

yj)此中

k>0是比率常数于是

W

AB

kxdxkydy

k

AB

xdx

ydyk2(a2costsintb2sintcost)dt0k(a2b2)2sintcostdtk(a2b2)02三、两类曲线积分之间的联系由定义得Pdx

Qdy

(Pcos

Qsin

)dsL

L{P,Q}{cos

,sin

}ds

FdrL

L此中

F

{PQ}

T{cos

sin}为有向曲线弧

L上点(xy)处单位切向量

drTds{dx

dy}近似地有Pdx

Qdy

Rdz

(Pcos

Qcos

Rcos)ds{P,Q,R}{cos

,cos,cos}ds

Fdr此中

F

{P

QR}

T{cos

cos

cos}为有向曲线弧

上点(xyz)处单们切向量

drTds{dx

dydz}§103格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通地区设D为平面地区假如D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通地区不然称为复连通地区对平面地区D的界限曲线L我们规定L的正向以下当察看者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边地区D的界限曲线L的方向定理1设闭地区D由分段圆滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上拥有一阶连续偏导数则有(QP)dxdyPdxQdyxyLD此中L是D的取正向的界限曲线简要证明仅就D即是X-型的又是-Y型的地区情况进行证明设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为P连续所以由二重积分的计算法有yPdxdyb2(x){1(x)yaD

P(x,y)dy}dxb2(x)]P[x,1(x)]}dx{P[x,ya另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有PdxPdxPdxb1(x)]dxa2(x)]dxP[x,P[x,LL1L2abbP[x,2(x)]}dx{P[x,1(x)]a所以PdxdyPdxyLD设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}近似地可证QdxdyQdxxLD因为D即是X-型的又是Y-型的所以以上两式同时成立两式归并即得QPdxdyPdxQdyDxyL应注意的问题对复连通地区D格林公式右端应包含沿地区D的所有界限的曲线积分且界限的方向对地区D来说都是正向设地区D的界限曲线为L取PyQx则由格林公式得2dxdyxdyydx或Adxdy1xdyydxDLD2L例1椭圆xacosybsin所围成图形的面积A剖析只需QP1就有(QP)dxdydxdyAxyDxyD解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的地区令P1yQ1则QP11122xxy22于是由格林公式Adxdy1ydx1xdy1ydxxdyL222LD12

2221ab0(absinabcos)d2

2ab0例2设L是随意一条分段圆滑的闭曲线证明2xydxx2dy0L证令P2xyQx2则QP2x2x0xy所以由格林公式有2xydxx2dy0dxdy0(为何二重积分前有“”号?)LD例3计算ey2dxdy此中D是以O(00)A(11)B(01)为极点的三角形闭地区D剖析要使QPey2Qxey2x只需P0y解令P0Qxey2则QPey2所以由格林公式有xyey2dxdyxey2dyxey2dy1xex2dx1(1e1)0DOAABBOOA2例4计算xdyydx此中L为一条无要点、分段圆滑且不经过原点的连续闭曲线x2y2L的方向为逆时针方向解令PyQx则当x2y20时有Qy2x2Px2y2x2y2x(x2y2)2y记L所围成的闭地区为D当(00)D时由格林公式得xdyydx0Lx2y2当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通地区D1应用格林公式得xdyydxxdyydx0Lx2y2lx2y2此中l的方向取逆时针方向于是xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin22Lx2y2lx2y20r2d解记L所围成的闭地区为D当(00)D时由格林公式得xdyydx(QP)dxdy0Lx2y2Dxy当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通地区D1应用格林公式得xdyydx(QP)dxdy0Llx2y2D1xy即xdyydxxdyydx0Lx2y2lx2y2此中l的方向取顺时针方向于是xdyydxxdyydx2r2cos2r2sin2d2Lx2y2lx2y20r2剖析这里PyQx当x22时有Qy2x2Py2y2y0x(x2y2)2yx2x2二、平面上曲线积分与路径没关的条件曲线积分与路径没关设G是一个开地区P(xy)、Q(xy)在地区G内拥有一阶连续偏导数意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的随意两条曲线L1、L2

假如关于G内任等式PdxQdyPdxQdyL1L2恒成立就说曲线积分PdxQdy在G内与路径没关不然说与路径相关L设曲线积分PdxQdy在G内与路径没关L1和L2是G内随意两条从点A到点BL的曲线则有PdxQdyPdxQdyL1L2因为PdxQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdy0L1L2L1L2PdxQdyPdxQdy0(L2)PdxQdy0L1L2L1所以有以下结论曲线积分PdxQdy在G内与路径没关相当于沿G内随意L闭曲线C的曲线积分PdxQdy等于零L定理

