(通用版)2017届高三数学二轮复习课余自主加餐训练(三)立体几何专练理

(三)立体几何专练1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥BD.求证：PB＝PD；若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．12．如图，矩形CDEF和梯形ABCD相互垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2CD，BE⊥DF.若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF；求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1为矩形，AB＝BC＝1，AA1＝2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，BC⊥AB1.证明：CD⊥AB1;3若OC＝3，求二面角A-BC-B1的余弦值．4．在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，组成如图②所示的三棱锥C′-ABD，且使C′D＝2.求证：平面C′AB⊥平面DAB；求二面角A-C′D-B的余弦值．2答案1．解：(1)证明：连结AC，AC与BD交于点O，因为底面ABCD是正方形，因此AC⊥BD且O为BD的中点，又PA⊥BD，PA∩AC＝A，因此BD⊥平面PAC，因为PO?平面PAC，故BD⊥PO，又BO＝DO，故PB＝PD.设PD的中点为Q，1连结AQ，EQ，EQ綊2CD＝AF，因此AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，因为EF⊥平面PCD，因此AQ⊥平面PCD，因此AQ⊥PD，又PD的中点为Q，因此AP＝AD＝2.由AQ⊥平面PCD，可得AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，因此CD⊥平面PAD，因此CD⊥PA，又BD⊥PA，因此PA⊥平面ABCD.3联合题意可知，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，成立如下图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，2222Q0，2，2，D(0，2，0)，P(0，0，2)，＝0，2，2，＝(2，0，2)，为平面PCD的一个法向量．设直线PB与平面PCD所成的角为θ，π因此直线PB与平面PCD所成的角为6.2．解：(1)证明：设EC与DF交于点N，连结MN.在矩形CDEF中，点N为EC的中点，因为M为EA的中点，因此MN∥AC，又因为AC?平面MDF，MN?平面MDF，因此AC∥平面MDF.因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，且DE?平面CDEF，DE⊥CD，因此DE⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，成立如下图的空间直角坐标系，4设DA＝a，DE＝b，则B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)，＝(－a，－a，b)，＝(0，2a，b)，＝(－a，a，0)，因为BE⊥DF，因此＝(－a，－a，b)·(0，2a，b)＝b2－2a2＝0，b＝2a.设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)，可获得m的一个解为m＝(1，1，2)，注意到平面EAD的一个法向量n＝(0，1，0)，而cos，＝m·n＝1，因此平面与平面所成锐二面角的大小为60°.mn|m|·|n|2EADEBC3．解：(1)证明：由△ABB1与△DBA相像，知DB⊥AB1，又BC⊥AB1，BD∩BC＝B，AB1⊥平面BDC，CD?平面BDC，∴CD⊥AB1.36因为OC＝3，BC＝1，在△ABD中，可得OB＝3，∴△BOC是直角三角形，BO⊥CO.由(1)知CO⊥AB1，则CO⊥平面ABB1A1.以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴成立空间直角坐标系，OAODOC则A3，0，0，B0，－60，0，3，，0，C3331－23，0，0，＝63，B30，3，3＝3626，－，－，0，＝－3，，03333设平面，平面1的法向量分别为n1＝(x1，1，1)，2＝(x2，2，2)，ABCBCByznyz5∴n1＝(2，－1，2)，∴n2＝(1，2，－2)，∴cosn1，n2＝|n1·n2270n1|·|2|＝－35，n又二面角A-BC-B1为钝二面角，70∴二面角A-BC-B1的余弦值为－35.4．解：(1)证明：取AB的中点O，连结C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，∵C′D＝2，222∴C′O＋DO＝C′D，即C′O⊥OD，又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，C′O?平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，成立如下图的空间直角坐标系，31则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D2，2，0，6∴＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，12，2，－1.设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，y1＋z1＝0，即31x1＋2y1－z1＝0，令z1＝1，则y1＝－1，x1＝3，∴n1＝(3，－1，1)．设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则－y2＋z2＝0，即31x2＋2y2－z2＝0，3令z2＝1，则y2＝1