似然比在天文研究参数估计中的应用

似然比在天文研究参数估计中的应用LINE论文的内容；第三章为对一些问题的总结。Chapter*1*背景介绍*1.1*天体物理背景该文章写于上世纪70年代，因此当时的高能探测较当前而言有很大的不同，当时探测以及当观测的天体辐射强度较小时，探测器得到的光子计数少，因而一些统计方法失效偏差的非高斯分布也需要用更为普适的统计学方法进行数据处理。*1.2*一些统计学上的概念(1)似然函数及极大似然估计似然函数定义为各个观测值概率密度的乘积：LxnNpx)ii=1(1.1)然方程变为：(2)χ2量的总结本χ2量，以及皮尔逊χ2量。i=1i(1.3)(1.4)(1.5)(1.5)ii样本χ2量用作检验正态假设，不需要分组，检验结果比较精确皮尔逊χ2量用作检验任意分布的假设，需要分组，对样本要求较高，需要大的样本(如果不分组的话皮尔逊χ2量满足的分布依赖于数据自身的分布函数)2.用作参数估计时：这里的讨论我们将在第三部分给出。chapter*2*似然比的应用*2.1*似然比的定义11P1P参量，则似然比定义为：maxnnf(X;9T,,9T,9,9)i=1i1p(2.1.1)(2.2.1)编C=(C)T-(C)~X2(q)minp-qminp(2.1.2)其中(C)T=-2ln(P)T，(C)=-2ln(P)minp-qmaxp-qminpmaxp*2.2*似然比的具体应用——泊松问题泊松问题iiiiiiC可以当作似然函数作同样的应用：当C取极小时相当于似然函数取极大，因此数。由公式(2.1.2)可以来确定置信区间。这里需要说明的是(2.2.1)可以简化为下面的形式：(2.2.2) (ii)i=1 (ii)i=1其中E=xei无分组的泊松问题:正如第一章中提到的当时高能天体物理探测由于受到仪器的限制，通常在探测暗弱天体时只能得到很少的光子计数，此时如果按照通常的办法将原有的数据分组，就会造成一些组中的计数为零。在这种情况下，我们通常采用一种不需要分组的办法来解决这个问题。这里我们只给出结论：ii(2.2.3)其中I为单位时间、单位面积、单位频率的光子计数。i泊松的高斯极限:令d=n-eii有dnii(2.2.4)iii参量相互独立时的简化f(x;9,9)=f(x;9)f(x;9)i121i12i2(2.2.5)Cnlnfx;9,9)=2nlnf(x;9)2nlnf(x;9)=C+Ci121i12i212i=1i=1i=1(2.2.6)独立参量可以进行独立分析，大大简化了计算量。*2.3*参数估计中一些情况的应对——高斯问题进行估计。但是方差未知时，需要尝试其他的方法。相对方差已知的情况：在方差已知的时候应用统计量S(皮尔逊χ2量)就变得很便利，然而在相对方差已知但方差未知时我们可以应用另一个统计量S(样本χ2量)进行参数估计=22i=1i(2.3.1)其中=为第i次测量的标准偏差，=为相对误差。iii类似于似然比，我们同样可以引入比例：(2.3.2)R1+Xq21+qF(q,np)(2.3.3)X2np我们可以用S进行参数估计，并用R来确定置信区间。 需要说明的是，在实际应用中通常使用=2i=1i(2.3.4)方差可通过计算得出的情况jj(2.3.5)j=1jLi=1ijij」(2.3.6)置信区间的计算与前面所提到的方法相同。chapter*3*关于一些问题的小结*3.1*关于点估计方法的总结参数估计的点估计方法有很多，诸如矩法估计，贝叶斯估计，极大似然估计等，本文中和相关文献中提到并且进行比较的参数估计方法有：利用极大似然函数估计，并用似然比确定置信区间置信区间利用似然比：AC=(C)T-(C)~X2(q)minp-qminp利用皮尔逊χ2量做估计，并用χ2量极值之差确定置信区间S=xm(n-E)2ii极小值Eii利用差值：(S)-(S)~X2(a)minp-qminpq利用样本χ2量做估计，并用类似似然比的方法确定置信区间i=1iR1+Xq21+qF(q,np)X2np*3.2*似然比方法的优势在上文中我们讨论了利用极大似然函数法进行点估计并且由似然比确定置信区间的方法，并对