2设开地区

G是一个单连通域

函数P(xy)及Q(xy)在

G内拥有一阶连续偏导数则曲线积分

PdxQdy在

G内与路径没关(或沿

G内随意闭曲线的曲线积分为零)L的充分必需条件是等式Qyx在G内恒成立充分性易证若PQ则QP0由格林公式对随意闭曲线Lyxxy有PdxQdyQPdxdy0LDxy必需性假定存在一点M0GQP0不如设>0使yx则由QP的连续性存在M0的一个邻域U(M0,)xy使在此邻域内有QP于是沿邻域U(M0,)界限l的闭曲线积分xy2PdxQdy(QP)dxdy20lU(M0,)xy2这与闭曲线积分为零相矛盾所以在G内QP0xy应注意的问题定理要求地区G是单连通地区且函数P(xy)及Q(xy)在G内拥有一阶连续偏导数假如这两个条件之一不可以知足那么定理的结论不可以保证成立损坏函数P、Q及P、Q连续性的点称为奇点yx例5计算2xydxx2dy此中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧L解因为PQ2x在整个xOy面内都成立yx所以在整个xOy面内积分L2xydxx2dy与路径没关2xydxx2dy2xydxx2dy2xydxx2dyLOAAB1211dy0议论设L为一条无要点、分段圆滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问xdyydx0能否必定成立?Lx2y2提示这里Py和Qx在点(00)不连续x2y2x2y2因为当x220时Qy2x2P所以假如(00)不在L所围成的地区内则结论yx(x2y2)2y成立而当(00)在L所围成的地区内时结论未必成立三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径没关表示曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)相关PdxQdy与路径没关(x,y)PdxQdy假如则把它记为L(x0,y0)PdxQdy(x,y)Qdy即PdxL(x0,y0)若起点(x0y0)为G内的必定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)(x,y)PdxQdy(x0,y0)为G内的的函数二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy表达式P(xy)dx+Q(xy)dy与函数的全微分有同样的构造但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dx+Q(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢?当这样的二元函数存在时如何求出这个二元函数呢?定理3设开地区G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内拥有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必需条件是等式Qyx在G内恒成立简要证明必需性假定存在某一函数u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy则有Py(u)2uQx(u)2uyxxyxyyx因为2uP、2uQ连续所以xyyyxx2u2u即PQxyyxyx充分性因为在G内PQ所以积分P(x,y)dxQ(x,y)dyyxL在G内与路径没关在G内从点(x0y0)到点(xy)的曲线积分可表示为考虑函数u(xy)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(x0,y0)因为u(xy)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy(x0,y0)yQ(x0,y)dyxy0P(x,y)dxx0uy,)x,)(,)所以((xxQx0ydyPxydxPxyy0xx0近似地有uQ(x,y)进而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函y数的全微分求原函数的公式(x,y)Q(x,y)dyu(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)xP(x,y0)dxyu(x,y)Q(x,y)dyx0y0yQ(x0,y)dyxu(x,y)P(x,y)dxy0x0例6考证xdyydx在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函x2y2数解这里PyQxy2y2x2x2因为P、Q在右半平面内拥有一阶连续偏导数且有Qy2x2Px(x2y2)2y所以在右半平面内xdyydx是某个函数的全微分x2y2取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线则所求函数为(x,y)xdyydxyxdyarctanyu(x,y)y20x2y2x(1,0)x20问为何(x0y0)不取(00)?例6考证在整个xOy面内22并求出一个这样的函xydxxydy是某个函数的全微分数解这里Pxy2Q因为P、Q在整个

x2yxOy面内拥有一阶连续偏导数

且有Q2xyPxy所以在整个xOy面内xy2dxx2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(00)到A(x0)再到B(xy)的折线则所求函数为(x,y)2dxx2ydy0y2ydyx2yydyx2y2u(x,y)xyx02(0,0)0思虑与练习1在单连通地区G内假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数且恒有QP那xy么(1)在G内的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否与路径没关?L(2)在G内的闭曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否为零?L(3)在G内P(xy)dxQ(xy)dy是不是某一函数u(xy)的全微分?2在地区G内除M0点外假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数且恒有QPxyG1是G内不含M0的单连通地区那么(1)在G1内的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否与路径没关?L(2)在G1内的闭曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否为零?L(3)在G1内P(xy)dxQ(xy)dy是不是某一函数u(xy)的全微分?在单连通地区G内假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数PQQP特别简单那么yx但xy如何计算G内的闭曲线积分?如何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算(exsiny2y)dx(excosy2)dy此中L为逆时针方向的L上半圆周(xa)2y2a2y0§104对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的观点与性质物质曲面的质量问题设为面密度非均匀的物质曲面

