高等几何试题

高等几何试题一、填空题（每题

3分，共

27分）1、两个三角形面积之比是（

）。2、相交于影消线的二直线必射影成（

）。3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（4、一点x (x1,x2,x3)在一直线u u1,u2,u3 上的充要条件

）。是（

）。5、已知

(p1p2,p3p4)

3,则(p4p3,p2p1)=（

），(p1p3,p2p4)=（

）。6、如果四直线

p1,p2,p3,p4满足

(p1p2,p3p4)

1，则称线偶

p3,p4和

p1,p2（ ）。7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（）。8、不在二阶曲线上的两个点P(p1p2p3)，Q(q1q2q3)关于二阶曲线Saijxixj0成共轭点的充要条件是（）。9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）。二、计算题（每题8分，共56分）1、计算椭圆的面积（椭圆方程：x2y21a,b0）a2b22、求共点四线l1:yk1x，l2:yk2x，l3:yk3x，l4:yk4x的交比。x1x13、求射影变换x2x2的不变元素。x3x34、求二阶曲线6x12 x22 24x32 11x2x3 0经过点P(1,2,1)的切线方程。5、求双曲线6、求抛物线

x22xy3y22x4y0的渐近线方程。2x24xy2y24x10的主轴和顶点。7、求使三点O(0, )，E(1,1)，P(1,1)顺次变到点O(2,3)，E(2,5)，P(3, 7)的仿射变换。三、已知A(1,2,3)，B(5,1,2)，C(11,0,7)，D(6,1,5)，验证它们共线并求(AB,CD)的值。（8分）四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。（9分）答案一、1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1u2x2u3x305、326、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、Spq09、这个变换使圆点保持不变二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为x2y21a2b2x x经过仿射变换其对应图形为圆。

y①aybx2y2a2在仿射变换①之下，AA，BB，OO，所以VAOB对应VAOB，其中AA，根据定理3.6推论2，有椭圆面积圆面积SVAOBSVAOB所以椭圆面积a21ab1a222因此所给椭圆的面积为ab。2、解：化为齐次方程：l1:x2k1x10l2:x2k2x10l3:x2k3x10l4:x2k4x10取a:x20,b:x10为基线，则有l1(a k1b),l2(a k2b),l3(a k3b),l4(a k4b)由定理1.11的推论，得(k1k3)(k2k4)(l1l2,l3l4)k3)(k1k4)(k23、解：由方程1000100001得(1)(1)(1)0所以11，21（重根）将1代入（3.4.3）得(11)y10y20y300y1(11)y20y300y10y2(11)y30于是得y1 0为不变点列（即y轴），y1 0这条直线上的点都是不变点，因此这条直线是不变直线。4、解：将P点的坐标代入二阶曲线方程中得 Spq 0所以P点在二阶曲线上，故切线方程为 Sp 0即亦即

600x1(1,2,1)0111x202x301124212x17x226x30为所求切线方程。5、解：设渐近线的方程为a11x1 a12x2a13x3k(a12x1a22x2a32x3)0根据（2.9）有 3k2 2k 1 0解之，得k11,k21，所以渐近线方程为31xy1(x3y2)0和xy1(x3y2)03化简，得所求为2x2y10和2x6y50。6、解：因为A312222424,A32200代入（4.11），得主轴为即

4(2x2y2)4(2x2y)02x2y10解方程2x24xy2y24x102x2y10得顶点之坐标为(3,1)。887、解：设所求仿射变换为xa11xa12ya13ya21xa22ya23于是有2a133a232a11a12a135a21a22a233a11a12a137a21a22a23解此方程组，得a132，a233，a111，a121，a214，a22622故所求的仿射变换为x1x1y222y4x6y3三、解：因为1231235120且51201107615所以A,B,C,D共线。设CA1B,DA2B由11125,022(1),7322得12同理可得21所以(AB,CD)122四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为：0（1）0（2）由于它们是射影对应，所以 , 满足：abcd0(adbc0)（3）从（1），（2），（3）中消去 , 得a()()b()c(