初三相似三角形的基本模型

#/43相似三角形一、同步知识梳理知识点1:相似证明中的基本模型EAHC知识点2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.如图：AD平分NBAC交BC于D，求证:BDAB如图：AD平分NBAC交BC于D，求证:BDAB = DCAC证法一：过C作CE/AD・•・N1=NE,N2=N3.•・•N1=N2,AZ3=NE.交BA的延长线于E.•・,AD//CE,・•・BDBA二AC=AE.BADCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型.证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E.・•・N1=N2=NE,\AB=BE.•・,BE/•・,BE/AC,・•・BDBEABDCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“乂”型图的基本模型.知识点3：相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题.常用的面积法基本模型如下：S如图： △ABCS△ACDBCCDS如图： △ABCS△BCDAHAO2•BCDdgODS如图： △ABDS△ACES S△ABD △AEDS S△AED△ACEABADAB-ADAEACAE-AC“山字”型图1:图2：“田字”型图3：“燕尾”型同步题型分析题型1：与三角形有关的相似问题AE-AB,求证:例1：如图，D、E是AABC的边AC、AB上的点，且AD-AE-AB,求证:ZADE=ZB.

解析：.’二。一4c=江一花*AD_AB解析:■/ZDAE=ABAC-'-ADAEsSBAC^_ADE=ZB例2:解析：.’二。一4c=江一花*AD_AB解析:■/ZDAE=ABAC-'-ADAEsSBAC^_ADE=ZB例2:如图，在AABC中,AD±BC于D,CE±AB于E,AABC的面积是ABDE面积的4倍，AC=6,求DE的长.ADLBCyCE_AByZABD=ZCBE,BEBCEDABTZEBD=jLCBA/.SEED5ASCJ似中的角平分线问题解析：< -：二.「CEf/AD,-1-Zl解析：< -：二.「CEf/AD,；Zl=Z2,；"二N3,；AE=AC.由CE*RD可得:AB_RD

AE~CD例2：已知AABC中，/BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证：AB=BDACCD解析:

连接MH,由已知条件可知aDWW=90口，ZACM=^CAD-^4DC=2BAD-ZDAC-^CAM=^BAM,又："WC=NMB：.A^lfCsABM.4,AB_BMAB_AMJC-~AC~~CMAB1BM''AC2-CM+h—f ,F T1"J■" JAECD.AB_BD-JC-CD已知:AD、AE分别为已知:AD、AE分别为AABC的内、外角平分线，M为DE的中点，求证:AB2BMAC2CM.BD

~AD.BD

~AD解析:题型3：a2=bc型结论的证明例1：如图，直角AABC中，AB±AC，AD±BC，证明：AB2=BD-BC，AC2=CD-BC，AD2=BD-CD.'/ABlACrAD,BC/.\ABDQACAD5^CBA 解析：jin同理可得'小念—,罪嚏―--一心=BU同理可得'小念—,罪嚏―AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F,例2：如图，在AABC中，AD平分AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F,解析:连接〃尸垂直平分皿，J.AF=DF.Z4=£DAF,即N4=_2+3又-4=/I+/B,Z2-Z3=_1+_B,YAD平分4C，Jj1==2, =又ZCFA=ZAFB,二&CFAs&4FB,:.FA2=FCFB.又■；AF=DF,：.FD1=FBFC题型4、三角形内接矩形问题例1、已知，如图，AABC中，AC=3，BC=4，/C=90。，四边形DEGF为正方形，其中D，E在边AC，BC上，F，G在AB上，求正方形的边长.解析:C、4：C、4：9且AE：EB=2：1,AF±DE于G交BC)D、2：3由勾股定理可求得WB=5,由月BCH=MCBC可得CH=2.4,CFCT由ACDEsACAB可得——=——，ABCH设正方形的边长为「贝4白=2二，解得工=丝，5 2,4 37三、课堂达标检测检测题1：如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，于忆则^AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（TOC\o"1-5"\h\z检测题2、如图，已知DE〃BC,CD和BE相交于点O,S ：S=4：9,则AE：EC为（ ）ADOE ACOBA、2：1 B、2：3 C、4：9 D、5：4检测题3、在4ABC中，D为AC边上一点，ZDBC=ZA,BC={6,AC=3,则CD的长为（）3 5A、1 B、1 C、2 D、二2 2答案：1、C2、A3、C

