山东省青岛市2014届高三第二次自评（二模）数学（理）试题

高三自评试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则A．B．C．D．2.已知（），其中为虚数单位，则A．B．C．D．3.数列为等差数列，为等比数列，，则A．B．C．D．4.函数（)的图象如图所示，则的值为A．B．C．D．5.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数A． B． C． D．6.如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是A．B．C．D．7.设则二项式的展开式中的系数为A．B．C．D．8.已知点与点在直线的两侧，且，则的取值范围是A．B．C．D．9.已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为A.B.C.D.10.已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是A.个B.个C.个D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.抛物线的焦点坐标为；12.已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当不小于时，预测最大为；13.已知，以为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角为；14.在某班进行的演讲比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为；15.对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知中的三个内角所对的边分别为，若锐角满足，且，，求的面积．17．（本小题满分12分）某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了名学生作为志愿者，参加相关的活动事宜．学生来源人数如下表：学院外语学院生命科学学院化工学院艺术学院人数（Ⅰ）若从这名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；（Ⅱ）现要从这名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为，令，求随机变量的分布列及数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.19．（本小题满分12分）（Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并求出；（Ⅱ）求.20．（本小题满分13分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.21．（本小题满分14分）已知函数，满足，且，为自然对数的底数．（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；（Ⅱ）若存在，使得成立，求的取值范围；（Ⅲ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围．高三自评试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．AADDCCBABB二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.12.13.或14．15．①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）………2分的最小正周期为………3分由得：，，的单调递减区间是，………………6分（Ⅱ）∵，∴，∴………………7分∵，∴．由正弦定理得：，即，∴……………………9分由余弦定理得：，即，∴………11分∴…………12分17．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件，则即两名学生来自同一学院的概率为．……………………4分(Ⅱ)的可能取值是，对应的可能的取值为，，,,,………10分所以的分布列为…………………11分所以.……………12分18．（本小题满分12分）证明：(Ⅰ)连结和交于，连结，…………1分为正方形，为中点，为中点，，…………………3分平面，平面平面．…………4分(Ⅱ)平面，平面，，为正方形，，平面，平面，平面，……………………6分以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，则，，，平面，平面，，为正方形，，由为正方形可得：，设平面的法向量为，由，令，则……………8分设平面的法向量为，，由，令，则，……………………10分设二面角的平面角的大小为，则二面角的平面角的余弦值为……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ），，，即………………2分，所以是公比为的等比数列.…………5分，，………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列…………10分………12分20．（本小题满分13分）解：（I）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹：…………4分（II）设，直线，则直线由可得：，……………6分由可得：和的比值为一个常数，这个常数为……9分（III），的面积的面积，到直线的距离…………11分令，则（当且仅当，即，亦即时取等号）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ），，在处的切线方程为：，即………4分（Ⅱ），，从而……………5分由得：．由于时，，且等号不能同时成立，所以，．从而，为满足题意，必须．………………6分设，，则．，，从而，