2020版高考数学第三章三角函数解三角形第21讲正弦定理和余弦定理课时达标文新人教A版

第21讲正弦定理和余弦定理课时达标一、选择题．(2019·武汉中学期中)在△ABC中，角，，C的对边分别为a，，c，已知＝，＝3，＝°，若B为锐角，则∶∶＝()．1∶1∶3．1∶2∶3．1∶3∶2．1∶4∶1bsinAB分析由于＝1，b＝，＝°，B为锐角，因此由正弦定理可得sin＝a＝3，则＝°，因此＝°，则∶∶＝1∶∶3.2．在△ABC中，∠＝°，∠＝°，BC＝2，则边长AC为()A.－1．1．2D.＋1B分析依据题意有∠＝°－°－°＝°，依据正弦定理ACBC＝，sinBsinA得AC＝1×2＝1.B.应选22．在△ABC中，AC＝7，BC＝，＝°，则边上的高等于()A.32B.332C.＋62D.＋394B分析设AC＝，BC＝，AB＝c，由余弦定理b＝a＋c－2accosB得7＝＋c2－2c，解得c＝3或c＝－，由于，因此三角形仅有一解，因此c＝3.设边上的高为，则＝csin＝332.．在△ABC中，若AB＝，AC＋BC＝，则△ABC面积的最大值为()A.2．2C.3．3222AC＋－ABC分析由于AC＋BC≥2AC·BC，因此AC·BC≤4.由于cos＝，因此AC·BCcos≥11，因此°<≤°.由于＝AC·BC·sin，因此由不等式的性质可知当AC＝22BC＝2时，面积S有最大值，Smax＝1×××23＝3.应选C.2．在△ABC中，角，，C的对边分别为，b，c，若sinAa＝，(b＋c＋a)(b＋－)sinBc＝3bc，则△ABC的形状为()．直角三角形．等腰非等边三角形．等边三角形．钝角三角形C分析由于sinA＝sinBa，因此ca＝bac2，因此＝c.又(b＋c＋)(b＋c－)＝3bc，因此b＋c－a＝bc，因此cos＝－a＝bc，因此cos＝b＋c－a＋c－a2＝2bcbc1π＝.由于∈(0，π)，因此＝2bc23，因此△ABC是等边三角形．．在△ABC中，内角，，C所对的边分别是a，，c.若c＝(－)＝(－)2＋，＝π3，则△ABC的面积是()．3B.932C.332．33C分析由于c2＝(－b)2＝(－b)2＋，因此c＝a＋b－2＋6.①π由于＝3π，因此c2＝2＋2－cos2＝2＋2－cos3＝a＋－.②＋－.②由①②得－ab＋＝0，即ab＝6.因此S△ABC＝12sin＝12××333＝.22二、填空题．△ABC的内角，，C所对的边分别为，，c，且a，b，c成等比数列．若sinB＝5，cos＝1312ac，则a＋c的值为________．分析由于a，，c成等比数列，因此b2＝ac.由于sin＝2＝ac.由于sin＝512，cos＝，因此ac＝13ac，因此b＝a＋c－2cos，因此＋c＝，因此(＋c)＝a＋c－2cos，因此＋c＝，因此(＋c)＝，因此＋c＝37.答案37．(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝，BC＝2.点D为延伸线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.分析在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＋BC－AC2AB＝2AB·BC42＋2－422＋2－42＝××214sin∠ABC＝sin∠CBD＝154S△BDC＝△BDC＝12BD·BCsin∠CBD＝152.由于BD1＝BC＝，因此∠BDC＝∠ABC，则cos∠BDC＝2cos∠ABC＋1＝2104.答案152104．(2019·长沙五中月考)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝°，AB＝BC＝2CD，则cos∠DAC＝________.分析如下图，设CD＝a，则AC＝5a，AD＝2a，在△ACD中，CD2＝AD＋AC2－AD×AC×cos∠DACa＝(2)＝(2)＋(a)2－×2a×a×cos∠DACcos∠DAC310

＝.

10答案31010三、解答题10．(2019·邢台质检)在△ABC中，内角，，C的对边分别是，，c，且b＝asin，tan＞0.(1)求角A的大小；(2)若＝1，c＝23，△ABC的面积为，求a.S分析(1)由于＝2asin，因此sin＝2sinsin，sin，因此sin＝12，由于tan>0，因此A为锐角，因此＝π.6(2)由于a2＝b＋c－2bccos＝＋12－43×2＝b＋c－2bccos＝＋12－43×3＝，因此＝7.21又＝bcsin＝23，因此2a＝S2213.11．(2019·河南要点高中期中)在△ABC中，内角，，C的对边分别为a，b，c，且sinAc－b＝.2c(1)判断△ABC的形状并加以证明；(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值．分析(1)由于－cosA1＝－222bbb2＋c－a2，即cos＝，因此b＝ccos＝c·，即c2ccbc22＝b＋a，因此△ABC为直角三角形．(2)由于c为直角△ABC的斜边，当c＝1时，周长L＝1＋sin＋cos＝1＋2πsin＋4.π由于0<<2，因此2<sin＋2π4π≤，因此当sin＋4＝1，即＝π4时，周长L最大，且最大值为＋2.12．已知在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π4，AB⊥AD，AB＝，△ABC的面积为1.2(1)求sin∠CAB的值；(2)若∠ADC＝π，求CD的长．6分析(1)△ABC的面积＝11AB·BC·sin∠ABC＝××BC×222＝212BC＝2.在△ABCAC2＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠ABCAC＝1＋2－××2×－2＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠ABCAC＝1＋2－××2×－22＝，得AC＝5.在△中，由正弦定理得BC＝sin∠CABAC，即sin∠ABC2＝sin∠CABsin5，所π4以sin∠CAB＝55.(2)由题设知∠CAB＜π2cos∠CAB＝1－sin∠CAB＝－15＝255AB⊥AD，因此∠DAC＋∠CAB＝π2.因此sin∠DAC＝cos∠CAB＝255.在△ACD中，由正弦定理得ACCD＝，即sin∠ADCsin∠DACsin5＝π6CD，解得CD＝4.25513．[选做题](2019·重庆二中期中)在△ABC中，角，，C所对的边分别为a，，c，→→且知足b·BC＞0，＝＋c2－a＝bc，AB＋c2－a＝bc，AB3，则b＋c的取值范围是()232A.1，B.33，22C.12，32D.12，32＋c－a2bbc1B分析在△ABC中，b＋c2－a＝bc，由余弦定理可得cos＝＝＝，bc2bc2由于A是△ABC＝°.由于＝32a＝sinAbc＝sinBsinC＝cs