一、专题精讲构造相似辅助线一一双垂直模型使^ABD为等腰例1：在^ABC中，AB=之75,ac=4,bc=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD使^ABD为等腰答案：解：情形一:EADC答案：解：情形一:EADC却图：当时*“却图：当时*“连接C4过点D作边上的高投DE，交CA的延长我于点功,：居”布,■4BC=2^上仁‘一3仁'=_且小，上』£3=90*.又二，DES△卫为等提直角三寺形♦AD=AB,ZACB=ZE=907>^EDA-^EAD=90^^AC-^E.4D=903*，.二ABAC=_EDAAE=BC=2^DE=AC=^二在型占DEC士.CD=-jED-^CE-==星、、情形二：-赳图.二当田。=90二时一连蚤腔点D作丑。边上的高或办F.WC5的感始发于点F.“：止［#.乂2EC4:,AC^BC^ABT.4_JCS=90，，丈:DF1CF+占，£□为等理直角三角琥.:*BD=AB.11dF=呵._.4BC--FBD=9Q7,^C-^5C=9Q7二」。8/3四，.*.DF=BC=1，3F=MO4，工荏或0聚FC=,CAj奇YF：7版情形三：' I；P如圄.当二1DF=9On时：J挂接CD过点门作边上的高线门P交的延长线于点P过点W隹直褰F0边上的高线上2交P0于立Q.'：AB=2ji.AO4rBC=3；.^C2-hSC-=.JB2fA4CB=90'v又;DE±CE,口为等暧直角三角旅.'.AD=BDtt_P=^Q=90 ・^QDA^QAD=90°-上尹=9"a.'.QAD=^BDP/.AftdD^APM^/.AQ=DPtDQ=BP^例2：在^ABC中，AC=BC,/ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点.求证：MC：NC=AP：PB.答案：证明：方法一：। ,连接PC,过点P作PD±AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN±CPVZ2+ZPCN=90°,NPCN+ZCNM=90°.•・N2=NCNMVZCDP=NNCM=90°・•・△PDCsMCN：.MC：CN=PD：DCPD=DA：.MC：CN=DA：DCPD//BC・•・DA：DC=PA：PB：.MC：CN=PA：PB过M作MD±AB于D,过N作NE±AB于EMD_PD_PM由双垂直模型，可以推知△PMDsNPE,则FENEF町MD^PD_PM根据等比性质可知 +NE附，而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, Z.MC：CN=PA：PB例3：已知，如图，直线产-2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1:2。求C、D两点的坐标。构造相似辅助线一A、X字型例4：如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。AL二一求证：答案：证明：（方法一）如图A求证：答案：证明：（方法一）如图AM延长AE到M使得EM=AE，连接CM「BE=CE，/AEB=ZMEC•・△BEA必CEM•・CM=AB,Z1=ZB：.AB//CMAZM=ZMAD，/MCF=ZADF•・△MCF^AADF「CM=AB,AD=ACCF'_CMAB•~DF~1W~AC•（方法二）过D作DG〃BC交AE于G则4ABEs'ADG,△CEF^ADGFAB_BECF_CE••• ，,?AD=AC,BE=CECF_BE_AB♦~DF~~DG~~^C••例5：四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分/DAB。BE_EC2求证：DECD”答案：证明：•4 3过点D作DF〃AB交AC的延长线于点F,则N2=N3VAC平分/DABZ1=Z2Z1=Z3AD=DFVZDEF=ZBEA,Z2=Z3△BEAsADEFBE_AB7)b~~df••VAD=DF

