概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题习题与讲解4833

第七章假设检验习题7.1µX,…,Xn是来自N(,1)的样本，考虑如下假设检验问题1µµ1．设H0：=2vsH：=3，W={x≥2.6}确定．由拒绝域为1若检验（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率；β（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率≤0.01，n最小应取多少？αβ（3）证明：当n→∞时，→0，→0．解：（1）犯第一类错误的概率为=P{X∈W|H}=P{X≥2.6|=2}=P⎧⎨X−µ=2.68⎬⎫=1−Φ(2.68)=0.0037，2.6−2αµ≥⎩1n1200⎭犯第二类错误的概率为=P{X∉W|H}=P{X<2.6|=3}=P⎧⎨X−µ=−1.79⎬⎫=Φ(−1.79)=0.0367；2.6−3βµ<⎩1n1201⎭⎧X−=P{X<2.6|=3}=P⎨⎩1nµ<2.6−3=−0.4n⎫⎬=Φ(−0.4n)≤0.01，（2）因βµ1n⎭则Φ(0.4n)≥0.99，0.4n≥2.33，n≥33.93，故n至少为34；⎧⎨X−µ≥2.6−2⎫αβµ=0.6n=1−Φ(0.6n)→0(n→∞)，=P{X≥2.6|=2}=P（3）⎬1n1n⎩⎭⎧⎨X−µ<2.6−3⎫µ=P{X<2.6|=3}=P=−0.4n=Φ(−0.4n)→0(n→∞)．⎬1n1n⎩⎭2．设X,…,X10是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题1H0：p=0.2vsH：p=0.4，1取拒绝域为W={x≥0.5}，求该检验犯两类错误的概率．∑10X=10X~b(10,p)，i解：因X~b(1,p)，有i=1∑10αβ=P{X∈W|H}=P{X≥0.5|p=0.2}=P{10X≥5|p=0.2}=Ck⋅0.2k⋅0.8=0.0328，则10k−010k=5∑4=P{X∉W|H}=P{X<0.5|p=0.4}=P{10X<5|p=0.4}=Ck⋅0.4k⋅0.610−k=0.6331．110k=0µX,…,X16是来自正态总体N(,4)的样本，考虑检验问题1µµH0：=6vsH：≠6，3．设1拒绝域取为W={|x−6|≥c}，试求c使得检验在µ=6.5处犯第的显著性水平为0.05，并求该检验二类错误的概率．1⎧⎫⎪µ⎪X−cαµ=P{X∈W|H}=P{|X−6|≥c|=6}=P⎨≥=2c⎬=2[1−Φ(2c)]=0.05，解：因⎪216216⎪⎭0⎩则Φ(2c)=0.975，2c=1.96，故c=0.98；βµµ=P{X∉W|H}=P{|X−6|<0.98|=6.5}=P{−1.48<X−6.5<0.48|=6.5}故1⎧⎫=P−2.96<X−6.5<0.96=Φ(0.96)−Φ(−2.96)=0.83．⎨⎩⎬⎭216θ4．设总体为均匀分布θH0：U(0,)，X1,…,Xn是样本，考虑检验问题θ<3，≥3vsH：1W={x≤2.5}，求检验犯第一类错误的最大值α，若要使得该最大值α不超过0.05，n拒绝域取为(n)至少应取多大？nxn−1θnp(x)=Ι解：因均匀分布最大顺序统计量X(n)的密度函数为，0<x<θn∫2.5nxn−1x2.5=2.5n⎛5⎞nnαθ={∈|}=P{X≤2.5|=3}=dx==⎜⎟，则PXWH33n3n⎝6⎠0(n)n00⎛5⎞n⎜⎟≤0.05n，ln0.05=16.43α≥ln(5/6)要使得≤0.05，即，⎝6⎠故n至少为5．检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？17．在假设答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；当原假设不真时，则犯了第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．6．设X,…,X20是来自0-1总体b(1,p)的样本，考虑如下检验问题1H0：p=0.2vsH1：p≠0.2，⎧∑∑⎫2020取拒绝域为W=⎨x≥7或x≤1⎬，⎩ii⎭i=1i=1（1）求p=0,0.1,0.2,…,0.9,1的势并由此画出势函数的图；（2）求在p=0.05时犯第二类错误的概率．∑⎧∑⎩i=1⎫∑⎛20⎞20206X~b(20,p)，势函数g(p)=P⎨X∈Wp=1−⎜⎟pk(1−p)20−k，解：（1）因X~b(1,p)，有⎬⎜⎟kii⎭⎝⎠i=1k=2∑⎛20⎞∑⎛20⎞66⎜⎟故g(0)=1−⎜⎟×0k×1=1=−⎜⎟(0.1)1×0.1k×0.9=0.3941，g，−⎜⎟20k−20kkk⎝⎠⎝⎠k=2k=2∑⎛20⎞∑⎛20⎞66g(0.2)=1−⎜⎟×0.2k×0.820−k=0.1559(0.3)1=−⎜⎟×0.3k×0.7=0.3996，20k−g，⎜⎟⎜⎟⎝⎠kk⎝⎠k=2k=22∑⎛20⎞∑⎛20⎞66g(0.4)=1−⎜⎟×0.4k×0.620−k=0.7505(0.5)1=−⎜⎟×0.5k×0.5=0.9424，−20kg，⎜⎟⎜⎟k⎝⎠k⎝⎠k=2k=2∑⎛20⎞∑⎛20⎞66g(0.6)=1−⎜⎟×0.6k×0.420−k=0.9935(0.7)1=−⎜⎟×0.7k×0.3=0.9997，g，−⎜⎟⎜⎟20kkk⎝⎠⎝⎠k=2k=2g(p)∑⎛20⎞16g(0.8)=1−⎜⎟×0.8k×0.220−k=0.999998，⎜⎟k⎝⎠k=2∑⎛20⎞6g(0.9)=1−⎜⎟×0.9k×0.120−k≈1，⎜⎟k⎝⎠k=200.10.20.30.40.50.60.70.80.91p∑⎛20⎞6g(1)=1−⎜⎟×1k×020−k=1；⎜⎟k⎝⎠k=2（2）在p=0.05时犯第二类错误的概率⎧∑⎫∑⎛20⎞206β=PX∉W|p=0.05=⎜⎟×0.05k×0.9520−k=0.2641．⎨⎩⎬⎭⎜⎟k⎝⎠ii=1k=27．设一个单一观测的样本取自密度函数为H0：p0(x)=I0<x<1vsH1：p1(x)=2xI0<x<1．W={x:x≥c}，试确定一个c，使得犯第一类，第二类错误的概率满足p(x)的总体，对p(x)考虑统计假设：αβ+2为若其拒绝域的形式为最小，并求其最小值．