《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第6课时

问题1:掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是多少？追问:掷100枚质地均匀硬币最可能有多少枚硬币正面朝上?设掷100枚硬币正面朝上的次数为X,则随机变量X~B(100,0.5)追问：掷100枚硬币最可能有多少枚硬币正面朝上?P(X=k)最大2022年安徽省高中优质课团体赛（马鞍山市）7.4二项分布与超几何分布7.4.3二项分布的性质马鞍山市二中博望分校李越我们可以把

看成以k为自变量的函数

,其定义域是{0,1,2,...,100}画出对应的散点图,观察规律.正面朝上的硬币有50枚时概率最大,即最有可能有50枚硬币正面朝上.50我们可以把

看成以k为自变量的函数

,其定义域是{0,1,2,...,100}画出对应的散点图,观察规律.问题2：将问题1一般化，假设随机变量X~B(n,p),则该随机变量X的性质有哪些？当试验重复次数n和事件成功概率p发生变化时,我们仍然可以把

看成以k为自变量的函数其定义域是{0,1,2,...,n}通过散点图,观察值域、单调性、最值、奇偶性、对称性等性质.二项分布图形特征：1、二项分布是一种离散型分布,图象是离散的点.2、二项分布的图象形状取决于p和n的大小.

3、当k由0增加到n,P(X=k)先增后减,有最值.记pk=P(X=k)k=0,1,2…nk=0,1,2…n追问1:通过图象观察,若X~B(n,p)(0<p<1),则当k由0增加到n时，P(X=k)先增后减,那么当k取何值时P(X=k)最大？P(X=k)可以看做离散型函数,研究单调性和最值不可以通过求导的方法,可以类比数列的研究方法,比较相邻两项的大小,探究最值。作差法(与0比较):作商法(与1比较):①当k<(n+1)p时,pk>pk-1

,pk随k增加而增加；②当k>(n+1)p时,pk<pk-1

,pk随k增加而减小；①如果

(n+1)p为正整数,当k=(n+1)p时则pk-1=pk

p0<p1<…<pk-1=pk>pk+1>

…>pn-1>pn

所以M=

pk-1或pkk<(n+1)p,pk>pk-1k>(n+1)p,pk<pk-1②当

(n+1)p非整数时以n=7、p=0.7为例,则(n+1)p=5.6

所以k<5.6时pk>pk-1,k>5.6时pk<pk-1p0<p1<p2<p3<p4<p5>p6>p7

所以M=p5.k<(n+1)p,pk>pk-1k>(n+1)p,pk<pk-1②当

(n+1)p非整数时取(n+1)p的整数部分(记[(n+1)p])p0<p1<…<p[(n+1)p]-1<p[(n+1)p]

p[(n+1)p]>p[(n+1)p]+1>…>p(n-1)>pn

所以M=p[(n+1)p]k<(n+1)p，Pk>Pk-1k>(n+1)p，Pk<Pk-1问题3：我们利用图象观察,并通过计算得到了二项分布最大值的取值情况,请同学们小组讨论最小值何时可取？则例1：如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8,每次射击的结果相互独立,那么他在10次射击中,最有可能击中目标几次?解：设他在10次射击中,射中的次数为X,由于每次射击的结果是相互独立的,因此X~B(10,0.8),于是可得他恰好k次射中的概率为

从而于是,当k<8.8时,P(x=k-1)<P(x=k)

当k>8.8时,P(x=k-1)>P(x=k)故该射手在10次射击中,最有可能射中8次.变式：如果，求使P(X=k)取得最大值时k的值.解：,则n=20,p=

(n+1)p=7则当k=6或7时,P(X=k)取得最大值0.1821例2：随机变量X服从二项分布即X~B(n,p),当n=10,p=0.04、0.2、

、0.98时,试求k取何值时P(X=k)取到最大值和最小值。解：①当n=10,p=0.04时,(n+1)p=0.4,所以当k=0时P(X=k)取得最大值

p<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值

例2：随机变量X服从二项分布即X~B(n,p),当n=10,p=0.04、0.2、

、0.98时,试求k取何值时P(X=k)取到最大值和最小值。解：②当n=10,p=0.2时,(n+1)p=2.2,所以当k=2时P(X=k)取得最大值

p<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值

解：③当n=10,p=时,(n+1)p=4,所以当k=3或4时P(X=k)取得最大值

p<0.5,所以当k=10时P(X=k)取得最小值

例2：随机变量X服从二项分布即X~B(n,p),当n=10,p=0.04、0.2、

、0.98时,试求k取何值时P(X=k)取到最大值和最小值。解：④当n=10,p=0.98时，(n+1)p=10.78，所以当k=10时P(X=k)取得最大值p>0.5,所以当k=0时P(X=k)取得最小值

例2：随机变量X服从二项分布即X~B(n,p),当n=10,p=0.04、0.2、

、0.98时,试求k取何值时P(X=k)取到最大值和最小值。刚刚我们利用散点图研究了二项分布的最值问题,体现了二项分布每一项概率的大小,除了刚刚的散点图外,我们还可以利用概率分布直方图进一步研究对称性和偏倚程度.当p<0.5时，图象向左偏倚当p>0.5时，图象向右偏倚当p等于0.5时，图象对称当p等于0.5时,图象对称,图象呈中间高两边低、先增后减的的趋势.如果n充分大时,服从二项分布B(n，p)的随机变量近似地服从与正态分布，这正是我们下节课所需要学习的内容.总结提升知识：二项分布的最大值：当

(n+1)p为整数时M=p(n+1)p-1或p(n+1)p当

(n+1)p非整数时M=p[(n+1)p]二项分布的最小值：数学思想：数形结合思想、类比思想等作业布置：1、一次数学测验,由20个选择题构成,每个