BE_AB•茄一为••VAC为AB、AD的比例中项AC1=AB-AD••AD_刃C即而二百又VN1=N2:.△ACDs'abcAD_AC_CD•••B€?_AB-AC_ABCDr~AC-AD~^D••BC2_BECI?~~DE••请你猜想用a、请你猜想用a、b和k表示EF的例6：在梯形ABCD中，AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点，EF〃AB，且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：□E a+8 riff a+2h一। Z '=2 (1)当工总时，EF=；；(2)当上占'时，EF=；；0E=3 ，+比DE⑶当皿一时，EF=1-.当下一”时，参照上述研究结论，一般结论，并给出证明.答案：证明：过点E作PQ/BC分别交BA延长线和DC于点P和点QVAB/CD,PQ/BC二四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形

里=%=上・，.PB=EF=CQ,/闱又：AB=b,CD=a：.AP=PB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF例7：已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC。求BN：NQ：QM.答案：解：% ， : 1连接MF:M是AC的中点，EF=FC・•・MF//AE且MF=2AE ?.△BEN^ABFM：.BN：BM=BE：BF=NE：MF ：BE=EF・•・BN：BM=NE：MF=1:2 .\BN：NM=1:1设NE=%，则MF=2%,AE=4% ・'.AN=3% •「MF/AE.'.ANAQ^AMFQ：.NQ：QM=AN：MF=3:2 ：BN：NM=1:1,NQ：QM=3:2・•・BN：NQ：QM=5:3:2

BEECBEEC相似类定值问题例8：如图，在等边^ABC中，M、N分别是边AB,AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.：_3AP求证：ce+~bf~7b.APB答案：证明：如图，作DP//AB,DQ//AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形•・BP+CQ=MN,DP=DQ=PQ:M、N分别是边AB,AC的中点•・MN=2BC=PQ・•DP//AB,DQ//AC•・△CDP^ACFB,△BDQ^ABECDP_CPDQ_BQ'CE~~BC•，DPDQCPBQBC+PQ3—+=+—= =—•BFCEBCBCBC 2••11DP=DQ=PQ=BBC=AAB1 1 1 3・•・，AB（族+蒜―1 1 3—十—=—•CEBFAB••B C例9：已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC,对角线AC>BD交于。，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。1 1_1求证：a上CD.答案：证明：：EF//AB,AB//DCEF//DC△AOEMACD,△DOE^^DBAEO_AEEO_DECD~AD~AE~AD• ,SO+EO_AEDEcb~ab~U5~ad~••111 + = •ABCDEO••例:10：如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证：工BCDEF.答案：证明：：EF//CD,EH〃AB•乙4咫二乙SC2CEH=2A•• ,••乙4=乙4ZECH=ZBCA• ，:.△AFEs'adc,△CEH^ACABAE_EFCE_EHJC~CDAC~1B,•・•EF=EHEHEFEFEFCEAE _|_ _ _|_ _ _|_ -ABCD~ABCD~ACAC••11_1-AB瓦一赤••AFDGB例11：已知，在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证：工1FC窗..答案：证明：：EF//AC,DE〃BC-^BFE=^BCA^AED=ZABC•• ，“二乙4,ZB=ZB:、△BFEsABCA,△AEDs'ABCBE_EFDE_AE-AB~ACJc~Jb••，EFDEBEAEAE^BEd——十——=——+——= =1-ACBCABABAB•••・•EF=DE=a11_1•布~BC~a••一线三角等题型:例12(2010年绍兴中考)如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A、D)，连接PC，过点P作PE1PC交AB于E.(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC1QE?若存在，求线段ap与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围.解：(1)假设存在这样的点Q;;PE±PC,」.乙APE+NDPC=90°,;乙D=90°,」.乙DPC+NDCP=90°,」.乙APE=NDCP,又.「NA=ND=90°,「.△APE-△DCP,•里研,,DCDPAP•DP-AE•DC；同理可得AQ•DQ-AE•DC；AQ•DQ-AP•DP，即AQ•(3-AQ)=AP•(3-AP),