α=P{X∈W|H0}=P{X≥c|X~p0(x)}=1−c，0<c<1时，P{X∉W|H}=P{X<c|X~p(x)}=∫解：当β=c2xdx=c2，0且117⎛118⎝162⎞7⎛1⎞2⎠8⎝4⎠αβ+2=1−c+2c2=+2⎜−c+c2⎟=+2⎜−c⎟，则17c=时，αβ故当+2为最小，其最小值为．48λX,X,…,X30为取自柏松分布P()的随机样本．12λλ侧假设检验问题H：≤0.1vsH：βλλβλ（2）求此检验的势函数()在=0.05,0.2,0.3,…,0.9时的值，并据此画出()的图像．8．设α（1）试给出单>0.1的显著水平=0.05的检验；01λnX=X+X+L+X~P(30)，1）因解：（1230λλ>0.1，假设H：≤0.1vsH：01λnX~P(30)，量统计∑∑33keP(3)−1P(3)kP(3)满足e−3<p≤pp当H0成立时，设nX~P(3)，其p分位数−3k!k!pk=0k=0αW{nx≥7}；=显著水平=0.05，可得P(3)=P0.95(3)=6，右侧拒绝域1−α∑λ(30)6kβλλλ()=P{nX∈W|}=P{nX≥7|}=1−e（2）因−30λ，k!k=03∑∑1.5k6k66ββ(0.2)=1−，(0.05)=1−k!e−1.5=0.0001k!e−6=0.3937，故k=0k=0∑∑12k6k!e−12=0.9542，9k6β(0.3)=1−k!e−9=0.7932β(0.4)=1−，k=0k=0∑∑18k6k!e−18=0.9990，15k6β(0.5)=1−β(0.7)=1−β(0.8)=1−β(0.9)=1−k!e−15=0.9924β(0.6)=1−，k=0k=0β(λ)∑21k6k!e−21=0.9999，k=0∑24k6k!e−24≈1，k=0∑0.10.20.30.40.50.60.70.80.9127k6λk!e−27≈1．0k=0习题7.2说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p值时要求计算出v~N(950,1000)（单位：m/s）．取9发进行测得样本值（单位：m/s）如下：914920910934953945912924940p值．1．有一批枪弹，出厂时，其初速率经过较长时间储存，试，．据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速α率有显著降低（=0.05）？µµµ<950，解：设枪弹经储存后其初速率X~N(,1000)，假设H0：=950vsH：1X−µ已知σ2，选取统计U=量~N(0,1)，σnα因x=928，µ=950，，，σ=10n=9=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，显著性水平=0.05，u=u1−α0.95则u=928−950=−6.6∈W，并且检验的<α=0.05，p值p=P{U≤−6.6}=2.0558×10−11109故拒绝H，接受H1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低．02．已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082)．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，α方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（=0.05）？如果铁水含碳量的µµµ解：设现在生产的铁水含碳量X~N(,0.1082)，假设H0：=4.55vsH：≠4.55，1X−µ已知σ2，选取统计U=量~N(0,1)，σnα因x=4.484，µ=4.55，σ=0.108，，n=9=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，显著性水平=0.05，u=u1−α/20.975则u=4.484−4.55=−1.8333∉W，并且检验的p值p=2P{U≤−1.8333}=0.0668>=0.05，α0.10894故接受H，拒绝H1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55．3．由经验知某零件质量X~N(15,0.052)（单位：g），技术革新后，抽出6个零件，14.715.114.815.015.214.615g（取=0.05）？0测得质量为．α方差不变，问平均质量是否仍为已知µµµX~N(,0.052)，假设H0：=15vsH1：≠15，解：设技术革新后零件质量X−µ~N(0,1)，nσU=2，选取统计量σ已知α因x=14.9，，µ=15σ=0.05，，n=6=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，0.975显著性水平=0.05，u=u1−α/2则u=14.9−15=−4.8990∈W，并且检验的p值p=2P{U≤−4.8990}=9.6326×10−7<α=0.05，0.056故拒绝H，接受H，即不能认为平均质量仍为15g．其平均质量为100kg，标准差为1.2kg．某了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5014．化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，日开工后，为．α问这一天包装机的工作是否正常（取=0.05）？设方差稳定不变，µX~N(,1.22)，假设H0：=100vsH1：≠100，化肥每包的质量~N(0,1)，µµ解：设这天包装机包装的X−µU=σσ已知2，选取统计量nα因x=99.9778，µ=100，，，σ=1.2n=9=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，0.975显著性水平=0.05，u=u1−α/2则u=99.9778−100=−0.0556∉W，并且检验的p值p=2P{U≤−0.0556}=0.9557>=0.05，α1.29故接受H，拒绝H，即可以认为这一天包装机的工作正常．