苏教版高中数学必修四,第一章

本文格式为Word版，下载可任意编辑——苏教版高中数学必修四,第一章1．1.2弧度制学习目标1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度举行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌管并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．学识点一角度制与弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制斟酌半径为2的圆中1弧度的角比半径为1的圆中1弧度的角大，这句话正确吗答案错误．“1弧度的角”的大小与所在圆的半径大小无关，其大小是一个定值．学识点二角度制与弧度制的换算1．角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360＝2πrad2πrad＝360180＝πradπrad＝1801＝rad≈0.01745rad1rad＝≈57.302.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0130456090120135150180270360弧度0π2π学识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，θ为其圆心角，那么θ＝αθ＝α单位弧度扇形的弧长l＝l＝αR扇形的面积S＝S＝lR＝αR21．1rad的角和1的角大小相等．提示1rad的角和1的角大小不相等，1＝rad.2．用弧度来表示的角都是正角．提示弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数．3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．√提示“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．4．半径为1的圆弧中，60角所对的圆弧长为60.提示使用扇形弧长公式l＝αR时应将角α化为弧度，60等于，所以60角所对弧长为.题型一角度与弧度的互化例1将以下角度与弧度举行互化．120；

2－15；

3；

4－.考点弧度制题点角度与弧度的互化解120＝＝.2－15＝－＝－.3＝180＝105.4－＝－180＝－396.反思感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的片面化为度之后，牢记πrad＝180即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．跟踪训练1以下转化结果错误的是A．6730′化成弧度是B．－化成角度是－600C．－150化成弧度是－D.化成角度是15考点弧度制题点弧度制、角度制互化答案C解析对于A，6730′＝67.5＝，正确；

对于B，－＝－＝－600，正确；

对于C，－150＝－150＝－，错误；

对于D，＝＝15，正确．题型二用弧度制表示终边一致的角例2把以下各角化成2kπ＋α0≤α2π，k∈Z的形式，并指出是第几象限角．1－1500；

2；

3－4.考点弧度制题点弧度制与角度制互化解1∵－1500＝－1800＋300＝－5360＋300.∴－1500可化成－10π＋，是第四象限角．2∵＝2π＋，∴与终边一致，是第四象限角．3∵－4＝－2π＋2π－4，2π－4π.∴－4与2π－4终边一致，是其次象限角．反思感悟用弧度制表示终边一致的角2kπ＋αk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要留神角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2如下图1用弧度制分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

2用弧度制写出终边落在阴影片面包括边界的角的集合．考点弧度制题点终边一致的角解1终边在OA上的角的集合为.终边在OB上的角的集合为.2.题型三扇形的弧长及面积公式的应用例31若扇形的中心角为120，半径为，那么此扇形的面积为A．πB.C.D.2假设2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为A．2B.C．2sin1D.考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式；

扇形面积公式答案1A2D解析1扇形的中心角为120＝，半径为，所以S扇形＝|α|r2＝2＝π.2连接圆心与弦的中点，那么以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，圆心角为2，半弦长为2，故半径长为.这个圆心角所对的弧长为2＝.反思感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，假设已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应留神先把角度制化为弧度制，再计算．跟踪训练3扇形周长为6cm，面积为2cm2，那么其圆心角的弧度数是A．1或5B．1或2C．2或4D．1或4考点扇形的弧长与面积公式题点扇形的弧长公式；

扇形面积公式答案D解析设扇形的半径为rcm，圆心角为α0α2π，那么解得或扇形面积计算典例九章算术是我国古代数学的优良代表作．其中方田章给出计算弧田面积所用的阅历公式为弧田面积＝弦矢＋矢2．弧田如图由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述阅历公式计算所得弧田面积约是A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2考点扇形的弧长与面积公式题点扇形面积公式答案B解析根据题设，弦＝24sin＝4m，矢＝4－4cos＝2m，故弧田面积＝弦矢＋矢2＝42＋22＝4＋2≈9m2．[素养评析]本例以古代数学为典例，表达了通过对实际问题举行分析，抽象出概括的数学模型，建立相应公式解决问题的思想和方法，这就是数学核心素养数学抽象的概括表达．1．以下说法正确的是A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C．全体圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角考点弧度制题点弧度制定义答案A解析对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；

对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；

对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；

对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．2．以下表述中不正确的是A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．终边在y轴上的角的集合是C．终边在坐标轴上的角的集合是D．终边在直线y＝x上的角的集合是考点弧度制题点弧度制、角度制互化，用弧度制表示角答案D解析终边在直线y＝x上的角的集合是.3．若θ＝－5，那么角θ的终边在A．第四象限B．第三象限C．其次象限D．第一象限考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案D解析2π－5与－5的终边一致，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，那么－5也是第一象限角．4．已知半径为1的扇形面积为，那么扇形的圆心角为A.B.C.D.考点弧度制题点扇形的面积公式答案C解析由S＝|α|r2得＝α12，所以α＝.5．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求1弧AB的长；

2扇形所含弓形的面积．考点弧度制题点扇形的弧长公式、弧度制应用解1l＝αR＝π6＝4π，所以弧AB的长为4π.2S扇形OAB＝lR＝4π6＝12π.如下图，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120，所以∠AOD＝60，∠DAO＝30，于是有S△OAB＝ABOD＝26cos303＝9.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.所以弓形的面积是12π－9.1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系每一个角都有唯一的一个实数即这个角的弧度数与它对应；

反过来，每一个实数也都有唯一的一个角即弧度数等于这个实数的角与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180＝πrad”这一关系式．即角度数rad＝弧度数，弧度数＝角度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在概括应用时，要留神角的单位取弧度．一、选择题1．以下说法中，错误的是A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1的角是周角的，1rad的角是周角的C．1rad的角比1的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关考点弧度制题点弧度制定义、应用答案D解析根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，应选D.2．以下说法中，错误的是A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度考点弧度制题点弧度制定义答案D解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．3．－240化为弧度是A．－πB．－πC．－πD．－π考点弧度制题点弧度制角度制互化答案A解析－240＝－240＝－π.4．设角α＝－2弧度，那么α终边所在的象限为A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限考点弧度制题点弧度制应用答案C解析∵－π－2－，∴2π－π2π－22π－，即π2π－2π，∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．5．若角α与角x＋有一致的终边，角β与角x－有一致的终边，那么α与β间的关系为A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝2kπk∈ZD．α－β＝2kπ＋k∈Z考点弧度制题点弧度制应用答案D6．把－π表示成θ＋2kπk∈Z的形式，使|θ|最小的θ值是A．－πB．－2πC．πD．－π考点弧度制的应用题点弧度制的应用答案A解析∵－π＝－2π＋＝2－1π＋，∴θ＝－π.7．若一扇形的圆心角为72，半径为20cm，那么扇形的面积为A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2