・••3AQ-AQ2=3ap-ap2,「•AP2-aq2=3ap-3aq,•.(AP+AQ)(AP-AQ)=3(AP-AQ)；丁AP丰AQ,「.AP+AQ=3(2分)丁AP丰AQ,•.APS，即P不能是AD的中点，2••当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在.当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时AP+AQ=3.(1分)(2)设AP=x,AE=y，由AP•DP=AE•DC可得x(3-x)=2y,y=-^x(3-x)=-^x2+—x=-—(x-—)2+-^,2 22 2 2 8•・当x=1(在0Vx<3范围内)时，y =?；最大值g7而此时BE最小为方，又丁E在AB上运动，且AB=2,「•BE的取值范围是工<BE<2.(2分)8例13(2012年宁夏中考)在矩形ABCD例13(2012年宁夏中考)在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,不重合)，过点P作AP±PE，垂足为P,PE交CD于点E.P是BC上的任意一点(P与B、C连接AE，当AAPE与AADE全等时，求BP的长;若设bp为x,ce为y,试确定y与x的函数关系式.大？最大值是多少？当x取何值时，y的值最若PE〃BD，试求出此时BP的长.解：（1）;△APE合△ADE（已知），AD=3（已知），AP=AD=3（全等三角形的对应边相等）；在Rt△ABP中，BP=-仃2一包日山，：32一==--5（勾股定理）;(2);AP±PE(已知)，」.乙APB+NCPE=ZCPE+NPEC=90°,」.乙APB=ZPEC，又「NB=NC=90°，」.Rt△ABP-Rt△PCE，.•・笆，坦即(相似三角形的对应边成比例),PC-CE3-K-y•当x£时，y有最大值，最大值是8；2 8（3）如图，连接BD.设BP=x，CE二一4工？埒x「PEIIBD，△CPE-△CBD，•.&E，（相似三角形的对应边成比例），CB-CD_12/即口二丁尹3 2化简得，3x2-13x+12=0解得，x1=1，x2=3（不合题意，舍去），•当BP-i时，PEIIBD.3例14（2012年宜宾中考）如图，在AABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且AABC2ADEF，将ADEF与AABC重合在一起，AABC不动，ADEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点.(1)求证：AABEsAECM；(2)探究：在ADEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长;若不能，请说明理由；(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积.BE 1(1)证明：:AB=AC,，乙B二NC,「△ABC合△DEF,「.乙AEF=NB,又「NAEF+NCEM=ZAEC=NB+NBAE,「.NCEM=NBAE,「.△ABE-△ECM；(2)能.解：:NAEF=NB=NC,且NAME>NC,「.NAME>NAEF,」.AE*AM；当AE=EM时，则△ABE合△ECM,「.CE=AB=5,「.BE=BC-EC=6-5=1,当AM=EM时，则NMAE=NMEA,「.NMAE+NBAE=NMEA+NCEM,即NCAB=NCEA,又:NC=NC,・•.△CAE-△CBA,•CEAC,,AC-CB...ce呈盎，CB-6•BE=6-义=11；66若AE=AM，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0.•BE=1或"11或0.6(3)解：设BE=x,又:△ABE-△ECM,

・CMCETOC\o"1-5"\h\z.. - ，BE-AB即：@二x52CM=-二+^x=-1(x-3)2力\o"CurrentDocument"55 5 5AM=5-CM=1(x-3)2士，5,当x=35,当x=3时，AM最短为理，51:当BE=x=3=-BC时,2・•点E为BC的中点，..AE±BC，此时，EF±AC,EM=,-CE推出BF/DF推出BF/DF=(AB-EF)/EFEF/(AB-EF)+1=CD/EF=》=>1-EF/AB=EF/CD => 1=EF(1/AB+1/CD)=>1/EF=1/AB+1/CDSS"『X5，-西二、专题过关【题1】如上图，AB±BD

【题1】如上图，AB±BD

垂足为F.证明：CD1BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF1BD， +

ABCDEF答案：(BF+DF)/DF=AB/EF1BF/DF+1=AB/EF(BF(BF+DF)/BF=CD/EF2DF/BF+1=CD/EF代入2AB代入2AB/(AB-EF)=CD/EF【题2】如图，已知AB//EF//CD，找出S 、S、S之间的关系，并证明你的结论.AABD ABED ABCD答案：1/S△BDE=1/S△ABD+1/S△BDC 以AEC三点坐高于BD三条高依然存在1题中关系共用底边BD高的比等于面积比。【题3】(2012年成都中考)如图，AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，NBAC=ZEDF=90。，ADEF的顶点E与AABC的斜边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：ABPE空ACQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：ABPEsACEQ；并求当—一9 .—一9 .BP—a,CQ——a时,21P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示).解：连接PQ，「△ABC和^DEF是两个全等的等腰直角三角形,」.乙B=NC=NDEF=45°,丁NBEQ=NEQC+NC,IPZBEP+NDEF=NEQC+NC,「.NBEP+45°=NEQC+45°,