015．设需要对某正态总体的均值进行假设检验µµH：<15．1H0：=15，已知σαµ2=2.5，取=0.05，若要求当H1中的≤13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．µµµ解：设该总体X~N(,2.5)，假设H0：=15vsH1：<15，X−µσU=2，选取统计量σ已知~N(0,1)，nα=0.05，u1−α=u0.95=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，显著性水平x−15µσ2=2.5，有u=因=15，，2.5nµ当≤13时犯第二类错误的概率为⎧⎫⎧⎨X−µ15−µ⎫|≤13⎬X−15βµµ2.5n=P⎨>−1.65|≤13=P>−1.65+⎬2.5n2.5n⎩⎭⎩⎭⎧⎨X−µ⎫⎬⎭15−132.5n≤P>−1.65+=1−Φ(−1.65+1.2649n)≤0.05，2.5n⎩5则Φ(−1.65+1.2649n)≥0.95，即−1.65+1.2649n≥1.65，n≥2.6089，n≥6.8064，故样本容量n至少为6．从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm）为：100.36100.3199.99100.11100.64100.8599.4299.9199.35100.107．．µσ2)，试分别在下列条件下检验假设（α设这批钢管内直径服从正态分布N(,=0.05）．µµ>100．H：σ=100vsH1：（1）已知=0.5；0σ（2）未知．解：设这批钢管内直径X~N(µ,σµµ>100，2)，假设H：=100vsH1：0X−µσU=（1）已知2，选取统计量~N(0,1)，σnα=1.645，右侧拒绝域W={u≥1.645}，0.95显著性水平=0.05，u=u1−α因x=100.104，µ=100，，，σ=0.5n=10100.104−100=0.6578∉αW，并且检验的p值p=P{U≥0.6578}=0.2553>=0.05，则u=0.510µ故接受H，拒绝H，即不能认为>100．01µX−σT=~t(n−1)，（2）未知2，选取统计量Snα=0.05，t(n−1)=t(9)=1.8331，右侧拒绝域W={t≥1.8331}，显著性水平1−0.95α因x=100.104，µ=100，s=0.4760，，n=10100.104−100=0.6910∉αW，并且检验的p值p=P{T≥0.6910}=0.2535>=0.05，则t=0.476010µ故接受H，拒绝H，即不能认为>100．7．假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为0136位考生的成绩，算得平均成绩70分？解：设这次考试考生的成绩X~N(µ,σµµ2)，假设H：=70vsH：≠70，01µX−σT=~t(n−1)，未知2，选取统计量Snαx=66.5µ=70s=15n=36因，，，，=0.05，t(n−1)=t0.975(35)=2.0301，双侧拒绝域W={|t|≥2.0301}，1−/2α显著性水平66.5−70=−1.4∉则t=αW，并且检验的p值p=2P{T≤−1.4}=0.1703>=0.05，1536故接受H，拒绝H1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为8．一个小学校长在报纸上看到这样的报道：于该数字．为此她在视的时间x=6.5h，样本标准差为s=2h．问是否可以认为这位校长的看µσ70分．8h电视．”她认为她所在该校随机调查了100个学生，得知平均0“这一城市的初中学生平均每周看学校的学生看电视的时间明显小每周看电α法是对的（取=0.05）？µµ<8，解：设学生看电视的时间X~N(,2)，假设H：=8vsH：016T=X−µ~t(n−1)2，选取统计量SnT=，n=100，大样本，有&µX−~N(0,1)，σ未知Snαx=6.5µ=8s=2n=100因，，，，=0.05，t(n−1)=t0.95(99)≈u0.95=1.645，左侧拒绝域W≈{t≤−1.645}，1−α显著性水平则t=6.5−8=−7.5∈W，并且检验的<α=0.05，p值p=P{T≤−7.5}=3.1909×10−142100故拒绝H，接受H，即可以认为这位校长的看法是对的．019．设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数x=11.2cm，样本标准差为s=2.6cm，问该α批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm（取=0.05）？解：设该批木材小头的直径X~N(µ,σµµ2)，假设H：=12vsH1：<12，0µµ~N(0,1)，X−X−σT=~t(n−1)T=，n=100，大样本，有&未知2，选取统计量SnSnαx=11.2µ=12s=2.6n=100因，，，，=0.05，t(n−1)=t0.95(99)≈u0.95=1.645，左侧拒绝域W≈{t≤−1.645}，1−α显著性水平则t=11.2−12=−3.0769∈W，并且检验的αp值p=P{T≤−3.0769}=0.0010<=0.05，2.6100故拒绝H，接受H1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于10．考察一鱼塘中10条鱼测得：mg）为0.81.60.90.81.20.40.71.01.21.112cm．0鱼的含汞量，随机地取各条鱼的含汞量（单位：．µσ2)，试检验µµα=0.10）．设鱼的含汞量服从正态分布N(,假设H：=1.2vsH1：>1.2（取0µσµµ解：设鱼的含汞量X~N(,2)，假设H：=1.2vsH1：>1.2，0X−µ~t(n−1)，SnσT=2，选取统计量未知αx=0.97µ=1.2s=0.3302n=10因，，，，=0.1，t(n−1)=t(9)=1.3830，右侧拒绝域W={t≥1.3830}，1−0.9α显著性水平0.97−1.2t==−2.2030∉W，并且检验的值pp=P{T≥−2.2030}=0.9725>α=0.10，则0.330210µ故接受H，拒绝H，即不能认为>1.2．