其面密度为

(xyz)

求其质量把曲面分红n个小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)n(,,)S((上随意一点)求质量的近似值iiiiii)是Sii1iMlimn(i,i,i)Si(为各小块曲面直径的最大值取极限求精准值)0i1定义设曲面是圆滑的函数f(xyz)在上有界把随意分红n小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)在Si上任取一点(iii)假如当各小块曲面的直径的最n大值0时极限limf(i,i,i)S总存在则称此极限为函数f(xyz)在曲面上对0i1i面积的曲面积分或第一类曲面积分记作f(x,y,z)dS即nf(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si0i1此中f(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面对面积的曲面积分的存在性我们指出当f(xyz)在圆滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今后总假定f(xyz)在上连续依据上述定义面密度为连续函数(xyz)的圆滑曲面的质量M可表示为(xyz)在上对面积的曲面积分Mf(x,y,z)dS假如是分片圆滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在圆滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和比如设可分红两片圆滑曲面1及2(记作12)就规定f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS1212对面积的曲面积分的性质(1)设c1、c2为常数则[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dSc1f(x,y,z)dSc2g(x,y,z)dS(2)若曲面可分红两片圆滑曲面1及2则f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS12(3)设在曲面上f(xyz)g(xyz)则f(x,y,z)dSg(x,y,z)dSdSA此中A为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(xyz)的物质曲面的质量为nMlimf(i,i,i)Sif(x,y,z)dS0i1另一方面假如由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影地区为D那么曲面的面积元素为dA1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdy质量元素为f[x,y,z(x,y)]dAf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdy依据元素法曲面的质量为Mf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2y(x,y)dxdyD所以f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdyD化曲面积分为二重积分设曲面由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影地区为Dxy函数zz(xy)在Dxy上拥有连续偏导数被积函数f(xyz)在上连续则f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)dxdyxyDxy假如积分曲面的方程为yy(zx)Dzx为在zOx面上的投影地区则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),z]1y2(z,x)y2(z,x)dzdxzxDzx假如积分曲面的方程为xx(yz)Dyz为在yOz面上的投影地区则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]1xy2(y,z)xz2(y,z)dydzDyz例1计算曲面积分1dS此中是球面x2y2z2a2被平面zzh(0ha)截出的顶部解的方程为za2x2y2Dxyx2y2a2h2因为zxxzyya2x2y2a2x2y2dS1zx2zy2dxdya2ay2dxdyx21a2ay2dxdy所以zx2Dxya2da2h2rdr2a[1ln(a2r2)]0a2h22alna00a2r22h提示1221x2y2azxzya2x2y2a2x2y2a2x2y2例2计算xyzdS此中是由平面x0y0z0及xyz1所围成的四周体的整个界限曲面解整个界限曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分挨次记为1、2、3及4于是xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS1234000xyzdS3xy(1xy)dxdy4Dxy31xdx1xxy)dy31(1x)3dx300y(1x61200提示4z1xydS1zx2zy2dxdy3dxdy§105对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的观点与性质有向曲面往常我们碰到的曲面都是两侧的比如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0在曲面的下侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分近似地假如曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左边与右边在曲面的右边cos0在曲面的左边cos0假如曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0设是有向曲面在上取一小块曲面S把S投影到xOy面上得一投影地区这投影地区的面积记为()xy假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有同样的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为()xycos0(S)xy()xycos00cos0此中cos0也就是()xy0的情况近似地能够定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一侧的流量设稳固流动的不行压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量假如流体流过平面上面积为A的一个闭地区且流体在这闭地区上各点处的流速为(常向量)v又设n为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭地区的流体构成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体当(v^n)时这斜柱体的体积为2A|v|cosAvn当(v^n)时明显流体经过闭地区A的流向n所指一侧的流量为零而Avn0,2故Avn当(v^n)时Avn0这时我们仍把Avn称为流体经过闭地区A流向n所指一侧的2流量它表示流体经过闭地区A实质上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Avn所以无论(v^n)为何值流体经过闭地区A流向n所指一侧的流量均为Avn把曲面分红n小块圆滑的和v是连续的前提下的流速

