层次分析法及matlab程序

建模层次分析法(AHP－AnalyticHierachyprocess)----多目标决策方法分析方法论。吸收利用行为科学的特点,就是将决策者的经验判断给予量化,对目标(因素)结构复杂而且缺乏必要的数据情况下,採用此方法较为实用,就是一种系统科学中,常用的一种系统分析方法,因而成为系统分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学与社会科学的方法有:机理分析方法:利用经典的数学工具分析观察的因果关系;统计分析方法:利用大量观测数据寻求统计规律,用随机数学方法描述(自然现象、社会本内容:(1)多目标决策问题举例AHP建模方法(2)AHP建模方法基本步骤(3)AHP建模方法基本算法(3)AHP建模方法理论算法应用的若干问题。2、程理民等,运筹学模型与方法教程,(第10章),清华大学出版社一、问题举例:A.大学毕业生就业选择问题就毕业生来说选择单位的标准与要求就是多方面的,例如:①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献(即工作岗位适合发挥专长);②工作收入较好(待遇好);③生活环境好(大城市、气候等工作条件等);(声誉-Reputation);⑤工作环境好(人际关系与谐等)⑥发展晋升(promote,promotion)机会多(如新单位或单位发展有后劲)等。问题:现在有多个用人单位可供她选择,因此,她面临多种选择与决策,问题就是她将如何作出？工作选工作选择贡献收入发展声誉工作环境生活环境-----nPB、假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。例如:P:苏州杭州,P北戴河,P桂林,到底到哪个地方去旅23游最好？要作出决策与选择。为此,要把三个旅游地的特点,例如:①景色;②费用;③居住;④环境;⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则,最后综合评判确定出一个可选择的最优方选择旅游地准则层方案层P1P2P3C.资源开发的综合判断7种金属可供开发,开发后对国家贡献可以通过两两比较得到,决定对哪种资源先开发,效用经济价值开採费风险费要求量战略重要性交通条件铁In铜Co磷酸盐钿Ur铝Al金Go二、问题分析:例如旅游地选择问题:一般说来,此决策问题可按如下步骤进行:(S1)将决策解分解为三个层次,即:准则层:(景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则)方案层:(有P,P,P三个选择地点)123(S2)互相比较各准则对目标的权重,各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过程中例如:经济好,身体好的人:会将景色好作为第一选择;中老年人:会将居住、饮食好作为第一选择;经济不好的人:会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。(S3)将方案后对准则层的权重,及准则后对目标层的权重进行综合。S终得出方案层对目标层的权重,从而作出决策。矩阵与权向量在确定各层次各因素之间的权重时,如果只就是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而因素比较方法——成对比较矩阵法:目的就是,要比较某一层n个因素C,C,…,C对上一层因素O的影响(例如:旅游决策解中,标中的重要性)。採用的方法就是:每次取两个因素C与C比较其对目标因素O的影响,并用a表示,全部比ijij较的结果用成对比较矩阵表示,即:A=(a),ijnxnija=(或a.a=1)jiaijijij由于上述成对比较矩阵有特点:A=(a),a>0,a=ijijijaji1a=,即:a.a=1,故有:a=1ijaijjijiji(C(景色)对目标O的重要性为4(C(费用)对目标O的重要性为7例如:在旅游决策问题中:2lC(费用)对目标O的重要性为2(C(景色)对目标O的重要性为1lC(费用)对目标O的重要性为22(居住条件)3(居住条件)3lCl (3 (311211171515471233512113)51131？？问题:稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题:①即存在有各元素的不一致性,例如:12C221233C3313C41n2!nnn2!因此,问题就是:如何改造成对比较矩阵,使由其能确定诸因素C,…,C对上层因素O的权n对此Saoty提出了:在成对比较出现不一致情况下,计算各因素C,…,C对因素(上层因n素)O的权重方法,并确定了这种不一致的容许误差范围。为此,先瞧成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性Wa=1=1,…,WWa=1=1,…,W…a=i=n…n2WA=1n1四:一致性矩阵Def:设有正互反成对比较矩阵:(W除满足:(i)(W而且还满足:(ii)一致性:即a=W2=1,…,22WWijWjW2n2a>0ij=ij1ajiijjiaa=i=ak.ijaijah=ikjahji,j=1,2,…n//有点点错误则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵,简称一致阵。