w1度l的比=(5−1)≈0.618，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某l20111．如果一个矩形的宽度w与长工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.5530.5700.8440.5760.9330.630．µα设这一工厂生产的µ矩形的宽度与长µ度的比值总体服从正态分布，其均值为，试检验假设（取=0.05）µσµ一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X~N(,2)，假设H：=0.618vsH1：≠0.618，0H0：=0.618vsH1：≠0.618．解：设这µσ未知T=X−µ~t(n−1)，2，选取统计量Snα=0.05，t(n−1)=t0.975(19)=2.0930，双侧拒绝域W={|t|≥2.0930}，显著性水平1−/2α7因x=0.6620，µ=0.618，s=0.0918，，n=200.6620−0.618=2.1422∈αW，并且检验的p值p=2P{T≥2.1422}=0.0453<=0.05，则t=0.091820µ故拒绝H，接受H，即不能认为=0.618．12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（A5.55.66.34.65.35.06.25.85.15.25.9B3.84.34.24.04.94.55.24.84.53.93.74.601h）的观测值型号；型号．设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A的计算器平均α使用时间明显比型号B来得长（取=0.01）？µσµσσσ21解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，且=2，11222µµH：=vsH1：>2，012µµ假设1X−Yσσσσ=21,T=~t(n+n−2)，未知，但，选取统计量2122221112S+nnw12α=0.01，t(n+n−2)=t(21)=2.5176，右侧拒绝域W={t≥2.5176}，因x=5.5，y=4.3667，sx=0.5235，sy=0.4677，n1=11，n2=12，显著性水平1−120.99α(n−1)s2+(n−1)s2y=10×0.52352+11×0.4677212=0.4951，s=w1x2n+n−2125.5−4.3667则t==5.4844∈W，并且检验的p值p=P{T≥5.4844}=9.6391×10−6<α=0.01，0.4951×1+11112故拒绝H，接受H，即可以认为型号A的计算器平均使用时间明显比型号B来得长．0113．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下：x=0.230,s2=0.1337；东支：11x=0.269,s2=0.1736．西支：22若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以α看作一样（取=0.05）？µσµσσσ212X~N(,2)，Y~N(,2)，且=2，解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为1122µµµ≠µ假设H：=vsH1：2，0121X−Xσσσσ=21,T=12~t(n+n−2)，112未知，但，选取统计量2122221S+nn1w2α=0.05，t(n1+n2−2)=t0.975(15)=2.1314，双侧拒绝域W={|t|≥2.1314}，显著性水平1−/2αx=0.230,s2=0.1337,x=0.269,s2=0.1736，n1=9，n2=8，因1122(n−1)s2+(n−1)s22=8×0.1337+7×0.1736=0.3903，s=w112n+n−2151280.230−0.269则t==−0.2056∉W，并且检验的p值p=2P{T≤−α0.2056}=0.8399>=0.05，110.3903×+98故接受H0，拒绝H1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C与80°C的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N）：70°C时的强力：20.518.819.820.921.519.521.021.280°C时的强力：17.720.320.018.819.020.120.019.1，．根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C时的平均断裂强力与80°C时的平均断α裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，=0.05）µσµσσ=σ解：设在70°C和80°C时的断裂强力分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，且212，11222µµvsH1：µ1≠µ2，假设H0：=12X−Y未知σ2,σ2，但σ=σ~t(n+n−2)，12212，选取统计量T=12211S+nnw12α因x=20.4，y=19.375，sx=0.9411，sy=0.8876，n1=8，n2=8，(n+n−2)=t0.975(14)=2.1448，双侧拒绝域W={|t|≥2.1448}，12显著性水平=0.05，t1−α/2(n−1)s2+(n−1)s2y=7×0.94112+7×0.8876214s=w=0.9148，1x2n+n−21220.4−19.375则t=α=2.2410∈W，并且检验的p值p=2P{T≥2.2410}=0.0418<=0.05，110.9148×+88故拒绝H0，接受H1，即可以认为70°C时的平均断裂强力与80°C时的平均断裂强力间有显著差别．15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少一半，因此厂方提出需检验假设缩短µH0：1=2µµµvsH1：1>22．