2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的探索性问题（解析版）

圆锥曲线中的探索性问题思路引导思路引导“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．母题呈现母题呈现考法1点、线的存在性问题【例1】（2022·长沙一中模拟预测）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解题指导】【解析】(1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－kb,k2＋9)，yM＝kxM＋b＝eq\f(9b,k2＋9).于是直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(9,k)，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－eq\f(9,k)x.设点P的横坐标为xP.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(9,k)x，,9x2＋y2＝m2，))得xeq\o\al(2,P)＝eq\f(k2m2,9k2＋81)，即xP＝eq\f(±km,3\r(k2＋9)).将点的坐标代入直线l的方程得b＝eq\f(m3－k,3)，因此xM＝eq\f(kk－3m,3k2＋9).四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是eq\f(±km,3\r(k2＋9))＝2×eq\f(kk－3m,3k2＋9)，解得k1＝4－eq\r(7)，k2＝4＋eq\r(7).因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－eq\r(7)或4＋eq\r(7)时，四边形OAPB为平行四边形．【解题技法】存在性问题的求解方法(1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤:①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出;2列出关于待定系数的方程(组);③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法【跟踪训练】【例3】（2022•深圳二模）已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）若经过定点的直线与曲线相交于、两点，是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）设，则由题意，，，化简可得动圆圆心的轨迹的方程为；（Ⅱ）设，，，．由题意，设直线的方程为，联立抛物线方程可得，，①，②，③假设存在，，使得，则④，⑤，，代入化简可得，，存在直线，使得，考法2含参数的存在性问题【例2】（2022·南京外国语学校模拟预测）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解题指导】（1）点代入椭圆的方程→→离心率为→，，之间关系→解得，→椭圆的标准方程；（2）先设出直线的方程为→联立椭圆的方程→关于的一元二次方程→设，，，→，→点的坐标→求，，→→求得参数的值；【解析】（1）椭圆经过点，可得①，由离心率得，即，则②，代入①解得，，，故椭圆的方程为.（2）由题意可设的斜率为，则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设，，，，，④在方程③中，令得，的坐标为，从而，，，注意到，，共线，则有，即有，所以，⑤，④代入⑤得，又，所以.故存在常数符合题意.【解题技法】字母参数值存在性问题的求解方法求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程【跟踪训练】（2022·天津市第四中学模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；（2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆.由椭圆的定义可知，，，又因为所以，故的轨迹方程.（2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足：由消去得：，恒成立.设，，由韦达定理，得，.所以，到距离，，当且仅当，即时等号成立.验证可知满足题意.，模拟训练模拟训练1．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.(1)求的顶点的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；（2）设，过点的直线方程为，代入双曲线方程，得，再由根的判别式和韦达定理即可求出的取值范围；（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.【详解】（1）设，由知，是的重心，.且向量与共线，在边的中垂线上，，又，化简得，即所求的轨迹方程是.（2）设，过点的直线方程为，代入得，，且，解得.，则或，，则的取值范围是.（3）设，则，即.当轴时，，即，故猜想.当不垂直轴时，，.又与同在内，.故存在，使恒成立.【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；（2）寻求关系式，，；（3）将，代入已知曲线方程；（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．∴双曲线的方程为．依题意直线的方程为．由消去y整理得：，依题意：，，点A，B的横坐标分别为，则．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且时，，∴双曲线的方程为．（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．由消去整理得：，∴，．设，，则，．直线的方程为，令得：，∴．同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，设该定点为，则，，故．解得或．故以线段为直径的圆过定点和．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.3．（2023·江西赣州·统考一模）已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.(1)求抛物线的方程；(2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p，即可得方程；（2）法一：设，，利用求得，讨论与轴是否垂直，求直线所过的定点；法二：设直线的方程为，联立抛物线及韦达定理、得；最后结合确定的轨迹，即可确定定点和定值；【详解】（1）因为点在上，则，而，所以，，所以，故该抛物线的方程为.（2）法一：设，不妨设，，则，解得，①当与轴不垂直时，，此时直线的方程为：，整理得，则的方程为：，则直线恒过定点由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，即当为该圆心时，为定值；②当轴时，，此时，而，故；当时，也满足，综上，平面内存在一个定点，使得为定值4法二：设直线的方程为联立，且，由韦达定理得：，由，即，解得，即，直线恒过定点，由，即，故在以为直径的圆上，该圆方程为，即定点为该圆心时，为定值；【点睛】关键点点睛：第二问，根据求纵坐标乘积，并确定直线过的定点坐标，最后利用判断的轨迹，即可得结论.4．