一致性矩阵(一致阵)性质:性质2:A的任一列(行)向量都就是对应特征根n的特征向量:即有(特征向量、特征值):(W(WWW2W W2…WW2WW1…n…WWn1…n…WWnW(W(WWWWW2W1(WW1(W1W2：nWn(nW(nW2=…nWnn元素有关)变换将一致W矩阵变成权向量W(特征向量),如果正互反矩阵W’接近一致矩阵,同样的道理变换A可以将W’变成权向量n就是一致矩阵A的特征向量,则可以把向量W就是一致矩阵A的特征向量,则可以把向量W归一化后的向量o,瞧成就是诸元素W1,W2,WW目标的权向量,因此,可以用求A的特征根与特征向量的办法,求出元素W1,W2,W3,…Wn相对于解释:一致矩阵即:n件物体M,M,…,M,它们重量分别为W,W,…,W,将她们两两比较重量,12n12nn(A的特征根为n,分析:iA并记此主观判断作出的矩阵为(主观)判断矩阵A,并且此A(不一致)在不一致的容许范围内,再依据:A的特征根或与特征向量W连续地依赖于矩阵的元素a,即当a离一致性的要求不太远时,A的特征根i与特征ijij值(向量)W与一致矩阵A的特征根入与特征向量W也相差不大的道理:由特征向量W求权向量W的方法即为特征向。问题:Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法与思路,在理论上应解决以下问题:应回答充分条件:即正互反矩阵就是否存在正的最大特征根与正的特征向量？且如果正互反矩阵A的最大特征根n时,A就是否为一致阵？max时,即:由limkkk得到:limWkW即:limAkA否在理论上有依据。A*A,这种近似的替代一致性矩阵A的作法,就导致了产生的偏差估计问题,即一致性检验问题,即要确定一种一致性检验判断指标,由此指标来确定在什么样的允许范围内,主观判断矩阵就是可以接受的,否则,要两两比较构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内P(1)A的最大特征根就是正单根;(2)对应正特征向量W(W的所有分量为正数)keTAke…1证明:(3)可以通过将A化为标准形证明五、一致性检验——一致性指标:1.一致性检验指标的定义与确定——C.I(平均值)的定义:当人们对复杂事件的各因素,采用两两比较时,所得到的主观判断矩阵A,一般不可直接保证AW=nW之间的差别。(上述问题中入就是主观判断矩阵A的特征值,W就是带有偏差的相max对权向量)。这就是由判断矩阵不一致性所引起的。 kkkkkkA为一致阵时有:a=1(a[ii]为对角线上iimax(由一致阵性质1:Rark(4)=1,A有唯一非O最大特征根且入=n)max②当主观判断矩阵A不就是一致矩阵时,此时一般有:入之n(Th2)maxmaxhiimaxmaxk所以,可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则,一致性的指标,显然: (1)当入=n时,有:C.I=0,A为完全一致性max(2)C.I值越大,主观判断矩阵A的完全一致性越差,即:A偏离A越远(用特征向量作为权向量引起的误差越大) (3)一般C.I0.1,认为主观判断矩阵A的一致性可以接受,否则应重新进行两两比较,问题:实际操作时发现:主观判断矩阵A的维数越大,判断的一致性越差,故应放宽对高维矩阵的一致性要求。于就是引入修正值R.I来校正一致性检验指标:即定义R.I的修正值表为:3879 又引入所谓随机一致性指标R.I,其定义与计算过程为:①对固定的n,随机构造正互反阵Ap,其元素a(ij)从1~9与1~19中随机取值,且满足ji③如此构造相当多的Ap,再用它们的C.I平均值作为随机一致性指标。④Satty对于不同的n(n=1~11),用100~500个样本Ap计算出上表所列出的随机一致性指对于n3的成对比较阵A,将它的一致性指标C.I与同阶(指n相同)的随机一致性指标R.I之比称为一致性比率——简称一致性指标,即有:一致性检验指标的定义——一致性比率数数 用其特征向量作为权向量。否则,对主观判断矩阵A重新进行成对比较,构重新的主观判断矩在构造正互反矩阵时,当比较两个可能就是有不同性质的因素C与C对于上层因素Oij的影响时,採用什么样的相对刻度较好,即aij的元素的值在(1~9)或(1~19)或更多的数字,Satty提出用1~9尺度最好,即aij取值为1~9或其互反数1~19,心理学家也提出:人们区分信息等级的极限解能力为7±2。可见对nn阶矩阵,只需作出n(n1)2个判断值即可定定义因素i与因素j相同重要素i比因素j稍重要素i比因素j较重要因素i比因素j非常重要因素i比因素j绝对重要因素i与因素j的重要性的比较值介于上述两个相邻等级之间因素j与因素i比较得到判断值为a的互反ij1a=jiaij标度aij111111112345678913579a=1ii注:以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层,得到的结论认为:1~9尺度不仅在较简单的尺度①1~3,1~5,1~6,…,1~11,以及②(d+0.1)~(d+0.9),其中d=1,2,3,4③1p~9P,其中P=2,3,4,5…等共27种比较尺度,对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断,并构造出成对比较矩阵,计算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律与其她物理知识得到的实际权向量进行对比。结果也发现1~9的比较标度不仅简单,而效果也较好(至少不比其她更复杂的尺度差)因而用1~9的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。量的计算层次分析法的基本思想:(1)计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量Wdef:层次总排序,计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。当然要先:①构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵②计算出成对比较矩阵的特征向量(与法,根法,幂法)③由特征向量求出最大特征根入(由与法,根法,幂法求得)maxmaxn1R.I阵进行一致性检,并通过。