2µµ此处,2分别是服用原有止痛片和服用痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总1σ2,σ体均为正态分布且方差分别为已知值22，现分别在两总体中取一样本X1,…,Xn和Y1,…,Ym，1设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．µσµσX~N(,2)，Y~N(,)2，解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为1122因X1,…,Xn和Y1,…,Ym分别X和Y为来自的样本，且两个样本独立，σ2σ2σ1n4σ222µµµµX−2Y~N(−2,+则X~N(,1)，Y~N(,)XY)，2，且与独立，有1n2m12mµµ标准化，得(X−2Y)−(−2)~N(0,1)，12σσ12+422nmµ假设H0：1=2µµµvsH1：1>22，2X−2Yσσ,2，选取统计量U=2~N(0,1)，已知21σ4σ12+22nm9αW={u≥u1−α}．A、B两种测量方法测量其融化到显著性水平，右侧拒绝域16．对冷却到−0.72°C的样品用0°C时的潜热，数据如下：方法A：79.9880.0480.0280.0480.0380.0380.0479.9780.0580.0380.0280.0080.02，方法B：80.0279.9479.9879.9780.0379.9579.9779.97．α假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取=0.05）．µσµσσσ=，且21A、B两种测量方法测量的µµvsH1：µ1≠µ2，潜热分别为X~N(,2)，Y~N(,)2，解：设用221122假设H0：=12X−Y未知σ2,σ1σσ=2，选取统计量T=~t(n+n−2)，1122，但21221S+nnw12α因x=80.0208，y=79.9787s=0.0240，sy=0.0.314，n1=8，n2=8，=0.05，t(n+n−2)=t(19)=2.0930，双侧拒绝域W={|t|≥2.0930}，0.975显著性水平α1−/212，x(n−1)s2+(n−1)s2y=12×0.02402+7×0.0314219s=w=0.0269，1x2n+n−212则t=80.0208−79.9787=3.4722∈αW，并且检验的p值p=2P{T≥3.4722}=0.0026<=0.05，110.0269×+138故拒绝H，接受H1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．017．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/l），方法一（x）具体数据如下：水样号方法二（y）0.39差（d=x−y）−0.030.5110.3621.3532.5643.9255.3568.33710.70810.910.841.760.803.350.574.690.667.700.6310.5210.920.18−0.01α设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p值和结论（取=0.05）．氯气含量之差为D=X−Y~N(,2)，成对这两种测定方法测定的µσ解：设用数据检验，ddµ假设H0：d=0vsH1：µ≠0，dD未知σ~t(n−1)，n2，选取统计量T=dSdα=0.05，t(n−1)=t0.975(7)=2.3646，双侧拒绝域W={|t|≥2.3646}，1−/2α显著水平因d=0.4138s=0.3210，n=8，，d0.4138则t==3.6461∈W，并且检验的p值p=2P{T≥3.6461}=0.0082<=0.05，α0.32108故拒绝H，接受H1，可以认为两种测定方法有显著差异．01018．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−）一次，下面是7天6的记录：室甲：1.151.860.751.821.141.651.90室乙：1.001.900.901.801.201.701.95，．αd=x−yi(i=1,2,…,7)来自正态总体，ii问两化验室测定结果之间有无显著差异？（设每对数据的差=0.01）µσD=X−Y~N(,2)，成对数据定的含气量数据之差为解：设两个化验室测检验，ddµµ≠假设H：d=0vsH：0，01dD未知σ2d统计量~t(n−1)，n，选取T=Sd平=0.01，t(n−1)=t0.995(6)=3.7074，双侧拒绝域W={|t|≥3.7074}，α1−/2α显著水因d=−0.0257s=0.0922，n=7，，d−0.0257则t==−0.7375∉W，并且检验的p值p=2P{T≤−0.7375}=0.4886>=0.05，α0.09227故接受H0，拒绝H1，可以认为两化验室测19．为比较正常成年男女所含异，对某地区156名成年男性进行测量，465.13（104/mm3），样为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样为49.202．试检验：0.05）定结果之间没有显著差异．红血球的差其红血球的样本均值为本方差α=本方差该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取µσµσ22红血球分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，解：设该地区正常成年男女所含11µµµ≠µ12假设H：=vsH1：，012X−Y未知σ2,σ1，大样本场合，选取统计量U=~&N(0,1)，22S2yn2S2+xn1平=0.05，u=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|t|≥1.96}，α显著水α1−/2因x=465.13,s2=54.802,y=422.16,s2=49.20，n=156，n2=74，21xy465.13−422.16则u==5.9611∈W，并且检验的p值p=2P{U≥5.9611}=2.5055×10−9<α=0.05，54.802+49.20215674故拒绝H0，接受H1，可以认为该地区正常成年男女所含20．