《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第4课时

2022年安徽省高中优质课团体赛（马鞍山市）7.4二项分布与超几何分布马鞍山市第二中学郑蒲港分校吴文涛7.4.1二项分布

俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，现在刘备帐下除了诸葛亮之外还有三名谋士.假设对某事进行决策时，三名谋士提供正确意见的概率均为0.8，诸葛亮提供正确意见的概率是0.9.现刘备为某事是否可行征求他们意见.以下有两种方案：

（1）征求三名谋士的意见，并按多数人的意见做出决策.

（2）采纳诸葛亮的意见.

同学们，如果你是刘备，你应该选择哪种方案呢？学完本节课，你就能做决定了.问题情境引例：下列随机试验从试验结果上看共同点是什么？(1)掷一枚硬币;(2)检验一件产品;(3)飞碟射击;(4)医学检验.只包含两个结果正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials).新课教学

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.

思考：你能根据n重伯努利试验的定义，归纳总结它的特征吗？n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.“重复”意味着各次试验成功的概率相同

思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?关注的随机变量X是什么？(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验是否为n重伯努利试验伯努利试验事件AP(A)重复次数关注的随机变量X（1）

（2）

（3）

是是是抛掷一枚质地均匀的硬币某飞碟运动员射击一次从一批产品中随机抽出一件正面朝上中靶抽到正品0.50.80.9520310正面朝上次数中靶次数抽到正品次数

思考2：通过上述实例，你能说说伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同吗？

伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”.在实验中,我们关注某个事件A是否发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“只有两个结果的试验”重复进行n次，试验中关注点是某个事件“发生”的次数X.

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的分布列是怎样的？

用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：试验结果X的值

由概率的加法公式和乘法公式得思考：观察上面的过程，计算结果能简化表示吗？

二项分布的定义：

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).

追问1：对比二项分布和二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？

如果把p看成b，1-p看成a，则就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布.由二项式定理，可得二项分布的分布列如下表：

追问2：二项分布和两点分布有什么联系？二项分布的分布列如下表：当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.

例1

将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.例题分析

例2

如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,‧‧‧,10,用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.思考：小球如何运动才能落到“0号格子”？

因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10,0.5).

于是，X的分布列为X的概率分布图如右图所示：

例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?思考:为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?思考:你能归纳总结出确定一个二项分布模型的步骤吗？探究:

假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?

我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.(1)当n＝1时,X分布列为P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,则有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝pD(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p)(2)当n＝2时,X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2pD(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)由此可猜想,

若X~B(n,p),则有

根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

为了更好的回顾本节课内容，我们一起来回答下面几