(2)并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式:例,假定:上层A有m个元素,A,A,…,A,且其层次总排序权向量为a,a,…,a,下层B有2m12mn个元素B,B,…,B,则按B对12njA个元素的单排序权向量的列向量为b,即iijBB层总就是排序权重(权1次AAjj……mbb：bn2计算出最大特根(方法:与法、根法、幂法)一致性检验C.I=maxn1一致性检验比率C.R=C.I=jj3RImaRIjj=1j1jj=12j2jj=1njnjj=1B1B2：Bnb………2注:①若下层元素B与上层元素A无关系时,取b=0kjkjijijj=1(3)对层次总排序进行一致性检验:从高层到低层逐层进行,如果如果B层次某些元素对A单的排序的一致性指标为CI,相应的平均随机一致性指标为jjRI,则B层总排序随机一致性比率为:C.R=jmaRIjjj=1八、层次分析法的基本步骤:将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次:同一层各因素从属于上一层因素,或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到nn (R.I)(W)最上层为目标层(一般只有一个因素),最下层为方案层或对象层/决策层,中间可以有1个或几个层次,通常为准则层或指标层。(S2)构造成对比较矩阵,以层次结构模型的第2层开始,对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素,用成对比较法与1~9比较尺度构造成对比较矩阵,直到最下层。(S3)计算(每个成对比较矩阵的)权向量并作一致性检验①对每一个成对比较矩阵计算最大特征根入及对应的特征向量(与法、根法、幂法maxn为(B到A)的权向量(即单排序权向量)jj(S4)计算组合权向量并作组合一致性检验——即层次总排序n特征向量,一致性xjxj上上层重权量向量层次B1B2：Bn最大特征根入(i)max一致性检验CIA1a2W：Wn2与法、根法、幂法…………：…Am1amWW：WWxmaWijijj=11j1jW=ab2j2jj=1njnjj=1一致性随机检验RI率CRRI对照表j aCICIjjRIxmaRIj2j=CI=maxAii1n③若未能通过检验,则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率,CR较大的成对比较矩阵九、特征根的近似求法(实用算法)层次分析法的基本思路就是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量(即最大特征根(W)(W)n计算判断矩阵最大特征根与对应阵向量,并不需要追求较高的精确度,这就是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。而且优先排序的数值也就是定性概念的表达,故从应用性来考虑也希望如下:(S1)将矩阵A=(a)的每一列向量的归一化得:=aij(利用数据验证即为:每个位置ijnxmijxnaij的数除以该列的合计)(S2)对按行求与得:=xnijiijj=1~(S3)将W归一化,即有:W=ii~(S3)将W归一化,即有:W=iii=1(W)(W)n是合理的(有依据的)。步骤与“与法”相同,只就是在(S2)时:对归一化后的列向量按行“求与”改为按行“求积”有具体步骤:nn(S1)将矩阵A=(a)的每一列向量归一化得:=ijminij~~ijijxnijxnaijiaijxnaiji~W(ij)~W(ij)(W)(S3)再将W(W)n(S4)计算最大特征根:入=1x(AW)i作为最大特征根的近似值。maxnWi注:“根法”就是将“与法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。(S1)任取n维归一化初始向量W(0)~(S2)计算W(k+1)=AW(k),k=0,1,2,…~~~iii~k~maxnW(k)i=1i准则层:方案层:准则层:方案层:A以上用幂法求最大特征根入对应特征向量的迭代方法,其收敛性由TH1(教材P325)中的maxn注:在以上求特征根与特向量的方法中“与法”最简单。例:在旅游问题中,求目标层到准则层的成对比较矩阵为A注:在以上求特征根与特向量的方法中“与法”最简单。旅旅途饮食居住费用景色选择旅游地(114321111472213531 (35)3(12＝＝ 151) (S1)将A=(W)的元素按列归一化得:ijnxnijnxn 22345ijijiijj=1(S3)再将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值,i1maxnWi=1i=5=5L.2211.22110.0550.0995(0.2620.4740.0550.0990.102)515 ( (b十、应用实例对前面旅游问题进行决策A选择旅游地点准则层:景色B1费居用住BB23饮食B旅途B决策层:P1P2P3已知:①目标A对准则Bi=1,2,3,4,5的权重向量为:iW0550.0990.102)T(由前面已算出),并已通过一致性检②准则B,B,B,B,B相对于P,P,P的成对比较矩阵为12345123B对P,P,P作用的成对比较矩阵为:123BB1|(b|bbbbb)bb)21Y25)5)2同样B对P,P,P作用的成对比较矩阵为:21234 (|31414|()|4 (|31414|()|1BBBBB=1 (11313|(|113141)8131)4)1 (Y3||55 ( (11Y33))1)对以上每个比较矩阵都可计算出最大特征根入及对象的特征向量W(即权重向量),并进max行一致性检验:CI.RICR1(1 (0.2215)5)2)~(S3)对W按行归一化得到特征向量Wn~n~i(S4)计算特征根入(B1)max入=1xBWimaxnWii(1 (0.2215)5)2)3(0.5950.2770.129)3一致性检验:RI0.58故通过检验,既成对矩阵B可以接受。1同样步骤对B,B,B,B,对P,P,P,P,P的影响234512345用特征向量W