近年年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第二课时利用空间向量求角和距离练习

第二课时利用空间向量求角和距离1。若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(B)(A)30°(B)60°(C)150°(D)以上均错解析：直线l与平面α所成的角范围是[0°,90°].故选B。角的余弦值为(C) (A)(B)(C)(D)的取值范围为[0,]，所以l1和l2夹角的余弦值为。ABCDABCDABBCDD3,则AC与BD1所成角的余弦值为(A) (A)0(B)(C)-(D)所以<，>=90°，其余弦值为0.故选A.(A)(B)(C)(D)==。为(D) (A)(B)(C)(D)所以P(—,,3)，所以|n线PA与平面α所成的角为(C)(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线PA与平面α所成的角为θ，sincos,n>|==.所以θ=60°。余弦值为(C) (A)(B)(C)(D)解析：建立如图所示的空间直角坐标系,令正四棱锥的棱长为2，D所以cos<,>==—，以AE,SD所成的角的余弦值为.故选C.值为(B)(A)(B)(C) (D)则n·=0，且n·=0，即令x=1，得y=—,z=-1,D的距离d为。解析:=(a,0,a),则M到平面π的距离d==a。所成角的正弦值为。解析：设直线l与平面α所成的角是θ,a，n所成的角为β,sinθ=|cosβ|=|弦值为。解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，s直线l的距离为。所以P到l的距离为|==.答案: (2)求直线AB与平面EBC所成角的大小。 (1)证明:因为四边形ACDE是正方形，所以EA⊥平面ABC.以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz。设EA=AC=BC=2,所以·=0，·=0。又因为EC∩CB=C, 为AM⊥平面EBC,所以为平面EBC的一个法向量.〉=60°。所以直线AB与平面EBC所成角的大小为30°.14.如图所示,在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点,将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′ECB是直二面角. (1)证明：BE⊥CD′;(2)求二面角D′BCE的正切值.(1)证明:因为AD=2AB=2,E是AD的中点,所以△BAE，△CDE是等腰直角三角形。易知∠BEC=90°,即BE⊥EC。又因为平面D′EC⊥平面BEC，平面D′EC∩平面BEC=EC,所以BE⊥平面D′EC，又CD′?平面D′EC,所以BE⊥CD′.(2)解：如图,分别以EB，EC为x,y轴，过E垂直平面BEC的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设平面D′BC的法向量为n2=(x2,y2，z2),取x2=1,得n2=(1,1,1)，所以cosn1,n2==。tann1,n2=,所以二面角D′BCE的正切值为.A (1)若M为EA中点，求证:AC∥平面MDF；AM长度；若不存在,说明理由。(1)证明:连接CE交DF于O，连接OM，因为CDEF为矩形,所以O为CE中点，又M为EA中点,所以AC∥平面MDF。 (2)解：存在。在矩形CDEF中,ED⊥DC,平面CDEF∩平面ABCD=CD,D又AD?平面ABCD,0，λ),=(1—λ,0,λ)，=(0,2,),nx,y，z)为平面DMF的法向量,则n·=0，n·=0，即所以平面ABCD的法向量可取m=(0,0,1)。==,解得λ=2-3∈[0，1)或λ=—(2+3)?[0,1)(舍去)，MDFABCDAM=4-6. (A)(B)(C)(D)D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0，0)，B(1，则取z=1，则sinθ=|cos〈n,〉|=||=||=.cosθ=,则AB与BC的边长之比为(C) M为AB中点,FM与BD所成角为θ，且 (0,,0),B(0,a,0),D(0,0,b)，所以||=|=，·=—,=，所以==.故选C.离为。解析:建立如图所示的空间直角坐标系,C则所求距离为==。解析:如图建立空间直角坐标系,设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，=(，—,0),=(0,2,—a)，令x=1,则y=得m=(1,,即),sinθ=︱=≤，所以sinθ∈(0,],则θ∈(0,]。答案:(0,]20。如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD，AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点. (2)若直线PB与平面PAE所成的角和系,因为·=—8+8+0=0,·=0,而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线, (2)解:由题设和(1)知,，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成PBABCD相等,即||=||。2,0),|=||.解得h=。S=×(5+3)×4=16，V=×S×PA=×16×=。来，本文档在发布之前我们对内容进行仔如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinouryscheduleWeproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticlebutitisinevitablethattherewillbesomeunsat