S1S2Sn(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在是只需Si的直径很小我们就能够用Si上任一点(i,i,i)处viv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k取代Si上其他各点处的流速以该点(i,i,i)处曲面的单位法向量nicosiicosijcosik取代Si上其他各点处的单位法向量进而获得经过Si流向指定侧的流量的近似值为viniSi(i1,2,,n)于是经过流向指定侧的流量nSivinii1n[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Sii1但cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以上式能够写成n[P(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy]1令0取上述和的极限就获得流量的精准值这样的极限还会在其他问题中碰到抽去它们的详细意义就得出以下对坐标的曲面积分的观点i当作是一小块平面其法线向量为ni则经过i流向指定侧的流量近似提示把SS地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为|vi|高为|vi|cos(vi^ni)vini体积为viniSi因为nicosiicosijcosikviv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)kviniSi[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si而cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以viiii,i,iiyzQ(i,i,iizxR(i,i,iixynSP()(S))(S))(S)关于上的一个小块明显在t时间内流过的是一个曲折的柱体它的体积近似于以为底而高为(|V|t)cos(V^n)Vnt的柱体的体积VntS这里n(coscoscos)是上的单位法向量S表示的面积所以单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于VnS(P(xyz)cosQ(xyz)cosR(xyz)cos)S假如把曲面分红n小块i(i12···n)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于n{P(xi,yi,zi)cosiQ(xi,yi,zi)cosiR(xi,yi,zi)cosi}Si1按对面积的曲面积分的定义{P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos}dSVndS舍去流体这个详细的物理内容我们就抽象出以下对坐标的曲面积分的观点定义设为圆滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把随意分红n块小曲面Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点假如当各小块曲面的直径的最大值0时nlimR(i,i,i)(Si)xy0i1总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分:记作R(x,y,z)dxdy即近似地有

nR(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy0i1nP(x,y,z)dydzlimP(i,i,i)(Si)yz0i1nQ(x,y,z)dzdxlimQ(i,i,i)(Si)zx0i1此中R(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面定义设是空间内一个圆滑的曲面n(coscoscos)是其上的单位法向量V(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))是确在上的向量场假以以下各式右端的积分存在我们定义P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy

P(x,y,z)cosdSQ(x,y,z)cosdSR(x,y,z)cosdS并称P(x,y,z)dydz为P在曲面上对坐标y、z的曲面积分Q(x,y,z)dzdx为Q在曲面上对坐标z、x的曲面积分R(x,y,z)dxdy为R在曲面上对坐标y、z的曲面积分此中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分对坐标的曲面积分的存在性对坐标的曲面积分的简记形式在应用上出现许多的是P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy流向指定侧的流量可表示为P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy一个规定假如是分片圆滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片圆滑曲面上对坐标的曲面积分之和对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分拥有与对坐标的曲线积分近似的一些性质比如(1)假如把分红1和2则PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy12(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy这是因为假如n(coscoscos)是的单位法向量则上的单位法向量是n(coscoscos)PdydzQdzdxRdxdy{P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cos}dSPdydzQdzdxRdxdy二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分设积分曲面由方程地区为Dxy函数zz(xy)在Dxy上拥有一阶连续偏导数有

zz(xy)给出的在xOy面上的投影被积函数R(xyz)在上连续则R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy此中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”这是因为按对坐标的曲面积分的定义有nR(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy0i1当取上侧时cos0所以(Si)xy(i)xy又因(i,i,i)是上的一点故iz(i,i)进而有nnR(i,i,i)(Si)xyR[i,i,z(i,i)](i)xyi1i1令0取上式两头的极限就获得R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy同应当取下侧时有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy因为当取上侧时cos0(Si)xy(i)xy当(i,i,i)时iz(i,i)进而有nR(x,y,z)dxdylimR(i,i,i)(Si)xy0i1nlimR[i,i,z(i,i)](i)xyR[x,y,z(x,y)]dxdy0i1Dxy同应当取下侧时有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy这是因为n(coscoscos)1{zx,zy,1}cos11zx2zy21zx2zy2dS1zx2zy2dxdyR(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy近似地假如由xx(yz)给出则有P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydzDyz假如由yy(zx)给出则有Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdxDzx应注意的问题应注意符号确实定例1计算曲面积分x2dydzy2dzdxz2dxdy此中是长方体的整个表面的外侧((xyz)|0xa0yb0zc)解把的上下面分别记为1和2前后边分别记为3和4左右边分别记为5和61zc(0xa0yb)的上侧2z0(0xa0yb)的下侧3xa(0yb0zc)的前侧4x0(0yb0zc)的后侧5y0(0xa0zc)的左边6yb(0xa0zc)的右边除3、4外其他四片曲面在yOz面上的投影为零所以x2dydzy2dydzx2dyda2dydz0dydza2bc34DyzDyz近似地可得y2dzdxb2acz2dxdyc2ab于是所求曲面积分为(abc)abc例2计算曲面积分