（2023·福建厦门·统考二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．(1)求C的方程；(2)是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的离心率及△ABF2的面积为3，列出两个基本量的方程求解即可；（2）根据对称性可知，圆E的圆心在轴上，利用直线l特殊位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情况下前进性验证即可.【详解】（1）已知椭圆C的离心率为，所以；由当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3，得，即，又，所以，又，则，椭圆方程为.（2）当l⊥x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F1，半径；当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O，半径；因为直线l过点F1，所以以AB为直径的所有圆关于轴两两对称的，根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在轴上.设圆心E，半径为R,当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，则，，故，又，所以，，即，，圆E的方程为；当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，则，，故，又，所以，，即，，圆E的方程为；当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为,，，联立，得，则，，所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心，半径，当圆E的方程为时，，此时，所以以AB为直径的圆与E相切.当圆E的方程为时，，此时，所以以AB为直径的圆与E相切.综上圆E的方程或.【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，而是由特殊位置求解圆的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.5．（2023·山西临汾·统考一模）已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切且焦距为，__________.①为等差数列；②为等比数列.(1)在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；(2)（1）中所求的左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于两点，求以为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由【分析】(1)周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆与矩形的四边都相切，可得，若选①，结合为等差数列与，联立解方程组可求得；若选②，则为等比数列与已知条件列方程组即可解得.(2)分直线斜率存在或斜率不存在两种情况分类讨论，直线的斜率不存在时，的方程为，根据对称性即可求得点的坐标，代入的方程求得点的坐标，即可写出圆的方程，并求出定点坐标；当直线斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立，韦达定理写出两根之和，两根之积，同理求出四个点的坐标，写出以为直径的圆的标准方程，化简求定点.【详解】（1）选①，由题意解得所以的标椎方程为.选②，由题意解得所以的标椎方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设在轴上方，则，的方程为，令，得，所以，同理，所以以为直径的圆的标准方程为.②当直线的斜率存在时，设的方程为，联立得，由韦达定理得.因为，所以的方程为，令，得，即的坐标为，同理的坐标为，所以以为直径的圆的标准方程为将韦达定理代入并整理得，令，则，解得或.当斜率不存在时，令，则，解得或.由①②知，以为直径的圆过和.6．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.【详解】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韦达定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，点M的轨迹方程为，其中或．（2）双曲线E的渐近线方程为．设，，联立得，同理可得，因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．若A，B为线段CD的两个三等分点，则．即，．而，．所以，，解得，所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．7．（2023·湖北·统考模拟预测）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．(1)求证：点R为线段的中点；(2)记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设设，，，联立椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出的坐标，计算；继而求出直线的方程，求得点坐标，即可证明结论；（2）利用（1）的分析，求得，进而表示出，，计算的结果，再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论.【详解】（1）证明：由题意知，，设，，，联立，得，，则，，直线的方程为，令，得，所以，同理，．所以,直线，令得，所以，则，故点R为线段的中点．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知点R为线段的中点，故，所以．故存在，使得．【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心.8．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积；(2)若（O为坐标原点），点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【分析】（1）设，根据两点间长度得出与，即可根据已知列式解出，即可得出答案；（2）根据第一问得出双曲线的方程，设，直线l的方程为，根据韦达定理得出，即可根据直线方程得出与，则根基两点斜率公式得出，化简代入即可得出答案.【详解】（1）依题意可知，，则，，又，所以，解得（舍去），又，所以，则，所以的面积.（2）由（1）可，解得，所以双曲线C的方程为，设，则，则，，设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根与系数的关系得，所以，，则，故为定值.·9．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；（2）设点，，由直线的方程即可求出点的坐标，由的方程即可求出点的坐标，由已知条件可知，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.【详解】（