为比较不同红血球的平均值有差异．季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10名，测其体重如下（单位：g）：12月：352029602560296032603960，6月：3220322037603000292037403060308029403060α假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取=0.05）？．µσµσ22解：设12月和6月出生的女婴体重分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，11σσσσ<vsH1：2，212=假设H：2220111S2F=~F(n−1,n−1)，选取统计量x2S12y11=0.21α−−1)=F0.05(5,9)=F0.95=(9,5)4.77Fn1,n(，左侧拒绝域W={f≤0.21}，显著水平=0.05，α12=491.5960=306.52172，因，s22s2xy则491.59602=2.5721∉W，并且检验的p值p=P{F≤2.5721}=0.8967>=0.05，αf=306.52172故接受H，拒绝H1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．021．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得其纤度为1.321.551.361.401.44α问这一天纤度的总体标准差是否正常（取=0.05）？解：设这一天维尼纶纤度X~N(µ,σ2)，假设H0：σ2=0.0482vsH1：σ2≠0.0482，(n−1)S2σ2χχ~2(n−1)，=选取统计量2αχ−=χ2(n1)(4)=0.4844χ(n−1)=χ2(4)=11.1433，0.975显著性水平=0.05，，22α/20.0251−α/2χ2≤0.4844或χ2≥11.1433}，W={双侧拒绝域σ因2=0.0482，s2=0.08822，n=5，4×0.08822=13.5069∈Wp值p=2P{χ2≥13.5069}=0.0181<=0.05，α，并且检验的χ=则20.0482故拒绝H，接受H，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．0122．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量为25的样本，测量其x=62.24，s2=404.77，问这天算得保险丝熔化时间分散度与通常熔化时间并计α有无显著差异（取=0.05，假定熔化时间服从正态分布）？µσ2)，假设H0：σ2=400vsH1：σ2≠400，解：设这天保险丝熔化时间分散度X~N(,(n−1)S2χ选取统计量χ~2(n−1)，=2σ2αχ−=χ2(n1)(24)=12.4012χ(n−1)=χ2(24)=39.3641，0.975显著性水平=0.05，，22α/20.0251−α/2χ2≤12.4012或χ2≥39.3641}，W={双侧拒绝域σ因2=400，2=404.77，=25，sn24×404.77=24.2862∉Wχp值p=2P{χ2≥24.2862}=0.8907>=0.05，α，并且检验的=则2400故接受H，拒绝H，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异．0123．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，αs=0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？批导线的电阻X~N(,测得样本标准差µσ2)，假设H0：σ2=0.0052vsH1：σ2>0.0052，解：设这(n−1)S2σ2χχ~2(n−1)，=选取统计量2αχ−=χ(n1)(8)=15.5073χ≥15.5073}，，右侧拒绝域显著性水平=0.05，W={2220.951−α12σ因2=0.0052，s2=0.0072，n=9，8×0.0072=15.68∈Wχαχ2≥15.68}=0.0472<=0.05，，并且检验的p值p=P{=则20.0052故拒绝H，接受H1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．024．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为甲车床：15.014.515.215.514.815.115.214.8；乙车床：15.215.014.815.215.015.014.815.114.8．α比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取=0.05）．µσX~N(,2)，设两台车床生产的滚珠直径分别为µσ2Y~N(,2)，解：112σσσσ≠vsH1：2，212=假设H0：2122选取统计量F=S~F(n−1,n−1)，2x2S12y11=0.2041，αFn−1,n−1)=F(7,8)=F0.975=(显著性水平=0.05，α/2120.025(8,7)4.9F1−α/2(n1−1,n2−1)=F0.975(7,8)=4.53，双侧拒绝域W={F≤0.2041或F≥4.53}，=0.3091=0.16162，因，s22s2xy则0.30912=3.6591∉W，并且检验的p值p=2P{F≥3.6591}=0.0892>=0.05，αF=0.16162故接受H，拒绝H1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异．025．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，测得部件质量的下检验假设s=15.46s=9.66α，设两样本相互独立，试在显著性水平=0.05样本方差分别为，2122σσσσ212H0：=vsH：>2．