;NB=NC=45°，「.△BPE-△CEQ，-BP=BE,— ，CECQ;BP=a，CQ=2，BE=CE，-a-CE♦ - ，CE9a2a•.BE=CE=2_±a，2•.BC=3a,，•.AB=AC=BC•sin45°=3a，•.AQ=CQ-AC=2a,PA=AB-BP=2a,2। । g在Rt△ApQ中，pQ=.： ^=^•三、学法提炼1、专题特点:1、专题特点:尽快找到添加的辅助线。2、解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（A、X型）、相交线型、双垂型及一线三角等。3、注意事项：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比代换、等线代换。一、能力培养综合题1：(1)如图1,点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T.求证：PQ•PR=PS•PT(2)如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；图1 图2 图m答案：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD〃BC,AZDRP=ZS,ZRDB=ZDBS・•・△DRPMBSPPR_DP•商一而••同理由AB//CD可证△PTDs^PQBPTDP 二 •EQBP•PR_PT.PQ.PB^PS.PT•(2)证明：成立，理由如下：在平行四边形ABCD中，AD/BC,ZPRD=ZS,ZRDP=ZDBS△DRPs△BSPPR_DP•商—I?••同理由AB/CD可证△PTDs△PQBPTDPFQBPPR_PTPR_PTPQ-PR=P3PT综合题2：已知：如图，△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2=PE•PF.答案：证明：,?AB=AC,AD是中线，.•・AD±BC,BP=CPAZ1=Z2XVZABC=ZACBAZ3=Z4VCF/ABAZ3=ZF,Z4=ZFXVZEPC=ZCPF.△EPC^ACPFEP_PCPC产产 BP2=PE•PF 即证所求综合题3：如图，已知^ABC中，AD,BF分别为BC,AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G,交AC延长线于Ho求证：DE2=EG・EH

答案：证明：：DE±ABZEAD+AEDA=90°ZEAD+ADBA=90°♦•••上BED=^D£A△ADEs'DBEAE_DE♦~DE~~BE•DE2=AE•BEBF±AC.・.2由+%=90°.・UE郅仃=90。且/5GE=/HGF/期矢/过••,•2BED="EA:、△BEGs'HEABE_EG♦~EH~~AE••♦AE-BB=EGBH••♦DE2=EG•EH综合题4：已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:PE求证:PE_PH

