【课件】二项分布课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1二项分布人教A版2019必修第三册1.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，3.方差的性质：则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X).2.方差的计算公式：思考：下列一次随机试验的共同点是什么？(1)掷一枚硬币;(2)检验一件产品;(3)飞碟射击;(4)医学检验.正面朝上；反面朝上合格；不合格中靶；脱靶阴性；阳性只包含两个结果我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoullitrials).“重复”意味着各次试验的概率相同.思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.随机试验是否为n重伯努利试验P(A)重复试验的次数(1)(2)(3)是是是0.50.80.0510320追问:(1)伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？(2)在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？(1)

伯努利试验做一次试验,n重伯努利试验做n次试验.(2)在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生;在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X

.试验结果X的值用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，用下图的树状图表示试验的可能结果：

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?

探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?解：用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1,2,3)，则X的概率分布列为由于3次射击恰好1次中靶(2次中靶)的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有中靶次数X的分布列为思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.我们把上面这种分布称为二项分布.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).随机变量X服从二项分布的三个前提条件(1)每次试验都是在同一条件下进行的；(2)每一次试验都彼此相互独立；(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5.用X表示事件A发生的次数，则X～B(10，0.5).(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为(1)恰好出现5次正面朝上的概率为：

例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?解1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0,3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.解2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，所以甲最终获胜的概率为同理，若采用5局3胜制，则X~B(5,0.6)，所以甲最终获胜的概率为例3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?思考:

为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?采用3局2胜制赛满3局时,若前2局获胜,那第3局的胜负并不影响甲获胜;同样,采用5局3胜制赛满5局,若前3局获胜,那后2局的胜负并不影响甲获胜,若前4局胜3局,那第5局的胜负也不影响甲获胜.一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).

探究：假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

我们不妨从简单开始,先考察n较小的情况.(1)当n＝1时，X分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)当n＝2时，X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2.E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).由此可猜想，若X～B(n，p)，则有若X~B(n,p)，则有

二项分布的均值与方差下面对均值进行证明.证明：1.二项分布：

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：

此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)若X～B(n，p)，则有2.二项分布的均值与方差：

课堂小结：课堂练习（课本P76）解：1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.21解：2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否，并说明理由:(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12，0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y～B(6，0.1).解：

每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X～B(12，0.25).(1)正确.理由如下：

每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)错误.理由如下：THANKS“”创新设计习题讲解例1

判断下列试验是不是n重伯努利试验.题型一n重伯努利试验的判断(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.训练3

某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.(1)求a和b的值；即3a＋6b＝2.①(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值.故Y的分布列为创新设计习题讲解

——分层精练5.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(

)CDA.P1＝P2＝P3＝P4

B.P3＝2P1C.P1＋P2＋P3＋P4＝1 D.P4＝3P2解析

由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，∴P1＝P2<P3＝P4，且P3＝3P1，则A，B不正确，易知P1＋P2＋P3＋P4＝1，P4＝3P2，知C，D正确.7.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是________.2，2.4解析

因为X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)