21221µσX~N(,2)，Y~N(,2)，解：设两台机器生产金属部件质量分别为µσ2211σσσσ>vsH1：2，212=假设H0：2122选取统计量F=S~F(m−1,n−1)，21S22显著性水平=0.05，F(域mW−1,n−1)=F0.95(13,11)=2.7614，右侧拒绝={F≥2.7614}，α1−αs=15.46s=9.66，因，212215.46=1.6004∉W=α，并且检验的p值p=P{F≥1.6004}=0.2206>=0.05，则F9.66σσ=H，拒绝H，即可以认为2．20112故接受26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为A批（x）0.1400.1380.1430.1420.1440.137；13B批（y）0.1350.1400.1420.1360.1380.140．µσµσ22器材的电阻值分别服从N(,2)，N(,2)，且两样本独立．设这两批11α（1）试检验两个总体的方差是否相等（取=0.05）？α（2）试检验两个总体的均值是否相等（取=0.05）？µσµσ22电子器件样品的电阻分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，解：设两批11（1）假设H：σ=σvsH1：σ≠σ2，22122210选取统计量F=S~F(n−1,n−1)，2x2yS1211=0.1399，α显著性水平=0.05，F(n−1,n−1)=F(5,5)==α/2120.025F(5,5)7.150.975−1,n2−1)=F0.975(5,5)=7.15，双侧拒绝域W={F≤0.1399或F≥7.15}，F1−/2(n1α=0.002805=0.0026652，因s2xs2，2y0.00280520.0026652则F=α=1.1080∉W，并且检验的p值p=2P{F≥1.1080}=0.9131>=0.05，故接受H0，拒绝H1，即可以认为两个总体的方差相等；µµµ≠µ（2）假设H0：=vsH1：2，121X−Y未知σ2,σ2，但σ=σ2，选取统计量T=~t(n+n−2)，211221112S+nnw12α因x=0.1407，y=0.1385，sx=0.002805，sy=0.002665，n1=6，n2=6，(n+n−2)=t0.975(10)=2.2281，双侧拒绝域W={|t|≥2.2281}，12显著性水平=0.05，t1−α/2(n−1)s2+(n−1)s2y=5×0.0028052+5×0.002665210s=w=0.002736，1x2n+n−2120.1407−0.1385则t=α=1.3718∉W，并且检验的p值p=2P{T≥1.3718}=0.2001>=0.05，0.002736×1+166故接受H0，拒绝H1，即可以认为两个总体的均值相等．27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为0.57（kg）．取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg），样本标准差为0.48（kg）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B生产的α产品质量较使用原料A显著大（取=0.05）？µσµσ解：设两种原料生产的产品质量分别为X~N(,2)，Y~N(,2)，1122µµµµ2，vsH1：<1假设H0：=12X−Y未知σ2,σ2，大样本，选取统计量U=2~&N(0,1)，1S2S2+yxnn1214αx=2.36，y=2.55，sx=0.57，sy=0.48，n1=22，n2=24，=1.645，左侧拒绝域W≈{u≤−1.645}，0.95显著性水平=0.05，u=u1−α因有u=2.36−2.55=−1.2171∉W，并且检验的p值p=P{U≤−1.2171}=0.1118>=0.05，α0.572+0.4822224故接受H，拒绝H，即可以认为使用原料B生产的产品质量较使用原料A不是显著大．01习题7.31．从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h）：16431629426132152243217591074528283α据能否认为其平均寿命不低于1100h（取=0.05）？根据这批数θθθ解：设这批产品的寿命X~Exp(1/)，假设H0：=1100vsH1：<1100，2nXχ=统计量2θχ~2(2n)，选取αχ=χ(20)=10.8508χ≤10.8508}，=0.05，(2n)，左侧拒绝域W={2显著性水平220.05α因x=942.8，n=10，θ=1100，2=2×10×942.8=17.1418∉W，并且检验的χχα≤17.1418}=0.3563>=0.05，则p值p=P{21100故接受H，拒绝H，即可以认为其平均寿命不低于1100h．012．某厂一种元件平均使用寿命为1200h，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：2686200120827921660410514162089α假定元件寿命服从指数分布，取=0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？θθθ解：设革新后元件的寿命X~Exp(1/)，假设H0：=1200vsH1：>1200，2nXχ=统计量2θχ~2(2n)，选取αχ=χ(16)=26.2962χ≥26.2962}，=0.05，(2n)，右侧拒绝域W={2显著性水平220.951−α因x=2103.875，n=8，θ=1200，2=2×8×2103.875=28.0517∈W，并且检验的χχα≥28.0517}=0.0312<=0.05，则p值p=P{21200故拒绝H，接受H，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．013．有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3α名大学毕业生，取=0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p值．