PF-PG答案：证明：•・•四边形ABCD为平行四边形答案：证明：•・•四边形ABCD为平行四边形・•・AB//CD,AD//BCAZ1=Z2,ZG=ZH,Z5=Z6:.△PAHs'PCGPHPA-7g=7c••XVZ3=Z4:.△APEs'CPFPEPA-冲二而••PEPH-丽二而••综合题5：已知，如图，锐角△ABC中,AD上有一点P，且NBPC为直角.求证:AD±BC于D,H为垂心（三角形三条高线的交点）；在PD2=AD•DH答案：证明：如图，连接BH交AC于点E,・•H为垂心•.BE±AC.ZEBC+ZBCA=90°AD±BC于D•・/DAC+ZBCA=90°•・/EBC=ZDAC又NBDH=ZADC=90°・•・△BDHs、ADCBDAD:. - ，即BD.DC=AD・DHDHDCVZBPC为直角，AD±BC・PD2=BD•DC・PD2=AD•DH综合题6：已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：AC^CF-BCDF证明：VCD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点.・・CE=EB=DE.•.ZB=ZBDE=ZFDAVZB+ZCAB=90°,ZACD+ZCAB=90°,,.ZB=ZACDZFDA=ZACDVZF=ZF•・△FDAs、FCDFDAD・ -FCCDZADC=ZCDB=90°,ZB=ZACD：.KACDs\CBDADAC：.--=--CDBCFDAC・1 —FCBC即AC・CF=BC・DF综合题7：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH±BM且与AC的延长线交于点E.求证：(1)△AED^ACBM；(2)AE・CM=AC-CD答案：证明：(1)・「NACB=NADC=90°二•NA+ZACD=90°ZBCM+NACD=90°・・NA=ZBCM同理可得：ZMDH=ZMBDZCMB=ZCDB+ZMBD=90°+ZMBDZADE=ZADC+ZMDH=90°+ZMDHZADE=ZCMB•△AEDsACBM(2)由上问可知：CE=CD,即AE.CM=AD.CB故只需证明AC.CD=AD.CB即可VZA=ZA,ZACD=ZABC・•△ACDsAABCADCD:.―,即AC^D=AD.CBACBC.・.AE.CM=AC^CD综合题8：如图，△ABC是直角三角形，ZACB=90°,CDLAB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2=FB.FC.(2)若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗？并说明理由.CGBFFD_FB答案：（1）将结论写成比例的形式，矿尸Q,可以考虑证明△FDB-△FCD（已经有一个公共角/F）Rt△ACD中，E是AC的中点•・DE=AE・./A二/ADEVZADE二/FDB・./AtZFDB而ZA+ZACD=90°ZFCD+ZACD=90°・.ZA=ZFCD・・ZFCD=ZFDB而ZF=ZF•・△FBD^AFDCFD_FB.・.而二而.・.FD2=FB.FC（2）判断：GD与EF垂直Rt△CDB中，G是BC的中点，•・GD=GB・・ZGDB=ZGBD而ZGBD+ZFCD=90°又VZFCD=ZFDB（1的结论）・・ZGDB+ZFDB=90°•.GD±EF综合题9：如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证：AN.DN=CNMN.C答案：证明：由四边形ABCD、DEFG都是正方形可知，ZADC=ZGDE=90°,则ZCDG=/ADE=/ADG+90°在△行oc和△豆四中^AD=CD,GD=DSZCDG=ZADE1■—:eSC@EDA则ZDAM==ZDCN又•：/ANM=ZCND:AANMs'CNDAN_CN则而F・,.ANDN=CN・MN综合题10：如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG±BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：(1)DG2=BG.CG；(2)BG.CG=GF.GHIIJ XE广、、DB Gt?答案：证明：找模型。△BCD、△BDG,△CDG构成母子型相似。，△BDGs'DCGBG,CG=DG••.・.DG2=BG.CG(2)分析：将等积式转化为比例式。BGGFBG.CG=GF.GHn =——GHCG：ZGFC=ZEFH，而ZEFH+ZH=90°,ZGFC+ZFCG=90°,.ZH=ZFCG而ZHGB=ZCGF=90°•・△HBGs'CFGBGGF：.——二一GHCGBBG・CG=GF.GH综合题11：.△ABC和^DEF是两个等腰直角三角形，NA=ZD=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM^ACNE；(2)如图2,将^DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.图1 图2一答案：(1)证明：•・•/MEB+ZNEC=180°-45°=135°=NMEB+ZEMB BNNEC=NEMB又・.•/B=NCBABEM^ACNE△COEsAEON证明：•・•/OEN=NC=45°,NCOE=NEONBACOE^AEON综合题12：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP：PQ：QR.解：(1)△BCPsABER,△CQPsADQR,△ABPsACQP,△DQRsAABP(2)：AC〃DEBABCPsABERBPPCBC!B菽=菠=而・・•四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形

・•・AD=BC,AD=CE・•・BC=CE，即点C为BE的中点BP_P(J・・.菽=丽=应=，次:AC〃DE:.△CQPs'DQRPQ_PC・斯=诟•,・,点R为DE的中点•・DR=REPQ_P£_PC__\_...Q£OK咫］综上：bp：pq：qr=3：1：2AE_AC

AF-AB综合题13:如图，在△ABC中，AD±BC于D,DE±AB于E,DF±AC于F。求证:AE_AC

AF-AB答案：证明：：AD±BC,DE±AB•・△ADBs'AEDAD_AB~AE~AD••AD2=AE-AB同理可证：AD2=AFACAE-AB=AFACAEAC即一二一AFAB二、能力点评在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想及方程思想的应用。