xyzdxdy此中是球面x2y2z21外侧在x0y0的部分解把有向曲面分红以下两部分1z1x2y2(x0y0)的上侧2z1x2y2(x0y0)的下侧1和2在xOy面上的投影地区都是221(x0y0)Dxyxy于是xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy12xy1x2y2dxdyxy(1x2y2)dxdyDxyDxy2xy1x2y2dxdy22d1r2sincos1r2rdr2Dxy0015三、两类曲面积分之间的联系设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影地区为Dxy函数zz(xy)在Dxy上拥有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续假如取上侧则有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦为zxcoszycos1cos1zx2zy21zx2zy21zx2zy2故由对面积的曲面积分计算公式有R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy因而可知有R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cosdS假如取下侧则有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdyDxy但这时cos1所以仍有1zx2zy2R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cosdS近似地可推得P(x,y,z)dydzP(x,y,z)cosdSQ(x,y,z)dzdxP(x,y,z)cosdS综合起来有PdydzQdzdxRdxdy

(Pcos

Qcos

Rcos

)dS此中

cos

、cos

、cos

是有向曲面

上点

(xyz)处的法向量的方向余弦两类曲面积分之间的联系也可写成以下向量的形式AdS

AndS

AdS

AndS此中

A

(PQR)

n

(cos

cos

cos)是有向曲面

上点(xyz)处的单位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)

称为有向曲面元

An为向量

A在向量

n上的投影例3计算曲面积分(z2x)dydzzdxdy此中是曲面z1(x2y2)介于平面z0及z2之间的部分的下侧2解由两类曲面积分之间的关系可得(z2x)dydz(z2x)cosdS(z2x)cosdxdycos在曲面上提示曲面上向下的法向量为(xy1))cos1xy2cos11y2dS1x2y2dxdyx2x2故(z2x)dydzzdxdy[(z2x)(x)z]dxdy{[1(x2y2)2x](x)1(x2y2)}dxdyx2y2442[x21(x2y2)]dxdy2d22cos21r2)rdr80(rx2y24202解由两类曲面积分之间的关系可得(z2x)dydzzdxdy[(z2x)coszcos]dS{[1(x2y2)2x]x1(x2y2)(1)}dxdyx2y2442x(x2y2)2dxdy[x21(x2y2)]dxdyx2y244x2y2422d2221r2)rdr8(rcos200提示x(x2y2)2dxdy0x2y244§106高斯公式通量与散度一、高斯公式定理1设空间闭地区是由分片圆滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上拥有一阶连续偏导数则有(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdyxyz或(PQR)dv(PcosQcosRcos)dSyxz简要证明设是一柱体上界限曲面为1zz2(x,y)下界限曲面为2zz1(x,y)侧面为柱面31取下侧2取上侧3取外侧依据三重积分的计算法有Rdvz2(x,y)dxdyzz1(x,y)Dxy

dzz{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdyxy另一方面有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z1(x,y)]dxdy1DxyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z2(x,y)]dxdy2DxyR(x,y,z)dxdy03以上三式相加得R(x,y,z)dxdy{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdyxy所以RdvR(x,y,z)dxdyz近似地有Pdvx

P(x,y,z)dydzQdv

Q(x,y,z)dzdxy把以上三式两头分别相加即得高斯公式例1利用高斯公式计算曲面积分(xy)dxdy(yz)xdydz此中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭地区

的整个界限曲面的外侧解这里P(yz)xQ0RxyPx

yz

Qy

0

Rz

0由高斯公式

有(x

y)dxdy(y

z)dydz(yz)dxdydz(sinz)dddz213z)dz9dd(sin2000例2计算曲面积分(x2cosy2cosz2cos)dS此中为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦解设1为zh(x2y2h2)的上侧则与1一同构成一个闭曲面记它们围成的空间闭地区为由高斯公式得(x2cosy2cosz2cos)dShy2(xh2dxdyx2yz)dz2dxdyx2y2zdzx2y2h2x2y2h2(h2x2y2)dxdy1h4x2y2h22h提示dxdyx2y2(xy)dz0x2y2h2而(x2cosy2cosz2cos)dSz2dSh2dxdyh411x2y2h2所以(x2cosy2cosz2cos)dS1h4h41h422提示依据被积函数的奇偶性和积分地区的对称性例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭地区上拥有一阶及二阶连续偏导数证明uvdxdydzuvdS(uvuvuv)dxdydznxxyyzz此中是闭地区的整个界限曲面v为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方导游数

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