∑nnX=X，有nX~b(n,p)，解：设该地n名成年人中大学毕业生人数为ii=1假设H0：p=0.3vsH1：p<0.3，选取统计量nX~b(n,p)，α显著性水平=0.05，n=15，p=0.3，∑∑2151C⋅0.3k⋅0.7=0.0353<0.05<Ck⋅0.3k⋅0.7=0.1268，左侧拒绝域W={nx≤1}，有15k−−15kk15k=0k=015∑3因nx=3∉W，并且检验的p值p=P{nX≤3}=C⋅0.3k⋅0.715−k=0.2969，k15k=0故接受H0，拒绝H1，即可以认为该人看法成立．4．某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23α人喜欢，用大样本检验方法在=0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p值．∑∑解：设n名男同学中有nX=nX人喜欢看武侠小说，n2名女同学中有nY=nY人喜欢看武侠小说，j1211i2i=1j=1⎛p(1−p)⎞⎛p(1−p)⎞⎜⎟⎟⎜⎟⎟有nX~B(n,p)，nY~B(n,p)，大样本，有X~&Np,，Y~&Np,，⎜11⎜22n1n2111222⎝1⎠⎝2⎠⎛p(1−p)+p(1−p)⎞−−−(XY)(pp)则X−Y~&N⎜⎜p−p,1122⎟，即12~&N(0,1)，p(1−p)+p(1−p)⎟nn⎝12⎠121122nn21pˆ=nX+nY当p1=p2=p但未知时，此时用总频率X−Y作为p的点估计替换p，在大样本场合，有12n+n12U=~&N(0,1)，11+pˆ(1−pˆ)nn12假设H0：p1=p2vsH1：p1≠p2，X−Y大样本，选取统计量U=~&N(0,1)，11+pˆ(1−pˆ)nn12α显著性水平=0.05，u1−α/2=u0.975=1.96，双侧拒绝域W={|u|≥1.96}，pˆ=nx+ny=50+23因n1=120，n2=85，nx=50，ny=23，有120+85=0.3561，12n+n12125023−12085则u==2.1519∈W，11120+850.3561×(1−0.3561)α并且检验的p值p=2P{U≥2.1519}=0.0314<=0.05，故拒绝H0，接受H1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．5．假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：0232321022122131141151223313134061114013．在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p值．∑nλ解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X~P()，有nX=λX~P(n)，ii=116大样本，有nX−nλX−λ~N(0,1)=，λn&nλλλ假设H0：=2.5vsH1：<2.5，U=X−λ~&N(0,1)，大样本，选取统计量λn显著性水平=0.05，uα=u0.95=1.645，左侧拒绝域W={u≤−1.645}，α因x=1.975，n=40，λ=2.5，1−则u=1.975−2.5=−2.1∈W，并且检验的p值p=P{U≤−2.1}=0.0179<α=0.05，2.540故拒绝H0，接受H1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；6．通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100m2，发现有126个疵点，在显著性水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p值．∑nλλ解：设每平方米该种布上的疵点数X~P()，有nX=X~P(n)，ii=1大样本，有nX−nλX−λ~N(0,1)=，λn&nλλλ假设H0：=1vsH1：>1，U=X−λ~&N(0,1)，大样本，选取统计量λn显著性水平=0.05，uα=u0.95=1.645，右侧拒绝域W={u≥1.645}，α因x=1.26，n=100，λ=1，1−则u=1.26−1=2.6∈W，并且检验的p值p=P{U≥2.6}=0.0047<α=0.05，1100故拒绝H0，接受H1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个；7．某厂的一批电子产品，其寿命T服从指数分布，其密度函数为p(t;θ)=θ−θθ−1exp{t/}It>0，从以往生产情况知平均寿命=2000h．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到α全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平=0.05下检验假设θθH0：=2000vsH1：≠2000．θθ解：假设H0：=2000vsH1：≠2000，2nXχχ~2(2n)，2=选取统计量θα显著性水平=0.05，χ(2n)=χ20.025(20)=9.5908，χ2(2n)=χ21−α/20.975(20)=34.1696，2α/2χ≤χ≥双侧拒绝域W={29.5908或234.1696}，30200因x=θ=3020，n=10，=2000，102=2×10×3020χ=30.20∉W，并且检验的p值p=P{2χα≥30.20}=0.0667>=0.05，则200017故接受H，拒绝H1，即可以认为其平均寿命等于2000h．08．设X,X,…,Xn为取自两点分布b(1,p)的随机样本．12α（1）试求单侧假设检验问题H0：p≤0.01vsH1：p>0.01的显著水平（2）若要这个检验在p=0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n应为多大？解：（1）假设H：p=0.01vsH1：p>0.01，=0.05的检验；0∑n选取统计量nX=X~b(n,p)，小样本，若为ii=1α显著性水平=0.05，p=0.01，⎧⎨∑⎫⎧∑⎫nc−1取c=min2Ck⋅0.01k⋅0.99≤0.05=minCk⋅0.01k