、知识收获1、相似证明中的基本模型

EGAHC2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.方法总结(1)梅涅劳斯定理梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理.梅涅劳斯定理：XEGAHC2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论.常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等.方法总结(1)梅涅劳斯定理梅内劳斯(Menelaus，公元98年左右)，是希腊数学家兼天文学家.梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理.梅涅劳斯定理：X、Y、Z分别是△ABC三边所在直线BC、CA、AB上的点.则X、Y、Z共线的充分必要条件是:CXBZAY1 =1.XBZAYC根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X、Y、Z三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X、Y、Z三点分别都在三角形三边的延长线上.证明：(1)必要性，即若X、Y、Z三点共线，则CX-BZXBZA设A、B、C到直线XYZ的距离分别为a、b、c.贝UCXcBZbAYaXBbZAa、CXcBZbAYaXBbZAa、YCCXBZAY三式相乘即得 • XBZAYC(2)充分性，即若CX(2)充分性，即若CX-BZ-AY=1,则X、Y、Z三点共线.XBZAYC设直线XZ交设直线XZ交AC于Y',CX由已证必要性得：CXXBBZAY'1 =1ZAYC又因为CX旦AY又因为CX旦AY二1XBZAYC所以AY'AYYCYC因为Y'和Y或同在AC线段上或同在AC边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y'和Y比重合为一点，也就是X、Y、Z三点共线.梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CXBZAYXBZAYC三个比中，已知其中两个可梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CXBZAYXBZAYC三个比中，已知其中两个可以求得第三个.二是证明三点共线.(2)塞瓦定理连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦(G-G^vo1647-1734)是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理.塞瓦定理：从△ABC的每个顶点出发作一条塞瓦线AX,BY,CZ.则AX,BY,CZ共点的充分必要条件是BX.CY."=1.XCYAZBXXCYAZ——=1,则YAZBAXBY,CZ三线共点.我们先证明充分性命题.如图,设AX,BY,CYAZ——=1,则YAZBAXBY,CZ三线共点.我们先证明充分性命题.如图,设AX,BY,CZ相交于P点过A作BC边的平行线分别交BY,CZ的延长线于BXCY XCYA由平行截割定理，BXABCYBCYAAB'AZAC'ZBBC上面三式两边分别相乘得:二1ZB充分性命题：设△ABC的三条塞瓦线AX,BY,CZ共点，则必有BX-CY-AZ=1.XCYAZB必要性命题：设△ABC中，AX,BY,CZ是三条塞瓦线我们再证明必要性命题.假设AX与BY这两条塞瓦线相交于P点，连CP交AB于Z'.则CZ'也是一条过P点的△ABC的塞瓦线.根据已证充分性命题，可得BXXCCYAZ'的塞瓦线.根据已证充分性命题，可得BXXCCYAZ' . YAZBBXCYAZ=1,由因为 1,进而可得XCYAZBA7‘A7.所以Z与Z重合，从而CZ'和CZ重合，于是得出.所以卫所以Z与Z重合，从而CZ'和CZ重合，于是得出ABABAX,BY,CZ共点.

塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用.第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点问题.第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式.利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式.三、技巧提炼本节常见误区有（1）相似三角形中对应边及对应角找不准。（2）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其中一边的对角混淆。（3）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往考虑问题欠全面，出现漏解现象。课后作业一、选择题1.如图所示在^ABC中，DE//BC,若AD1.如图所示在^ABC中，DE//BC,若AD=1,DB=2则DEBC的值为（）A.232.如图所示B.-

4△ABC中DE/BC第1题图C.1*3若AD:DB=1：2,D.12

则下列结论中正确的是（）第2题图dDE

A.BC3.A3.AADE的周长1D. =一AABC的周长 3AADE的面积.AABC的面积如图所示，在△ABC中NBAC=90°,D是BC中点，AE±AD交CB延长线于E点，则下列结论正确的是（）第3题图A.△AED必ACBB.△AEB必